千萬黑洞數(shù)模塊輔導(dǎo)教程

模塊背景：在茫茫宇宙里，存在著一種叫“黑洞”的天體。它是由高密度物質(zhì)組成，任何物質(zhì)只要靠近黑洞就會被“吞噬”，連光線射到這個天體上都會被吸收掉，不能反射。人們看不見這個天體，所以稱它為黑洞。無獨(dú)有偶，在數(shù)字王國里也存在著許多“數(shù)字黑洞”，如果一個數(shù)字“公民”，任憑一種運(yùn)算或規(guī)則的擺布，就會掉進(jìn)“黑洞”，無法自拔。讓我們一起探尋一下“數(shù)字黑洞”形成的秘密。

一、搜尋黑洞數(shù)。下面給大家介紹一種尋找“黑洞數(shù)”的一般方法：排序求差法。

規(guī)則是，任取一個正整數(shù)（要求數(shù)字不完全相同），把它的各位數(shù)字按從大到小重新排列，再把它的各位數(shù)字按從小到大重新排列，分別組成最大數(shù)和最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，對所得的差重復(fù)上述過程。如果持續(xù)不停地重復(fù)下去，就會找到黑洞數(shù)。

（1）以67為例，探尋兩位數(shù)的“黑洞數(shù)”：

         所以兩位數(shù)的“黑洞數(shù)”是：9，81，63，27，45組成的“漩渦型黑洞數(shù)”。

（2）以103為例，探尋三位數(shù)的“黑洞數(shù)”：103→297→693→594→495→……

     所以三位數(shù)的“黑洞數(shù)”是：594。

（3）以3109為例，探尋四位數(shù)的“黑洞數(shù)”：3109→9171→8532→6174→6174→……

所以四位數(shù)的“黑洞數(shù)”是：6174。

如果大家有興趣，可以嘗試用其數(shù)字去探詢黑洞數(shù)。在探尋的過程中，你會體驗到被“黑洞”吸引的感覺，這就是數(shù)學(xué)的神秘之美。

 二、小心??！ 你的生日離黑洞有多遠(yuǎn)！

有一位網(wǎng)友，說他爺爺今年85歲了，沒有受過高等教育，但對很多知識都很感興趣，去年7月的一份報紙中，讓他對黑洞數(shù)琢磨良久。據(jù)貴報2007年7月27日生活家游戲版《黑洞數(shù)6174》，爺爺發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)如果數(shù)字符合以下情況可以一次相減得到黑洞數(shù)6174。舉例如下：9863－3689=6174；8532－2358=6174；7311－1137=6174；6640－0466=6174；6200－0026=6174；7421－1247=6174；9973－3799=6174；這位老人發(fā)現(xiàn)這七個數(shù)字，與黑洞數(shù)6174只差一步之遙，真是太玄了。我們規(guī)定每個人的生日都是四位數(shù)，如10月12日，可組成1012，但6月28日，組成了628，但我們把它看成四位0628，進(jìn)行排序求差的演算得：628→8620-268＝8352→8532-2358＝6174，這個具有兩個完全數(shù)組成的生日，離黑洞數(shù)只有兩步??！而1012是四步。大家試試，你的生日離黑洞有多遠(yuǎn)？

定理：任意取一個四位數(shù),經(jīng)過至多7次排序求差的演算,必定能得到6174。

證明:設(shè)A>B>C>D ，第一次操作可能出現(xiàn)7種情況: (1)AAAB-BAAA ；(2)ABBB-BBBA ；(3)AABB-BBAA ；(4)AABC-CBAA ；(5)ABBC-CBBA ；(6)ABCC-CCBA ；(7)ABCD-DCBA 。

考慮(1),AAAB-BAAA的個位數(shù)為10+B-A,十位,百位都是9,千位是A-B-1 ；

考慮(2),ABBB-BBBA的個位數(shù)為10+B-A,十位,百位都是9,千位是A-B-1 ；

考慮(3),AABB-BBAA的個位數(shù)為10+B-A,十位為9+B-A,百位是A-B-1,千位是A-B ；；考慮(4),AABC-CBAA的個位數(shù)為10+C-A,十位為9+B-A,百位是A-B-1,千位是A-C ；

考慮(5),ABBC-CBBA的個位數(shù)為10+C-A,十位,百位都是9,千位是A-C-1 ；

慮(6),ABCC-CCBA的個位數(shù)為10+C-A,十位為9+C-B,百位是B-C-1,千位是A-C ；

考慮(7),ABCD-DCBA的個位數(shù)為10+D-A,十位為9+C-B,百位是B-C-1,千位是A-D 。

注意到(1)中操作后新四位數(shù)的千位,個位的和為9,因此新四位數(shù)只可能是0999,1998,2997,3996,4995(后面的5994,6993,7992,8991,9990可以不用考慮,因為下次操作時4995,5994計算結(jié)果相同,其余類似) 。同理(2),(5)中操作后新四位數(shù)和(1)一樣；(3),(4),(6),(7)中操作后新四位數(shù)的千位,個位的和為10,百位,十位的和為8,因此新四位數(shù)只可能是： 
1089,1179,1269,1359,1449 ；2088,2178,2268,2358,2448；3087,3177,3267,3357,3447；4086,4176,4266,4356,4446 ；085,5175,5265,5355,5445 。

所以我們只需驗證下面這30個數(shù)經(jīng)過不超過6次操作后可以得到6174即可 。
0999,1998,2997,3996,4995 ；1089,1179,1269,1359,1449 ；2088,2178,2268,2358,2448 ；3087,3177,3267,3357,3447 ；4086,4176,4266,4356,4446 ；5085,5175,5265,5355,5445 。

將30個數(shù)分為6個集合 ：S（1）={4176,2358} ；S（2）={1179,1269,2088,3087,3357,4266} ； S（3）={1089,4356,1998,3996} ；S（4）={0999,2268,3177,3447,4446,5265,5355,5445} ；S（5）=[2997,4995,2178,3267} ；S（6）={1359,1449,2448,4086,5085,5175} 。

則S(i+1)中的任意一個元素經(jīng)過一次操作后,新四位數(shù)作適當(dāng)排列可以得到S（i）中的某一個元素,且S（1）中的任意一個元素經(jīng)過一次操作后必定得到6174。

定理2：    對任一個各位數(shù)字不全相同的三位數(shù)，施行如下的“重排求差”運(yùn)算:將其各位數(shù)字按由大到小和由小到大的順序從左到右重新排列，各得一個三位數(shù)，然后前者減去后者，得一數(shù).對此數(shù)再施行上述“重排求差”運(yùn)算.證明經(jīng)如此有限次運(yùn)算后，最后必得495。

證明：事實上，對任一個各位數(shù)字不全相同的三位b₃b₂b₁，不妨設(shè)b₃≥b₂≥b₁， b₃≠b₁則 b₃b₂b₁一b₁b₂b₃- (b₃一1一b₁ )9(10+b₁一b₃).

其中間一位數(shù)字必為9，首末兩位數(shù)字之和也為9，因而只要考察如下6個數(shù):

990, 891，792. 693, 594,

容易驗證，對這5個數(shù)中的任一個數(shù)，施行有限次(不會超過5次)“重排求差”運(yùn)算后，必得495。

    三、黑洞數(shù)的性質(zhì)：黑洞數(shù)問題是近幾十年來有趣數(shù)學(xué)問題。它已引起國內(nèi)外數(shù)學(xué)界的廣泛注意和研究。我們可以從黑洞數(shù)的性質(zhì)人手，另辟一徑進(jìn)行研究，很快就能得到二位到八位的全部黑洞數(shù)，并第一個發(fā)現(xiàn)了黑洞數(shù)的神奇衍生法，從而把黑洞數(shù)問題的研究推向更深層次。

    首先給出黑洞數(shù)的幾個重要性質(zhì)：

   性質(zhì)1 ：黑洞數(shù)一定能被9整除。

    證明: 由于一個數(shù)N，與它的數(shù)字和同余（mod9），而排序求差，不改變數(shù)字的組合，大數(shù)和小數(shù)同余，因此兩個數(shù)的差必定被9整除，所以黑洞數(shù)能被9整除。

    性質(zhì)2：奇數(shù)位黑洞數(shù)必定能被99整除，而且中間位數(shù)字b_m=9。

證明: 把一個數(shù)N由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，設(shè)為r，那么這個差與原數(shù)同余，即N≡r（mod11），奇數(shù)位黑洞數(shù)排序求差的大數(shù)與小數(shù)，除以11的余數(shù)相同，因此它們的差是11的倍數(shù)。由性質(zhì)1，黑洞數(shù)一定能被9整除。所以奇數(shù)位黑洞數(shù)必定能被99整除。又因為求差時中間數(shù)字相同，求差結(jié)果必定是9。

性質(zhì)3:黑洞數(shù)N_m =b₁b₂……b_m(m≥4)只能屬于下列二種情況之一

      (1)b₁+b_m＝10;

      (2)b₁+b_m ＝9且b₂＝b₃=……b_m-1=9。

三、各位黑洞數(shù)的尋找：二位數(shù)，三位黑洞數(shù)只須從能被99整除的三位數(shù)，四位以上的黑洞數(shù)只須從能被9整除(奇位黑洞數(shù)能被99整除且中間位數(shù)字是9)且首末位數(shù)之和等于10的數(shù)中去尋找就行了。再注意到一個數(shù)能被9整除的充要條件是該數(shù)各位數(shù)字之和能被9整除，以及排序求差運(yùn)算僅與數(shù)碼有關(guān)而與數(shù)的大小無關(guān)，我們就得到下面的    結(jié)論：

二位黑洞數(shù)只能由18，27，36，45經(jīng)過排序求差運(yùn)算產(chǎn)生，簡單計算后得到一個黑洞圈((5個黑洞數(shù)組成):（63，27，45 ,09，81）;

三位黑洞數(shù)只能由198，297，396，495經(jīng)過排序求差運(yùn)算產(chǎn)生，計算后僅有一個黑洞數(shù)495;

四位黑洞數(shù)只能從下列的數(shù)經(jīng)排序求差運(yùn)算產(chǎn)生:1ij9,2ij8, 3ij7, 4ij6, 5ij5(這里i=0,1,2,3,4且i=8-j;或者i=8而i=9)，計算后也僅有一個黑洞數(shù)6174;

五位黑洞數(shù)只能從下列的數(shù)經(jīng)排序求差運(yùn)算嚴(yán)生:1i9j9,2i9j8, 3i9j7, 4i9j6; 5i9j5(這里i=0,1,2,3,4且j=8-i;或者i=8而j=9)，計算后得到三個黑洞圈共10個黑洞數(shù)):

(1)  83952, 74943, 62964, 71973;

(2)  82962, 75933, 63954, 61974;

(3)  53955, 59994;

 六位黑洞數(shù)只能從下列的數(shù)經(jīng)排序求差運(yùn)算產(chǎn)生:1ijkl 9,2ijkl8, 3ijkl7, 4ijkl6, 5ijk15,(這里i.＝0，1，2，3，4,j =0, l,2,3,4，而k=8-j,1=9-i) ,還可以這樣產(chǎn)生：

1i99j9,2i99j8,3i99j7.4i99j6,5i99j5；(這里的i=8-j)計算后得到三個黑洞圈:

    (1)  420876, 851742, 750843，840852, 860832,862632, 642654;

    (2)  549945;

    (3)  631764;

    仿此計算，不難發(fā)現(xiàn)七位數(shù)只有一個黑洞圈:

8429652，8719722，7619733，8649432，8439552，7519743，7509843，9529641。

八位數(shù)則有四個黑洞圈:

    (1) 85317642, 75308643, 84308652, 86308632，86326632. 64326654. 43208766:；

(2)  64308654, 83208762, 86526432;

    (3)  63317664;

    (4)  97508421;

九位數(shù)只找到一個黑洞數(shù)：864197532, 十位數(shù)也只找到一個黑洞數(shù)9753086421。

   五、黑洞數(shù)的神奇衍生法  在深人研究了二位-一八位的黑洞數(shù)的結(jié)構(gòu)后，結(jié)

合上述三個性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)了黑洞數(shù)的有趣衍生法，即一些黑洞數(shù)(圈)，它們可按照一定的規(guī)則，奇跡般衍生出一系列更多位的黑洞數(shù)(圈)來。若一個黑洞數(shù)(圈)有二種以上的衍生法，則其中每一個黑洞數(shù)(圈)也必然能按照這幾種衍生法，分別產(chǎn)生出高位黑洞數(shù)(圈)。   

方法1：由495衍生而成(每段插入k一1個數(shù)碼)，即99…95…54…4-4…45…59…9 ＝5…549…9 94…45 (k=1,2,3,，…)，即就是495依次間隔地插人了k-1個5,k-1個9和k-1個4得到的(不妨稱為A型衍生法);

方法2：(2)N_2k+2=63…3176…6 4，是一個2K+2位黑洞數(shù)，它是由黑洞數(shù)6174其間對稱地插人k-1個3和k-1個6得到的(不妨稱為B型衍生法);

方法3： 99…975084200…01是 一個2k+6位黑洞數(shù)，它是由黑洞數(shù)97508421其間對稱地插人k-1個9和0得到的(不妨稱為C型衍生法);

方法4：555430865444,832110888762,877652643222，也是一個2k+6位的黑洞圈，它是由八位黑洞圈64308654, 83208762, 86526432；依次對稱地插人k-1個5-4,k-1個1-8和k-1個7-2得到的(不妨稱為D型衍生法);

以上結(jié)論，都不難由黑洞數(shù)的定義直接驗證，讀者可自行證明。

例1：九位黑洞數(shù)864197532用A型與B型衍法，可得一個9k位黑洞數(shù)：  N_9k=8… 886…664…442…219…997…775…553…331…12 和一個2k+7位黑洞數(shù)：N_2k+7=8643…3 1976…6532。

例2：(851742,750843, …,420876)，循環(huán)周期m＝7，可衍生而成為：(853…3176…642，753…3086…64343…320876…66)為由(6174)衍生的黑洞數(shù)(63…3176…64)。

例 3：由(97508421)衍生的2k+6位黑洞數(shù)為(99…97508420…001).。

例4：由(64308654,83208762,86526432)衍生的為:(65…54308654…44,8321…1088…8762，87…76526432…22).是2k+6位。

懸而未能解決的問題:(1)黑洞數(shù)除了上述四種衍生法，還有別的衍生法嗎?(2)為什么有些黑洞數(shù)(圈)不能用這四種衍生法產(chǎn)生新的黑洞數(shù)(圈)?例如前面所述的五位的三個黑洞圈，七位的一個黑洞圈，以及下列的11位黑洞圈等:86330986632, 96532966431,87331976622, 86542965432,76320987633，96442965531，87320987622, 966539543310。

習(xí)  題

1. 什么叫黑洞數(shù)？有沒有一位黑洞數(shù)？

2. 請你驗證864197532是黑洞數(shù)。

3. 你把你的生日當(dāng)作三位數(shù)，或四位數(shù)，進(jìn)行排序求差演算，看幾步能得到黑洞數(shù)？

4. 黑洞數(shù)有幾種衍生法？6位黑洞數(shù)549945，與三位黑洞數(shù)有什么關(guān)系？

請尋找11位黑洞數(shù)。

電子表格模塊操作指南

一、第一關(guān)：一位黑洞數(shù)，只有一種情況。

二、第二關(guān)：二位黑洞數(shù)

三、第三關(guān)：三位黑洞數(shù)，可用函數(shù)MOD(A3,10)，MOD(INT(A3/10),10)，=MOD(INT(A3/100),10)來分解三位數(shù)，用函數(shù)LARGE(B3:D3,1)排序。用函數(shù)(E3&F3&G3)-(G3&F3&E3)進(jìn)行排序求差，用函數(shù)IF(H3<100,0&H3,H3)保證位數(shù)為三位，用函數(shù)IF(H8-495=0,1,'')、MIN(AW3:BB3)，來尋求該數(shù)與黑洞數(shù)的距離。尋求三位黑洞數(shù)需要計算6次。

四、第四關(guān)：四位黑洞數(shù)。可用函數(shù)MOD(A3,10)，MOD(INT(A3/10),10)，=MOD(INT(A3/100),10)，INT(A3/1000)來分解四位數(shù)，用函數(shù)LARGE(B3:E3,1)排序。用函數(shù)(F3&G3&H3&I3)-(I3&H3&G3&F3)進(jìn)行排序求差，用函數(shù)IF(J3<1000,0&J3,J3)保證位數(shù)為四位，用函數(shù)IF(H8-6174=0,1,'')、MIN(AW3:BB3)，來尋求該數(shù)與黑洞數(shù)的距離。尋求四位黑洞數(shù)需要計算7次。