只想說：溫故而知新，可以為師矣。我大二的《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》是由申老師講的，那時(shí)候不怎么明白，估計(jì)太理論化了(ps：或許是因?yàn)槲宜X了)；今天把老王的2011年課件又看了一遍，給大二的孩子們又講了一遍，隨手谷歌了N多資料，算是徹底搞懂了最短路徑問題。請(qǐng)讀者盡情享用…… 我堅(jiān)信：沒有不好的學(xué)生，只有垃圾的教育。不過沒有人理所當(dāng)然的對(duì)你好，所以要學(xué)會(huì)感恩。 一.問題引入 問題：從某頂點(diǎn)出發(fā)，沿圖的邊到達(dá)另一頂點(diǎn)所經(jīng)過的路徑中，各邊上權(quán)值之和最小的一條路徑——最短路徑。解決最短路的問題有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，F(xiàn)loyd算法和SPFA算法，另外還有著名的啟發(fā)式搜索算法A*，不過A*準(zhǔn)備單獨(dú)出一篇，其中Floyd算法可以求解任意兩點(diǎn)間的最短路徑的長(zhǎng)度。筆者認(rèn)為任意一個(gè)最短路算法都是基于這樣一個(gè)事實(shí)：從任意節(jié)點(diǎn)A到任意節(jié)點(diǎn)B的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從A到B，2是從A經(jīng)過若干個(gè)節(jié)點(diǎn)到B。 二.Dijkstra算法 該算法在《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》課本里是以貪心的形式講解的，不過在《運(yùn)籌學(xué)》教材里被編排在動(dòng)態(tài)規(guī)劃章節(jié)，建議讀者兩篇都看看。  觀察右邊表格發(fā)現(xiàn)除最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)外其他均已經(jīng)求出最短路徑。 (1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路徑長(zhǎng)度(看下面表格的最后一行，就是next點(diǎn))遞增次序產(chǎn)生最短路徑。先把V分成兩組： - S：已求出最短路徑的頂點(diǎn)的集合
- V-S=T：尚未確定最短路徑的頂點(diǎn)集合
將T中頂點(diǎn)按最短路徑遞增的次序加入到S中，依據(jù)：可以證明V0到T中頂點(diǎn)Vk的最短路徑，或是從V0到Vk的直接路徑的權(quán)值或是從V0經(jīng)S中頂點(diǎn)到Vk的路徑權(quán)值之和（反證法可證，說實(shí)話，真不明白哦）。 (2) 求最短路徑步驟 - 初使時(shí)令 S={V0},T={其余頂點(diǎn)}，T中頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的距離值， 若存在，為弧上的權(quán)值（和ＳＰＦＡ初始化方式不同），若不存在，為Inf。
- 從T中選取一個(gè)其距離值為最小的頂點(diǎn)W(貪心體現(xiàn)在此處)，加入S(注意不是直接從S集合中選取，理解這個(gè)對(duì)于理解vis數(shù)組的作用至關(guān)重要)，對(duì)T中頂點(diǎn)的距離值進(jìn)行修改：若加進(jìn)W作中間頂點(diǎn)，從V0到Vi的距離值比不加W的路徑要短，則修改此距離值（上面兩個(gè)并列for循環(huán)，使用最小點(diǎn)更新）。
- 重復(fù)上述步驟，直到S中包含所有頂點(diǎn)，即S=V為止（說明最外層是除起點(diǎn)外的遍歷）。
下面是上圖的求解過程，按列來看，第一列是初始化過程，最后一行是每次求得的next點(diǎn)。  (3) 問題：Dijkstar能否處理負(fù)權(quán)邊？(下面的解釋引自網(wǎng)上某大蝦) 答案是不能，這與貪心選擇性質(zhì)有關(guān)(ps：貌似還是動(dòng)態(tài)規(guī)劃啊，暈了)，每次都找一個(gè)距源點(diǎn)最近的點(diǎn)（dmin），然后將該距離定為這個(gè)點(diǎn)到源點(diǎn)的最短路徑；但如果存在負(fù)權(quán)邊，那就有可能先通過并不是距源點(diǎn)最近的一個(gè)次優(yōu)點(diǎn)（dmin'），再通過這個(gè)負(fù)權(quán)邊L(L<><>
0，3，4
3，0，-2
4，-2，0,用dijkstra求得d[1，2]=3，事實(shí)上d[1，2]=2，就是通過了1-3-2使得路徑減小。不知道講得清楚不清楚。 二.Floyd算法 參考了南陽理工牛帥(目前在新浪)的博客。 Floyd算法的基本思想如下：從任意節(jié)點(diǎn)A到任意節(jié)點(diǎn)B的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從A到B，2是從A經(jīng)過若干個(gè)節(jié)點(diǎn)到B，所以，我們假設(shè)dist(AB)為節(jié)點(diǎn)A到節(jié)點(diǎn)B的最短路徑的距離，對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)K，我們檢查dist(AK) + dist(KB) < dist(ab)是否成立，如果成立，證明從a到k再到b的路徑比a直接到b的路徑短，我們便設(shè)置="" dist(ab)="dist(AK)" +=""> 很簡(jiǎn)單吧，代碼看起來可能像下面這樣： for (int i=0; i for (int j=0; j for (int k=0; k if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]="" )=""> dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; } } } } 但是這里我們要注意循環(huán)的嵌套順序，如果把檢查所有節(jié)點(diǎn)K放在最內(nèi)層，那么結(jié)果將是不正確的，為什么呢？因?yàn)檫@樣便過早的把i到j(luò)的最短路徑確定下來了，而當(dāng)后面存在更短的路徑時(shí)，已經(jīng)不再會(huì)更新了。 讓我們來看一個(gè)例子，看下圖： 
圖中紅色的數(shù)字代表邊的權(quán)重。如果我們?cè)谧顑?nèi)層檢查所有節(jié)點(diǎn)K，那么對(duì)于A->B，我們只能發(fā)現(xiàn)一條路徑，就是A->B，路徑距離為9，而這顯然是不正確的，真實(shí)的最短路徑是A->D->C->B，路徑距離為6。造成錯(cuò)誤的原因就是我們把檢查所有節(jié)點(diǎn)K放在最內(nèi)層，造成過早的把A到B的最短路徑確定下來了，當(dāng)確定A->B的最短路徑時(shí)dist(AC)尚未被計(jì)算。所以，我們需要改寫循環(huán)順序，如下： ps：個(gè)人覺得，這和銀行家算法判斷安全狀態(tài)(每種資源去測(cè)試所有線程)，樹狀數(shù)組更新(更新所有相關(guān)項(xiàng))一樣的思想。 for (int k=0; k for (int i=0; i for (int j=0; j /* 實(shí)際中為防止溢出，往往需要選判斷 dist[i][k]和dist[k][j 都不是Inf ，只要一個(gè)是Inf，那么就肯定不必更新。 */ if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]="" )=""> dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; } } } } 如果還是看不懂，那就用草稿紙模擬一遍，之后你就會(huì)豁然開朗。半個(gè)小時(shí)足矣（早知道的話會(huì)節(jié)省很多個(gè)半小時(shí)了。。 ） 再來看路徑保存問題： void floyd() { for(int i=1; i<=n ;=""> for(int j=1; j<= n;=""> if(map[i][j]==Inf){ path[i][j] = -1;//表示 i -> j 不通 }else{ path[i][j] = i;// 表示 i -> j 前驅(qū)為 i } } } for(int k=1; k<=n; k++)=""> for(int i=1; i<=n; i++)=""> for(int j=1; j<=n; j++)=""> if(!(dist[i][k]==Inf||dist[k][j]==Inf)&&dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) { dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; path[i][k] = i; path[i][j] = path[k][j]; } } } } } void printPath(int from, int to) { /* * 這是倒序輸出，若想正序可放入棧中，然后輸出。 * * 這樣的輸出為什么正確呢？個(gè)人認(rèn)為用到了最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)， * 即最短路徑的子路徑仍然是最短路徑 */ while(path[from][to]!=from) { System.out.print(path[from][to] +' '); to = path[from][to]; } } 《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》課本上的那種方式我現(xiàn)在還是不想看，看著不舒服……
Floyd算法另一種理解DP，為理論愛好者準(zhǔn)備的，上面這個(gè)形式的算法其實(shí)是Floyd算法的精簡(jiǎn)版，而真正的Floyd算法是一種基于DP(Dynamic Programming)的最短路徑算法。設(shè)圖G中n 個(gè)頂點(diǎn)的編號(hào)為1到n。令c [i, j, k]表示從i 到j(luò) 的最短路徑的長(zhǎng)度，其中k 表示該路徑中的最大頂點(diǎn)，也就是說c[i,j,k]這條最短路徑所通過的中間頂點(diǎn)最大不超過k。因此，如果G中包含邊，則c[i, j, 0] =邊 的長(zhǎng)度；若i= j ，則c[i,j,0]=0；如果G中不包含邊，則c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 則是從i 到j(luò) 的最短路徑的長(zhǎng)度。對(duì)于任意的k>0，通過分析可以得到：中間頂點(diǎn)不超過k 的i 到j(luò) 的最短路徑有兩種可能：該路徑含或不含中間頂點(diǎn)k。若不含，則該路徑長(zhǎng)度應(yīng)為c[i, j, k-1]，否則長(zhǎng)度為 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取兩者中的最小值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]}，k＞0。這樣，問題便具有了最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來求解。 看另一個(gè)DP(直接引用王老師課件)
說了這么多，相信讀者已經(jīng)躍躍欲試了，咱們看一道例題，以ZOJ 1092為例：給你一組國(guó)家和國(guó)家間的部分貨幣匯率兌換表，問你是否存在一種方式，從一種貨幣出發(fā)，經(jīng)過一系列的貨幣兌換，最后返回該貨幣時(shí)大于出發(fā)時(shí)的數(shù)值(ps：這就是所謂的投機(jī)倒把吧)，下面是一組輸入。
3 //國(guó)家數(shù)
USDollar //國(guó)家名
BritishPound
FrenchFranc
3 //貨幣兌換數(shù)
USDollar 0.5 BritishPound //部分貨幣匯率兌換表
BritishPound 10.0 FrenchFranc
FrenchFranc 0.21 USDollar
月賽做的題，不過當(dāng)時(shí)用的思路是求強(qiáng)連通分量(ps：明明說的，那時(shí)我和華杰感覺好有道理)，也沒做出來，現(xiàn)在知道了直接floyd算法就ok了。 思路分析：輸入的時(shí)候可以采用Map map = new HashMap()主要是為了獲得再次包含匯率輸入時(shí)候的下標(biāo)以建圖(感覺自己寫的好拗口)，或者第一次直接存入String數(shù)組str，再次輸入的時(shí)候每次遍歷str數(shù)組，若是equals那么就把str的下標(biāo)賦值給該幣種建圖。下面就是floyd算法啦，初始化其它點(diǎn)為-1，對(duì)角線為1，采用乘法更新求最大值。 三.Bellman-Ford算法 為了能夠求解邊上帶有負(fù)值的單源最短路徑問題，Bellman(貝爾曼，動(dòng)態(tài)規(guī)劃提出者)和Ford(福特)提出了從源點(diǎn)逐次繞過其他頂點(diǎn)，以縮短到達(dá)終點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度的方法。 Bellman-ford算法是求含負(fù)權(quán)圖的單源最短路徑算法，效率很低，但代碼很容易寫。即進(jìn)行不停地松弛，每次松弛把每條邊都更新一下，若n-1次松弛后還能更新，則說明圖中有負(fù)環(huán)，無法得出結(jié)果，否則就成功完成。Bellman-ford算法有一個(gè)小優(yōu)化：每次松弛先設(shè)一個(gè)flag，初值為FALSE，若有邊更新則賦值為TRUE，最終如果還是FALSE則直接成功退出。Bellman-ford算法浪費(fèi)了許多時(shí)間做無必要的松弛，所以SPFA算法用隊(duì)列進(jìn)行了優(yōu)化，效果十分顯著，高效難以想象。SPFA還有SLF，LLL，滾動(dòng)數(shù)組等優(yōu)化。 關(guān)于SPFA，請(qǐng)看我這一篇http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3248391.html 遞推公式(求頂點(diǎn)u到源點(diǎn)v的最短路徑)：
dist 1 [u] = Edge[v][u] dist k [u] = min{ dist k-1 [u], min{ dist k-1 [j] + Edge[j][u] } }, j=0,1,…,n-1,j≠u
Dijkstra算法和Bellman算法思想有很大的區(qū)別：Dijkstra算法在求解過程中，源點(diǎn)到集合S內(nèi)各頂點(diǎn)的最短路徑一旦求出，則之后不變了，修改 的僅僅是源點(diǎn)到T集合中各頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度。Bellman算法在求解過程中，每次循環(huán)都要修改所有頂點(diǎn)的dist[ ]，也就是說源點(diǎn)到各頂點(diǎn)最短路徑長(zhǎng)度一直要到Bellman算法結(jié)束才確定下來。
算法適用條件
- 1.單源最短路徑(從源點(diǎn)s到其它所有頂點(diǎn)v)
- 有向圖&無向圖(無向圖可以看作(u,v),(v,u)同屬于邊集E的有向圖)
- 邊權(quán)可正可負(fù)(如有負(fù)權(quán)回路輸出錯(cuò)誤提示)
- 差分約束系統(tǒng)(至今貌似只看過一道題)
Bellman-Ford算法描述：
- 初始化：將除源點(diǎn)外的所有頂點(diǎn)的最短距離估計(jì)值 d[v] ←+∞, d[s] ←0
- 迭代求解：反復(fù)對(duì)邊集E中的每條邊進(jìn)行松弛操作，使得頂點(diǎn)集V中的每個(gè)頂點(diǎn)v的最短距離估計(jì)值逐步逼近其最短距離；（運(yùn)行|v|-1次，看下面的描述性證明(當(dāng)做樹)）
- 檢驗(yàn)負(fù)權(quán)回路：判斷邊集E中的每一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)是否收斂。如果存在未收斂的頂點(diǎn)，則算法返回false，表明問題無解；否則算法返回true，并且從源點(diǎn)可達(dá)的頂點(diǎn)v的最短距離保存在d[v]中
描述性證明：(這個(gè)解釋很好) 首先指出，圖的任意一條最短路徑既不能包含負(fù)權(quán)回路，也不會(huì)包含正權(quán)回路，因此它最多包含|v|-1條邊。 其次，從源點(diǎn)s可達(dá)的所有頂點(diǎn)如果 存在最短路徑，則這些最短路徑構(gòu)成一個(gè)以s為根的最短路徑樹。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，實(shí)際上就是按頂點(diǎn)距離s的層次，逐層生成這棵最短路徑樹的過程。 在對(duì)每條邊進(jìn)行1遍松弛的時(shí)候，生成了從s出發(fā)，層次至多為1的那些樹枝。也就是說，找到了與s至多有1條邊相聯(lián)的那些頂點(diǎn)的最短路徑；對(duì)每條邊進(jìn)行第2遍松弛的時(shí)候，生成了第2層次的樹枝，就是說找到了經(jīng)過2條邊相連的那些頂點(diǎn)的最短路徑……。因?yàn)樽疃搪窂阶疃嘀话瑋v|-1條邊，所以，只需要循環(huán)|v|-1 次。 每實(shí)施一次松弛操作，最短路徑樹上就會(huì)有一層頂點(diǎn)達(dá)到其最短距離，此后這層頂點(diǎn)的最短距離值就會(huì)一直保持不變，不再受后續(xù)松弛操作的影響。（但是，每次還要判斷松弛，這里浪費(fèi)了大量的時(shí)間，這就是Bellman-Ford算法效率底下的原因，也正是SPFA優(yōu)化的所在）。  ，如圖(沒找到畫圖工具的射線)，若是B和C的最短路徑不更新，那么點(diǎn)D的最短路徑肯定也無法更新，這就是優(yōu)化所在。
如果沒有負(fù)權(quán)回路，由于最短路徑樹的高度最多只能是|v|-1，所以最多經(jīng)過|v|-1遍松弛操作后，所有從s可達(dá)的頂點(diǎn)必將求出最短距離。如果 d[v]仍保持 +∞，則表明從s到v不可達(dá)。 如果有負(fù)權(quán)回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然會(huì)成功，這時(shí)，負(fù)權(quán)回路上的頂點(diǎn)不會(huì)收斂。 參考來源：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6803426101014l1v.html
問題：Bellman-Ford算法是否一定要循環(huán)n-1次么？未必！其實(shí)只要在某次循環(huán)過程中，考慮每條邊后，都沒能改變當(dāng)前源點(diǎn)到所有頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度，那么Bellman-Ford算法就可以提前結(jié)束了(開篇提出的小優(yōu)化就是這個(gè))。 上代碼(來自牛帥) #include #include using namespace std; #define MAX 0x3f3f3f3f #define N 1010 int nodenum, edgenum, original; //點(diǎn)，邊，起點(diǎn) typedef struct Edge //邊 { int u, v; int cost; }Edge; Edge edge[N]; int dis[N], pre[N]; bool Bellman_Ford() { for(int i = 1; i <= nodenum;="" ++i)="">//初始化 dis[i] = (i == original ? 0 : MAX); for(int i = 1; i <= nodenum="" -="" 1;=""> for(int j = 1; j <= edgenum;=""> if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（順序一定不能反~） { dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost; pre[edge[j].v] = edge[j].u; } bool flag = 1; //判斷是否含有負(fù)權(quán)回路 for(int i = 1; i <= edgenum;=""> if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost) { flag = 0; break; } return flag; } void print_path(int root) //打印最短路的路徑（反向） { while(root != pre[root]) //前驅(qū) { printf('%d-->', root); root = pre[root]; } if(root == pre[root]) printf('%d\n', root); } int main() { scanf('%d%d%d', &nodenum, &edgenum, &original); pre[original] = original; for(int i = 1; i <= edgenum;=""> { scanf('%d%d%d', &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost); } if(Bellman_Ford()) for(int i = 1; i <= nodenum;="" ++i)="">//每個(gè)點(diǎn)最短路 { printf('%d\n', dis[i]); printf('Path:'); print_path(i); } else printf('have negative circle\n'); return 0; }
四.SPFA算法
用一個(gè)隊(duì)列來進(jìn)行維護(hù)。初始時(shí)將源加入隊(duì)列。每次從隊(duì)列中取出一個(gè)元素，并對(duì)所有與他相鄰的點(diǎn)進(jìn)行松弛，若某個(gè)相鄰的點(diǎn)松弛成功，則將其入隊(duì)。直到隊(duì)列為空時(shí)算法結(jié)束；這個(gè)算法，簡(jiǎn)單的說就是隊(duì)列優(yōu)化的bellman-ford，利用了每個(gè)點(diǎn)不會(huì)更新次數(shù)太多的特點(diǎn)發(fā)明的此算法(看我上面那個(gè)圖，只有相鄰點(diǎn)更新了，該點(diǎn)才有可能更新) 。 代碼參見 ： http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3248391.html
五.趣聞
整理該篇博文的時(shí)候，一哥們發(fā)布網(wǎng)站到我們?nèi)?，網(wǎng)站很精美，一牛神(acmol)使用fork炸彈，結(jié)果服務(wù)器立馬掛啦，更改后又掛啦，目測(cè)目前無限掛中。。。
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