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大家都知道自然數(shù)前n項(xiàng)和公式：1 2 ... n=n(n 1)/2。 它的推導(dǎo)方法很簡(jiǎn)單，就是利用所謂的倒序相加法（據(jù)傳德國大數(shù)學(xué)家高斯在其讀小學(xué)的時(shí)候就已經(jīng)獨(dú)自想出這一方法）。 令Sn=1 2 3 ... (n-2) (n-1) n 則Sn=n (n-2) (n-1) ... 3 2 1 所以2Sn=(1 n) [2 (n-1)] [3 (n-2)] ... [(n-2) 3] [(n-1) 2] (n 1) (*) 注意到1 n=2 (n-1)=3 (n-2)=...=(n-2) 3=(n-1) 2=n 1 也就是說（*）式右邊每一項(xiàng)均等于n 1，一共有n項(xiàng)，因此有2Sn=n(n 1)，所以Sn=n(n 1)/2。 即：1 2 ... n=n(n 1)/2。 但是對(duì)于自然數(shù)前n項(xiàng)的平方和公式，恐怕很多朋友就不是很清楚了，現(xiàn)在推導(dǎo)如下。 首先回顧一個(gè)重要公式，兩個(gè)數(shù)的和的立方展開式 (a b)^3=a^3 3*(a^2)*b 3*a*(b^2) b^3 所以：(n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 1 2^3=(1 1)^3=1^3 3*1^2 3*1 1 3^3=(2 1)^3=2^3 3*2^2 3*2 1 4^3=(3 1)^3=3^3 3*3^2 3*3 1 ...... (n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 1 等式左右兩邊相加得，消掉相同的立方項(xiàng)得： (n 1)^3=1^3 3*(1^2 2^2 ... n^2) 3*(1 2 ... n) n 令Sn=1^2 2^2 ... n^2，則 (n 1)^3=1 3Sn 3n(n 1)/2 n 化簡(jiǎn)后易得Sn=n(n 1)(2n 1)/6 即：1^2 2^2 ... n^2=n(n 1)(2n 1)/6 順便說一句，利用同樣的方法還可以得出 1^3 2^3 ... n^3=n^2*(n 1)^2/4=[n(n 1)/2]^2=(1 2 ... n)^2 這是一個(gè)非常有趣的結(jié)論，大家可以自己嘗試去證明一下！ |
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