對(duì)于一個(gè)多元函數(shù)f(x)=f(x1,x2,?,xn)，用最速下降法（又稱梯度下降法）求其極小值的迭代格式為

其中dk=?gk=??f(xk)為負(fù)梯度方向，即最速下降方向，αk為搜索步長(zhǎng)。

一般情況下，最優(yōu)步長(zhǎng)αk的確定要用到線性搜索技術(shù)，比如精確線性搜索，但是更常用的是不精確線性搜索，主要是Goldstein不精確線性搜索和Wolfe法線性搜索。

為了調(diào)用的方便，編寫一個(gè)Python文件，里面存放線性搜索的子函數(shù)，命名為linesearch.py，這里先只編寫了Goldstein線性搜索的函數(shù)，關(guān)于Goldstein原則，可以參看最優(yōu)化課本。

線性搜索的代碼如下（使用版本為Python3.3）：

'''
線性搜索子函數(shù)
'''

import numpy as np
import random

def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):

    flag=0

    a=0
    b=alpham
    fk=f(x)
    gk=df(x)

    phi0=fk
    dphi0=np.dot(gk,d)

    alpha=b*random.uniform(0,1)

    while(flag==0):
        newfk=f(x+alpha*d)
        phi=newfk
        if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):
            if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):
                flag=1
            else:
                a=alpha
                b=b
                if(b<alpham):
                    alpha=(a+b)/2
                else:
                    alpha=t*alpha
        else:
            a=a
            b=alpha
            alpha=(a+b)/2
    return alpha
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上述函數(shù)的輸入?yún)?shù)主要包括一個(gè)多元函數(shù)f，其導(dǎo)數(shù)df，當(dāng)前迭代點(diǎn)x和當(dāng)前搜索方向d，返回值是根據(jù)Goldstein準(zhǔn)則確定的搜索步長(zhǎng)。

我們?nèi)砸訰osenbrock函數(shù)為例，即有

于是可得函數(shù)的梯度為

最速下降法的代碼如下：

"""
最速下降法
Rosenbrock函數(shù)
函數(shù) f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import linesearch
from linesearch import  goldsteinsearch

def rosenbrock(x):
    return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2

def jacobian(x):
    return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])


X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 給定的函數(shù)
plt.contour(x1,x2,f,20) # 畫出函數(shù)的20條輪廓線

def steepest(x0):

    print('初始點(diǎn)為:')
    print(x0,'\n')    
    imax = 20000
    W=np.zeros((2,imax))
    W[:,0] = x0
    i = 1     
    x = x0
    grad = jacobian(x)
    delta = sum(grad**2)  # 初始誤差


    while i<imax and delta>10**(-5):
        p = -jacobian(x)
        x0=x
        alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)
        x = x + alpha*p
        W[:,i] = x
        grad = jacobian(x)
        delta = sum(grad**2)
        i=i+1

    print("迭代次數(shù)為:",i)
    print("近似最優(yōu)解為:")
    print(x,'\n')    
    W=W[:,0:i]  # 記錄迭代點(diǎn)
    return W

x0 = np.array([-1.2,1])
W=steepest(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 畫出迭代點(diǎn)收斂的軌跡
plt.show()
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為了實(shí)現(xiàn)不同文件中函數(shù)的調(diào)用，我們先用import函數(shù)導(dǎo)入了線性搜索的子函數(shù)，也就是下面的2行代碼

import linesearch
from linesearch import  goldsteinsearch
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當(dāng)然，如果把定義goldsteinsearch函數(shù)的代碼直接放到程序里面，就不需要這么麻煩了，但是那樣的話，不僅會(huì)使程序顯得很長(zhǎng)，而且不便于goldsteinsearch函數(shù)的重用。

此外，Python對(duì)函數(shù)式編程也支持的很好，在定義goldsteinsearch函數(shù)時(shí)，可以允許抽象的函數(shù)f，df作為其輸入?yún)?shù)，只要在調(diào)用時(shí)實(shí)例化就可以了。與Matlab不同的是，傳遞函數(shù)作為參數(shù)時(shí)，Python是不需要使用@將其變?yōu)楹瘮?shù)句柄的。

運(yùn)行結(jié)果為

初始點(diǎn)為:
[-1.2  1. ] 

迭代次數(shù)為: 1504

近似最優(yōu)解為:
[ 1.00318532  1.00639618]
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迭代點(diǎn)的軌跡為

由于在線性搜索子程序中使用了隨機(jī)函數(shù)，初始搜索點(diǎn)是隨機(jī)產(chǎn)生的，因此每次運(yùn)行的結(jié)果不太相同，比如再運(yùn)行一次程序，得到

初始點(diǎn)為:
[-1.2  1. ] 

迭代次數(shù)為: 1994

近似最優(yōu)解為:
[ 0.99735222  0.99469882] 
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所得圖像為