牟合方蓋與劉祖原理

2002級數(shù)學(xué)教育碩士  周文潔

魏晉時數(shù)學(xué)家劉徽在研究我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》時，為《九章》作注，書名為《九章算術(shù)注》。在該書中，劉徽明確指出《九章算術(shù)》中的球體積公式（為球的直徑）是錯誤的，錯誤的原因在于誤以為球和它的外切圓柱的體積的比是π∶4。為了糾正這一錯誤，劉徽在他的《九章算術(shù)注》中，提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接求球體的體積，而是先計算另一個叫“牟合方蓋”的立體的體積。

何謂“牟合方蓋”？用一個正方體的土坯，用一與之內(nèi)切且等高的空心鐵圓柱一套，拿出來，正方體變成了圓柱體，底面正好為原正方體底面的內(nèi)接圓，然后橫放此圓柱，再用同樣的一個空心鐵圓柱一套（如圖一），出現(xiàn)了圖二中形狀的物體——即由兩個同樣大小但軸心互相垂直的圓柱體相交而成的立體。由于這個立體的外形似兩把上下對稱的正方形雨傘(整個造形也像兩頂餐桌上擋蒼蠅用的桌罩反向迭合而成的)，所以就稱它為“牟合方蓋”。

在這個立體里面，可以內(nèi)切一個半徑和原來圓柱體一樣大小的球體。劉徽指

出，由于內(nèi)切圓的面積和外切正方形的面積之比為 π : 4（見圖三），所以球體體積與“牟合方蓋”的體積之比亦應(yīng)為 π : 4。而顯然，因為內(nèi)切圓柱的體積大于合蓋的體積，所以球體體積與“牟合方蓋”的體積之比和球體體積與它的外切圓柱的體積的比應(yīng)不相等，由此說明《九章算術(shù)》中的球體積公式是錯誤的。

顯然,只要求出牟合方蓋的體積，那么球體積便迎刃而解?？上У氖?，劉徽功虧一簣，未能求出牟合方蓋的體積，但是他坦誠地記下了自己的困惑，表示“欲陋形措意，懼失正理，敢不闕言,以候能言者”,表現(xiàn)了一位偉大學(xué)者實事求是、寄希望于后學(xué)的坦蕩胸懷。

二百年后，能實現(xiàn)劉徽愿望的人終于出現(xiàn)了。他就是祖暅！祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r代大數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子。同劉徽一樣，除了少量的史料外，我們對祖氏父子二人的認識甚少，就連他們的著作《綴術(shù)》亦早已失傳，非常可惜。

祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論去進行體積計算，他的方法是將原來的“牟合方蓋”平均分為八份，取它的八分之一——不妨稱為“小牟合方蓋”（如圖四），設(shè) OP = h，過 P 點作平面 PQRS 平行于 OABC。又設(shè)內(nèi)切球體的半徑為 r，則 OS = OQ = r，由勾股定理有PS = PQ =，故此正方形 PQRS 的面積是 r ² - h ²。

如果將圖四的立體放在一個邊長為 r 的正立方體之內(nèi)（如圖五），不難證明圖五中與圖四等高處陰影部分的面積等于h ²。在圖六中，設(shè)由方錐頂點至方錐截面的高度為，不難發(fā)現(xiàn)對于任何的，方錐截面面積也必為h ²。由此可知，在等高處，圖五中陰影部分的面積與圖六中倒立的正立方錐體的橫切面的面積總相等。所以，有理由相信，雖然方錐跟小正立方體去掉小“牟合方蓋”后的形狀不同，但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算，而在等高處的截面面積總是相等的，所以它們的體積也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理：“緣冪勢既同，則積不容異?！?/span>

將圖四中八分之一個“牟合方蓋”的體積，加上圖六中的錐體體積，應(yīng)該等于圖五的正立方體體積，由此可知八分之一個“牟合方蓋”的體積V =，而整個“牟合方蓋”的體積為。再根據(jù)劉徽的想法，，使得球體體積為。這就是正正式式的球體體積公式。

在西方，球體的體積計算方法雖然早已由希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，但“祖暅原理”是在獨立研究的基礎(chǔ)上得出的，且比阿基米德的內(nèi)容要豐富，涉及的問題要復(fù)雜。“祖暅原理”從方法至推導(dǎo)都是由劉徽及祖氏父子自行創(chuàng)出，這不能不算是一項杰出的成就。這一球體體積公式比歐洲阿基米德的雖然出現(xiàn)較遲，但二者有異曲同工之妙。所用“緣冪勢既同，則積不容異”的原理，其中“勢”即是高，“冪”是面積，意思是說，“如果二等高的立體在同高處截二立體的面積恒等，則這兩個物體的體積相等?！?/span>這就是我們今天所稱的“祖暅原理”。

 “祖暅原理”在17世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里重新發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在一般認為是由卡瓦列利首先引用，稱為卡瓦列利原理(Principle of Cavalieri)，但事實上由于受劉徽的啟發(fā)，祖氏父子比卡瓦列利早一千年就用到了這個原理，所以我認為稱之為“劉祖原理”可能更切合實際?

參考文獻：

1．   劉振修著  周易與中國古代數(shù)學(xué)  湖南師范大學(xué)出版社 1993

2．王幼軍、金之明 著名數(shù)學(xué)家和他的一個重大發(fā)現(xiàn)　山東科學(xué)技術(shù)出版社

                                                  周文潔於株洲

                                                                                                                                2004.5.10