1. 問題描述

子串應(yīng)該比較好理解，至于什么是子序列，這里給出一個(gè)例子：有兩個(gè)母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs與belong中都出現(xiàn)過并且出現(xiàn)順序與母串保持一致，我們將其稱為公共子序列。最長(zhǎng)公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顧名思義，是指在所有的子序列中最長(zhǎng)的那一個(gè)。子串是要求更嚴(yán)格的一種子序列，要求在母串中連續(xù)地出現(xiàn)。在上述例子的中，最長(zhǎng)公共子序列為blog（cnblogs, belong），最長(zhǎng)公共子串為lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

對(duì)于母串X=<x1,x2,?,xm>X=<x1,x2,?,xm>, Y=<y1,y2,?,yn>Y=<y1,y2,?,yn>，求LCS與最長(zhǎng)公共子串。

暴力解法

假設(shè) m<nm<n， 對(duì)于母串XX，我們可以暴力找出2m2m個(gè)子序列，然后依次在母串YY中匹配，算法的時(shí)間復(fù)雜度會(huì)達(dá)到指數(shù)級(jí)O(n?2m)O(n?2m)。顯然，暴力求解不太適用于此類問題。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

假設(shè)Z=<z1,z2,?,zk>Z=<z1,z2,?,zk>是XX與YY的LCS， 我們觀察到

• 如果xm=ynxm=yn，則zk=xm=ynzk=xm=yn，有Zk?1Zk?1是Xm?1Xm?1與Yn?1Yn?1的LCS；
• 如果xm≠ynxm≠yn，則ZkZk是XmXm與Yn?1Yn?1的LCS，或者是Xm?1Xm?1與YnYn的LCS。

因此，求解LCS的問題則變成遞歸求解的兩個(gè)子問題。但是，上述的遞歸求解的辦法中，重復(fù)的子問題多，效率低下。改進(jìn)的辦法——用空間換時(shí)間，用數(shù)組保存中間狀態(tài)，方便后面的計(jì)算。這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃（DP)的核心思想了。

DP求解LCS

用二維數(shù)組c[i][j]記錄串x1x2?xix1x2?xi與y1y2?yjy1y2?yj的LCS長(zhǎng)度，則可得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

代碼實(shí)現(xiàn)

public static int lcs(String str1, String str2) {
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for( int j = 0; j <= len2; j++) {
            if(i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return c[len1][len2];
}

DP求解最長(zhǎng)公共子串

前面提到了子串是一種特殊的子序列，因此同樣可以用DP來解決。定義數(shù)組的存儲(chǔ)含義對(duì)于后面推導(dǎo)轉(zhuǎn)移方程顯得尤為重要，糟糕的數(shù)組定義會(huì)導(dǎo)致異常繁雜的轉(zhuǎn)移方程?？紤]到子串的連續(xù)性，將二維數(shù)組c[i,j]c[i,j]用來記錄具有這樣特點(diǎn)的子串——結(jié)尾為母串x1x2?xix1x2?xi與y1y2?yjy1y2?yj的結(jié)尾——的長(zhǎng)度。

得到轉(zhuǎn)移方程：

最長(zhǎng)公共子串的長(zhǎng)度為 max(c[i,j]), i∈{1,?,m},j∈{1,?,n}max(c[i,j]),i∈{1,?,m},j∈{1,?,n}。

代碼實(shí)現(xiàn)

public static int lcs(String str1, String str2) {
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int result = 0;     //記錄最長(zhǎng)公共子串長(zhǎng)度
    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for( int j = 0; j <= len2; j++) {
            if(i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                result = max(c[i][j], result);
            } else {
                c[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    return result;
}

3. 參考資料

[1] cs2035, Longest Common Subsequence.
[2] 一線碼農(nóng), 經(jīng)典算法題每日演練——第四題 最長(zhǎng)公共子序列.
[3] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).