年1月14日，一顆偉大的心臟停止了跳動(dòng)，世界著名的哲學(xué)家，邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家哥德?tīng)柌∈拧?div> 死亡證明說(shuō)：病人死于人格紊亂造成的營(yíng)養(yǎng)不良和食物不足，病逝時(shí)體重只有65磅。
讀者可能會(huì)感到疑惑作為普林斯頓高等研究院的終身教授，世界聞名的學(xué)者，而且又不是生活在60年代初的中國(guó)大陸或者是常年饑荒的非洲國(guó)家，一個(gè)人怎么會(huì)死于營(yíng)養(yǎng)不良呢？是的，哥德?tīng)柕囊簧柺芫窦膊〉恼勰?，?shù)次有過(guò)自殺的傾向。晚年更是經(jīng)常懷疑有人要謀殺他，會(huì)在他的飯菜里下毒。所以他不相信別人做的飯菜，只相信他夫人阿黛爾做的飯菜。但是太太阿黛爾也病倒了，沒(méi)有辦法照顧他，因此他只能吃一些很簡(jiǎn)單的食物或者就是經(jīng)常不吃飯，身體狀況迅速惡化，最終死于營(yíng)養(yǎng)不良。
偉大哲學(xué)家的凄涼晚景真是令人唏噓不止！ 庫(kù)爾特.哥德?tīng)?906年4月28日生于捷克的布爾諾。早年在維也納大學(xué)攻讀物理和數(shù)學(xué)，并參加維也納學(xué)派哲學(xué)小組的活動(dòng)，于1930年獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。1938年哥德?tīng)杹?lái)到美國(guó)普林斯頓高等研究院工作。他對(duì)邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等領(lǐng)域的研究做出了突出的貢獻(xiàn)，哥德?tīng)栕龀龅墓ぷ鞯降子卸嗝粗匾獙W(xué)術(shù)界自有公論，我們僅從愛(ài)因斯坦的一句話就可以大致判斷出哥德?tīng)柺菍儆谥亓考?jí)的人物，愛(ài)因斯坦說(shuō)：他晚年之所以堅(jiān)持每天都去辦公室，是因?yàn)樵诼飞峡梢院透绲聽(tīng)柫奶臁?/section> 哥德?tīng)柕钠拮影Ⅶ鞝柋雀绲聽(tīng)柎罅鶜q，哥德?tīng)?1歲認(rèn)識(shí)她的時(shí)候阿黛爾已婚并且在夜總會(huì)工作。他們的婚姻遭到哥德?tīng)柤胰说募w反對(duì)但最后有情人還是終成眷屬，婚后他們沒(méi)有孩子。哥德?tīng)柕呐笥褌儗?duì)于阿黛爾的評(píng)價(jià)是“說(shuō)話尖酸，脾氣暴躁”，但是朋友們的評(píng)價(jià)并沒(méi)有妨礙他們之間的感情，哥德?tīng)柗驄D的感情一直很好。哥德?tīng)栆簧钪匾墓ぷ魇亲C明了哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ?，要想了解不完備性定理的大致含義，我們先從希爾伯特雄心勃勃的計(jì)劃說(shuō)起。德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特出生于東普魯士的哥尼斯堡，與偉大的哲學(xué)家康德是同鄉(xiāng)。希爾伯特是一位名副其實(shí)的數(shù)學(xué)大師，有人將他稱(chēng)為“數(shù)學(xué)界最后的一位全才”。
希爾伯特希望為整個(gè)數(shù)學(xué)尋求一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，他的目標(biāo)是將整個(gè)數(shù)學(xué)體系嚴(yán)格公理化（就像歐幾里得的平面幾何學(xué)一樣），然后運(yùn)用元數(shù)學(xué)（證明數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)）來(lái)證明整個(gè)數(shù)學(xué)體系是建立在牢不可破的堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上的。 首先，他計(jì)劃要將所有數(shù)學(xué)形式化，讓每一個(gè)數(shù)學(xué)陳述都能用符號(hào)表達(dá)出來(lái)，讓每一個(gè)數(shù)學(xué)家都能用定義好的規(guī)則來(lái)處理這些已經(jīng)變成符號(hào)的陳述。這樣就可以使數(shù)學(xué)家們?cè)谒伎既魏螖?shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候能夠徹底擺脫自然語(yǔ)言的模糊性，取而代之的是毫無(wú)含糊之處的符號(hào)語(yǔ)言。然后，證明數(shù)學(xué)是完整的，也就是說(shuō)所有為真的陳述都能夠被證明，這被稱(chēng)之為數(shù)學(xué)的完備性；再來(lái)證明數(shù)學(xué)是一致的，也就是說(shuō)不會(huì)推出自相矛盾的陳述，這被稱(chēng)為數(shù)學(xué)的一致性。完備性保證了我們能夠證明所有的真理，只要是真的命題就可以被證明；一致性確保我們?cè)诓贿`背邏輯的前提下獲得的結(jié)果是有意義的，不會(huì)出現(xiàn)某一個(gè)陳述，它既是真的又是假的。最后，期望可以找到一個(gè)算法，用此算法可以機(jī)械化地判定數(shù)學(xué)陳述的對(duì)錯(cuò)，這被稱(chēng)為數(shù)學(xué)的可判定性。一致性保證了自相矛盾的情況不會(huì)出現(xiàn)。「在保證數(shù)學(xué)一致性這個(gè)前提之下，如果又有了數(shù)學(xué)的完備性，也就是說(shuō)任何一個(gè)數(shù)學(xué)命題都可以被證明或者被證偽」。這其實(shí)就是說(shuō)，對(duì)于任意一個(gè)數(shù)學(xué)猜想，不管它有多難，只要假以時(shí)日，通過(guò)一代又一代人的努力，總是可以知道這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)，并且證明或證偽它。換句話說(shuō)，在數(shù)學(xué)中，通過(guò)邏輯，我們必定能夠知道我們想要知道的東西，這只不過(guò)是個(gè)時(shí)間問(wèn)題。希爾伯特提出，先計(jì)劃在基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中進(jìn)行這樣的形式化，然后再將其推廣到更廣闊的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，最后實(shí)現(xiàn)整個(gè)計(jì)劃。于是，整個(gè)計(jì)劃便歸結(jié)為在算術(shù)系統(tǒng)中進(jìn)行這樣的形式化，并且在算術(shù)系統(tǒng)的內(nèi)部證明它的完備性、一致性和可判定性。算術(shù)系統(tǒng)可以說(shuō)是非?；A(chǔ)的系統(tǒng)，我們做算術(shù)，對(duì)自然數(shù)做加法、乘法和數(shù)學(xué)歸納法，就都用到了這個(gè)系統(tǒng)。但我們平時(shí)只是憑直覺(jué)來(lái)理解這個(gè)系統(tǒng)，而數(shù)學(xué)家追求的是用邏輯的方法來(lái)定義它，因?yàn)橹挥羞@樣做才會(huì)使他們覺(jué)得安心。這似乎不是一個(gè)十分困難的任務(wù)，因?yàn)樗阈g(shù)系統(tǒng)并不是一個(gè)很復(fù)雜的系統(tǒng)。在希爾伯特提出這個(gè)雄心勃勃的計(jì)劃以后，許多數(shù)學(xué)家都投入了對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的研究，其中就包括哥德?tīng)?。在完成自己的博士論文以后，哥德?tīng)柧椭盅芯扛鼮橐话愕臄?shù)學(xué)系統(tǒng)。1931年，他對(duì)算術(shù)系統(tǒng)的探索宣告勝利，然而他的這個(gè)勝利也就意味著希爾伯特計(jì)劃的失敗。哥德?tīng)柕慕Y(jié)論后來(lái)被稱(chēng)為哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ?。哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ戆瑑蓚€(gè)：也就是說(shuō)，要是我們能在一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中做算術(shù)的話，那么要么這個(gè)系統(tǒng)是自相矛盾的，要么有那么一些結(jié)論，它們是真的，但是我們卻無(wú)法證明。哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ淼淖C明過(guò)程十分復(fù)雜，但是其核心思想是運(yùn)用了邏輯學(xué)里的“自指”的概念，說(shuō)的通俗一點(diǎn)就是：「這個(gè)陳述它陳述了它自己」。自指是邏輯學(xué)里面很多悖論的根源，比如理發(fā)師悖論——在一個(gè)小鎮(zhèn)內(nèi)，只有一名理發(fā)師，他在理發(fā)店門(mén)外公布了這樣一個(gè)原則：「只為不給自己理發(fā)的人理發(fā)」。那么，他自己的頭發(fā)誰(shuí)來(lái)理呢？要是他自己理的話，他就會(huì)自己理發(fā)了，那么根據(jù)他的原則，他不應(yīng)該為自己理發(fā)；要是他不給自己理發(fā)的話，根據(jù)他的原則，他倒是應(yīng)該給他自己理發(fā)了，邏輯似乎在這里失效了。這種邏輯上的混亂局面，背后就是羅素悖論：定義一個(gè)集合，它包含所有不包含自身的集合，那它是否包含自身？從上面的分析我們可以看到，一切問(wèn)題在于“包含自身”這種自指的描述。然而這種“自指”的性質(zhì)，在哥德?tīng)柕氖种?，卻變成了完成證明的重要工具。哥德?tīng)枠?gòu)造了一個(gè)命題，這個(gè)命題說(shuō)的正是它自身的不可證明性。如果用類(lèi)似說(shuō)謊者悖論的語(yǔ)言來(lái)描述的話，就可以表達(dá)為：“不存在對(duì)這個(gè)命題的形式證明?！?/section>如果它是真的，那么它是不可證明的，說(shuō)明系統(tǒng)是不完備的，因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)真的而又不可證明的命題；
如果它是假的，那么就存在一個(gè)對(duì)它的證明，這樣它應(yīng)該是真的，這又說(shuō)明了系統(tǒng)是自相矛盾的、不一致的。
這就是哥德?tīng)柕谝徊煌陚湫远ɡ恚喝绻到y(tǒng)包含有自然數(shù)的話，「完備性和一致性不可得兼，這個(gè)系統(tǒng)要么自相矛盾，要么存在著既不能證明也不能證偽的命題」。然后，我們?cè)賮?lái)僅考慮一致性的問(wèn)題： 假定系統(tǒng)是一致的，也就是說(shuō)不會(huì)自相矛盾的，那么我們剛才提到的命題就是不可證明的。如果我們能在系統(tǒng)內(nèi)部證明系統(tǒng)的一致性的話，我們就相當(dāng)于在系統(tǒng)內(nèi)部證明了那個(gè)命題，這與不可證明性是矛盾的。 也就是說(shuō)，我們做了錯(cuò)誤的假設(shè)：能在系統(tǒng)內(nèi)部證明系統(tǒng)本身的一致性。由此，哥德?tīng)栕C明了他的第二不完備性定理。如果我們假定數(shù)學(xué)是不會(huì)自相矛盾的話，我們就必須承認(rèn)數(shù)學(xué)是不完備的，也就是說(shuō)有那么一些數(shù)學(xué)命題是不可判定的：我們既不能證明它們?yōu)檎?，也不能證明它們?yōu)榧佟?/section> 自從哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ肀蛔C明以來(lái)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)問(wèn)題被證明是不可判定的，這些不可判定的問(wèn)題也越來(lái)越初等。乍看起來(lái)并非不可捉摸，但到頭來(lái)卻是不可判定的。這就給數(shù)學(xué)家們的心頭上壓了重重的一塊大石頭，誰(shuí)也不能肯定自己辛辛苦苦做了十幾年甚至幾十年的題目，會(huì)不會(huì)突然有一天被證明是在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中是不可判定的。盡管這樣，哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ砣匀粠Ыo我們很多收益，至少我們知道了，有些東西我們是不可能知道的。哥德?tīng)柕牟煌陚湫远ɡ?，首先是針?duì)“形式系統(tǒng)”的。只有在存在“形式系統(tǒng)”的條件下，才會(huì)產(chǎn)生“形式與內(nèi)容”之間的不相容性的問(wèn)題。理論物理系統(tǒng)作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的“形式系統(tǒng)”，其終極形式最終會(huì)導(dǎo)致“完備性”與“一致性”之間的不相容。所以，理論物理的理論的發(fā)展只能是漸進(jìn)的、分層次的，這就是為什么愛(ài)因斯坦的相對(duì)論可以超越牛頓力學(xué)卻無(wú)法取代牛頓力學(xué)的原因。同樣超越愛(ài)因斯坦的相對(duì)論也不意味著取代愛(ài)因斯坦相對(duì)論，因?yàn)榘鄬?duì)論理論的形式系統(tǒng)（黎曼幾何）在相應(yīng)的物理內(nèi)容范圍內(nèi)是無(wú)矛盾的，相容的。真理與命題之間的矛盾，似乎是悖論的必然表現(xiàn)。這個(gè)表現(xiàn)的本質(zhì)在于，它證明了“真理”本身的相對(duì)性，而“絕對(duì)真理”只能建立在體系完備的基礎(chǔ)上，哥德?tīng)柖ɡ碜C明了這是不可能的。因此，當(dāng)人們追求“絕對(duì)真理”的時(shí)候，實(shí)際上就已經(jīng)偏離了追求“真理”的正確道路，其結(jié)果必然就是：發(fā)現(xiàn)“絕對(duì)真理”就是絕對(duì)的悖論。因此，20世紀(jì)的哲學(xué)終于擺脫了“絕對(duì)真理”的龐雜體系，開(kāi)始了自身的變革。雖然，哲學(xué)不再充當(dāng)“科學(xué)的教父”，“意識(shí)形態(tài)的總司令”，但它自身卻變的更加接近真理而遠(yuǎn)離了謬誤。這也許就是20世紀(jì)的數(shù)學(xué)，對(duì)于哲學(xué)的最大貢獻(xiàn)，而且對(duì)于整個(gè)人類(lèi)文明的影響也是非常深遠(yuǎn)的！Via：慧田哲學(xué)人公號(hào)「philosophs」編｜哲友坐看云起投稿
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