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首先給出上一期量子力學專題的鏈接，方便大家復習~

請注意！量子力學的正確打開方式不是撩妹！

1. 微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來表示，波函數(shù)的物理意義呢，就是其模方表示在空間中一點探測到這個粒子的概率密度；

2. 波函數(shù)隨時間的演化，薛定諤方程。

那么……

哈密頓量具體是個啥東西？

為啥代表系統(tǒng)的能量？

算符又是個什么鬼？

本期節(jié)目，我們繼續(xù)跟聊一聊大家其他的基本假設，同時也回答這些問題。

任何一個物理量，都由一個厄米算符來表示。

那么第一個問題就來了，算符是個什么東西呢？

簡單地理解，算符代表了你對一個函數(shù)進行的一種操作。當然，我們說的操作呢，不是說扭一扭舔一舔泡一泡或者扔進垃圾桶之類的實際的動作，而是一些數(shù)學上的操作。舉個簡單的例子，給一個函數(shù)f乘以一個常數(shù)，比如說，乘以2，就可以得到一個新的函數(shù)2f，那么，乘以2這個操作，就可以用一個算符來表示。推廣一下，把這個函數(shù)f乘以另外一個函數(shù)g，也用一個算符來表示。再舉一個例子，對一個函數(shù)求導數(shù)可以得它的導函數(shù)，求導這個操作呢，也可以用一個算符表示。所以總結(jié)一下就是說，算符，代表了對函數(shù)的一個數(shù)學操作。

那么，這個算符，具體長什么樣子呢？我怎么把一個算符寫下來呢？

我們在薛定諤繪景和坐標表象下討論問題，乘以一個常數(shù)2這個操作，其算符具體形式就是一個常數(shù)2，乘以一個函數(shù)g這個操作，其算符形式就是這個函數(shù)g。而求導數(shù)這個操作呢，它的具體形式就是微積分里的求導記號d/dx。

關于算符的長相到底是怎么來的，詳細說明需要很多數(shù)學語言，在這里我們就不具體解釋了，有興趣的同學可以參考任意一本量子力學教材。

最常見，也是最基本的，位置算符，就是粒子的位置矢量r，作用于波函數(shù)呢，就是簡單的數(shù)乘。

動量算符為

其中字母i呢，是虛數(shù)單位，字母h上面加一杠念做h bar，等于普朗克常數(shù)h除以2π，總之是一個常數(shù)就對了。這個倒三角表示求梯度，作用在一個函數(shù)上的效果是，對一個多元函數(shù)的xyz三個自變量分別求導數(shù)再乘以相應的單位向量，得到的是一個矢量。

好的，現(xiàn)在我們明白了算符是個什么鬼，那我們再回過頭來看一看哈密頓量具體長什么鬼樣子。

首先看第一項，分母m表示粒子的質(zhì)量，倒三角的平方表示兩個梯度算符點乘，作用于函數(shù)的效果，就是對三個自變量xyz分別求二階導數(shù)，然后再相加起來，得到的還是一個標量函數(shù)。

還記得高中學過的動能表達式嗎？沒錯，1/2mv2，我們換成動量來表達，就是動量p的平方除以2倍的m，在這里，把動量p換成的動量算符，是不是就得到了哈密頓量的第一項呢？因此說，第一項實際上代表了粒子的動能。

第二項是一個空間位置的函數(shù)，即勢能函數(shù)，表示粒子處在不同位置時的勢能大小。

動能加勢能，就是這個粒子的總能量。因此我們說，哈密頓量表示了粒子的能量。

所以到現(xiàn)在，大家應該 可以完全明白薛定諤方程的意義了。左邊對時間的導數(shù)，刻畫了波函數(shù)隨時間的變化，右邊是哈密頓量作用于波函數(shù)，表明波函數(shù)的演化由系統(tǒng)能量的具體形式?jīng)Q定。

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了

1. 粒子的狀態(tài)用波函數(shù)表示；

2. 物理量用算符表示；

3. 波函數(shù)演化遵循薛定諤方程。

但有沒有感覺仍然是一頭霧水，這些假設到底有什么用處呢？

比方說吧，如果你過生日的時候，女朋友送了一個裝在勢阱中的電子，并且給出了它的哈密頓量，而你也知道各種算符的形式，那現(xiàn)在能夠做些什么呢？

當然你可以去解薛定諤方程，如果女朋友好心給了你邊界條件的話，那你就可以知道這個電子的波函數(shù)在任意時刻長什么樣子，從而也知道了在任意時刻任意位置測量到這個電子的概率。

但是你還應該關心的是，各種物理量的取值是多少，比如，這個電子能量究竟有多大，動量是多少，跑得快不快，打在身上疼不疼等等。萬一女票生氣了，砸過來幾個電子，你必須知道這些信息，才能決定是躲開還是咬牙挺住。

涉及到物理量的取值，就需要我們下一條假設來說明。

能夠測量到的物理量的取值是相應物理量算符的本征值。物理量算符的本征向量構(gòu)成一組正交完備基，把波函數(shù)用這組正交完備基展開，測量到某個本征值的概率就是相應疊加系數(shù)的模方。

沒學過線性代數(shù)或者抽象代數(shù)的同學現(xiàn)在是不是滿臉問號呢？沒關系我們一點一點解釋。這條假設里有這樣幾個概念，本征值，本征向量，正交完備基和展開系數(shù)。

我們剛才知道，算符代表了對一個函數(shù)進行的某種操作。那么有沒有可能，對某些函數(shù)操作完了之后，得到的結(jié)果，是這個函數(shù)再乘以一個常數(shù)呢？用數(shù)學的語言表達出來就是

其中，大寫的字母A表示算符，小寫字母a表示一個未知的常數(shù)，f代表未知的波函數(shù)。我們希望能夠找到一些這樣的函數(shù)，這樣把算符作用上去的效果就變得非常簡單，相當于直接乘以一個常數(shù)。

這個方程，就叫做算符A的本征方程。在這個方程里，常數(shù)a和符合條件的函數(shù)f都是未知的。通過數(shù)學手段呢我們可以求解這個方程，解出來一系列常數(shù)a的可能的取值，我們稱之為本征值

而對不同的本征值，有不同的滿足條件的函數(shù)f，我們稱之為本征函數(shù)。

大家可以忽略掉那些細節(jié)，只需要明白，對于每一個算符A，我們都可以通過求解一個方程，從而找到一些特殊的函數(shù)f，使得這個算符A作用于這個函數(shù)f后，得到的結(jié)果呢，就是簡單地給這個函數(shù)f乘以一個常數(shù)。

要注意的是，這些常數(shù)們和這些函數(shù)們是一一對應的，不同的常數(shù)對應不同的函數(shù)。（當然，也有某幾個函數(shù)對應同一個常數(shù)的情況，這種情況叫做簡并，我們先不考慮）

那么解出來這些東西有什么用處呢？剛才的假設告訴我們，某個物理量的取值只能取這個算符的本征值。所以，我們就知道了，當我們?nèi)y量這個物理量時，所有可能測量到的值。

在一些情況下，這些常數(shù)的取值是連續(xù)的，比如位置算符和動量算符，這和實際觀測也相符，一個粒子可以處在空間中的任意位置，也可以以任意的速度運動。

但有些情況下呢，它就只能夠取某些分立的值，比如，當我給定一些特殊的勢能函數(shù)時，求解哈密頓算符的本征方程，也就是求這個粒子可能的能量取值，會發(fā)現(xiàn)這個系統(tǒng)的能量值是分立的。

這一點似乎非常奇怪的。因為在經(jīng)典力學的世界里，任意系統(tǒng)的任何物理量都是可以連續(xù)取值的。當一個小滑塊的能量可以取到3J和5J時，中間的能量值也一定可以取到。然而量子世界中卻并非如此。所謂量子世界的不連續(xù)性也就是從這里來的。

然而，更為奇特的是，這些物理量的取值不僅可以是不連續(xù)的，甚至可以是不確定的。我能夠測量到什么值，全看粒子的心情……

就像你惹女朋友生氣了她讓你走開時，你永遠不知道她是不是真的想讓你走開。不過好在，至少在量子力學里，觀測到不同的取值概率是可以被算出來的，而女票生氣我們到底該怎么做卻依然完全無解。