函數(shù)里面題型特別多，而且很多題型屬于比較難的，比如含有f（x）和xf'（x）的題型。

這一類題目如果考察，都是選擇題或者填空題最后一個題，難度算是比較大的。

但是如果能夠把這一類題型里面的規(guī)律和技巧都掌握了，其實(shí)很好做出來。

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例一：設(shè)函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x＞0時，xf'（x）-f（x）＜0.

則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍為__.

例二：定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若對于任意的實(shí)數(shù)x都有2f（x） xf'（x）＜2恒成立，則使x2f（x）-f（1）＜x2-1成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為______。

例三：設(shè)函數(shù)f'（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（0）=1，且3f（x）=f'（x）-3，則4f（x）＞f'（x）的解集是（）。

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第一個題目：

因為題意中有一個xf'（x）-f（x）＜0，我們需要找到誰的導(dǎo)數(shù)含有這樣的式子。

很顯然g（x）=f（x）/x的話，g'（x）=[xf'（x）-f（x）]/x2，包含上面的式子

因為f（-1）=0 f（x）是奇函數(shù)，所以f（1）=0。

當(dāng)x＞0時，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，﹢∞）單調(diào)遞減。

當(dāng)x=1時，g（1）=f（1）/1=0。

又因為單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)x＞1時，g（x）＜0，所以f（x）＜0.

同理，當(dāng)x∈（0,1）時，g（x）＞0，所以f（x）＞0。

根據(jù)奇函數(shù)圖像中心對稱，我們能夠判斷出來當(dāng)x∈（-1,0）時，f（x）＜0，當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f（x）＞0。

所以使得f（x）＞0的x的取值范圍就是（-∞，-1）∪（0,1）。

第二個題目：

因為題目中有一個2f（x） xf'（x）＜2，處理一下可得2f（x） x'f（x）-2＜0。

我們需要找到什么樣的函數(shù)求導(dǎo)會出現(xiàn)這么樣的式子。

很顯然g（x）=xf（x）的話，g'（x）=f（x） xf'（x）。

但是題目中f（x）前面系數(shù)是2，所以需要考慮誰求導(dǎo)會出現(xiàn)2。

2x求導(dǎo)會出現(xiàn)2，但是如果g（x）=2xf（x）的話，g'（x）=2f（x） 2xf'（x），而題意中xf'（x）的系數(shù)是1，所以不符合題意。

除了2x求導(dǎo)會出現(xiàn)2，x2求導(dǎo)也會出現(xiàn)2，所以我們假設(shè)g（x）=x2f（x）的話，g'（x）=2xf（x） x2f'（x）=x[2f（x） xf'（x）]。

又因為題目中的式子是2f（x） x'f（x）-2＜0，所以g'（x）=x[2f（x） xf'（x）-2]，所以g（x）=x2f（x）-x2。

當(dāng)x＞0時，g'（x）=x[2f（x） xf'（x）-2]＜0，所以g（x）在（0，﹢∞）上單調(diào)遞減。

又因為g（x）是偶函數(shù)，所以g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增。

x2f（x）-f（1）＜x2-1這個不等式要向我們構(gòu)造的g（x）靠近，可以化成x2f（x）-x2＜f（1）-1，即g（x）＜g（1）。

根據(jù)上面g（x）的單調(diào)性可得l x l＞1，所以不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，﹢∞）。

第三個題目：

題意中有3f（x）=f'（x）-3，既然兩邊式子相等，那么含自變量的部分也應(yīng)該相等，自變量指數(shù)也要相等。

如果是冪函數(shù)的話，原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)肯定不相等，所以f（x）要和e^x相關(guān)，因為e^x求導(dǎo)，指數(shù)不變。

又因為f（x）和f'（x）的系數(shù)不同，所以f（x）求導(dǎo)要出來3，所以f（x）要和e^3x有關(guān)。

如果f（x）=e^3x的話，3f（x）=3e^3x f'（x）-3=3e^3x-3 所以兩者還是不相等。

我們可以設(shè)f（x）=ae^3x b 那么3f（x）=3ae^3x 3b=f'（x）-3=3ae^3x-3，所以b=-1。

又因為f（0）=1，所以f（0）=a-1=1所以a=2，所以f（x）=2e^3x-1

求出來f（x）的解析式了，后面的不等式的解集就很簡單了。

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規(guī)律總結(jié)：

第一：含有f（x）和xf'（x）的話，就是和冪函數(shù)有關(guān)，兩者相加，構(gòu)造相乘的函數(shù)，兩者相減，構(gòu)造相除的函數(shù)。

第二：如果系數(shù)之比是1:1，那么就是f（x）和x相乘除，如果系數(shù)之比不是1:1，那么就是f（x）和x的系數(shù)之比次方相乘除。

比如第二題的2f（x）和xf'（x）關(guān)系式，f（x）前面系數(shù)是2，那就是f（x）和x2相乘除。

如果是f（x） xf'（x）/2的式子，系數(shù)之比同樣是2，所以也是f（x）乘以x2，只不過還要加個1/2系數(shù)。

第三：如果是f（x）和f'（x）相關(guān)的等式，那么就是和e^x有關(guān)，如果系數(shù)之比不是一比一，同樣適用第二條規(guī)律。

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趙國良老師（微信號：18254638393）專注高考數(shù)學(xué)研究，對題型總結(jié)比較徹底和到位。

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