可以將矩陣對向量的轉換理解為對向量所在坐標系的轉換。

1.向量的每個坐標都表明了平行于相應軸的偏移量，所以向量可以改寫成如下形式：

v = [x y z]

   = [x 0 0] + [0 y 0] + [0 0 z]
   = x [1 0 0] + y [0 1 0] + z [0 0 1]

設向量p,q,r分別為指向+x,+y和+z方向的單位向量

i = [1 0 0]
j = [0 1 0]
k = [0 0 1]

帶入以上公式則有：

v = xi +yj +zk

這里i,j和k可以稱為基向量,一個坐標系能夠用任意3個線性無關的基向量定義，向量可以表示為基向量的線性組合。

2.M是矩陣，與基向量相乘：

向量v與矩陣M相乘有：

這里將iM,jM和kM改為p,q和r

p = iM

q = jM

r = kM

則有：

因為坐標系能用任意3個基向量定義，所以這里可以將M的行解釋為坐標系的基向量。

v乘以M就相當于執(zhí)行了一次坐標轉換，原有的基向量i,j和k轉換為了新的基向量r,p和q。

若有vM = a,就可以說，M將v轉換到a.

3.實例：2d中的矩陣轉換

看下列2*2的矩陣

從矩陣中抽出基向量p和q

p = [2,1]

q = [-1,2]

經過矩陣轉換后，原來的基向量+x轉換為了p,+y轉換為了q

當然，所有向量都被轉換了

以一張矩形圖片來形象的展示變換，左邊為變化前，右邊為變換后：

注：更多內容參考3d數(shù)學基礎第2版