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神奇的數學折紙：正十二面體，從制作到理解

 liqualife 2016-11-29
帶你走進一個不一樣的數學世界
   
   
       
作者簡介：常文武  復旦大學數學博士，上海市普陀區(qū)現代教育技術中心跨學科高級教師，全國首批英特爾未來教育骨干教師。多次參加亞洲數學技術大會（ATCM）并出訪美國、歐洲等地。2013年起潛心研究折紙在數學中的應用，連續(xù)在《科學》等雜志上發(fā)表10多篇論文，兩度參加上?？茖W藝術展。2014、2015年連續(xù)兩年受澳門中華教育會邀請向澳門數學教師傳授折紙，2014年出版《動手動腦 玩轉數學》一書。
   
正十二面體：從制作到理解      
   
        正十二面體是一種以正五邊形為面的多面體。這種不尋常的別致多面體數學內涵非常豐富。柏拉圖曾認為我們的宇宙就是正十二面體的。雖然這只是一個美麗的錯誤，但是正十二面體對于普通大眾至今仍充滿神秘色彩。
 
制作正十二面體    
        為了探究正十二面體，有必要親手制作一個。顯然，紙模型是最方便的實現方式。
                
        制作正十二面體紙模型的方法很多，這里用組合折紙的方式制作。通過組合拼接而成的結構便于在需要的時候重新調整各面相對位置。
材料  寬度4cm-5cm的平行長紙帶100cm
步驟1           制作一個正五邊形的紙帶結        
       
        用長約8倍寬度的紙帶打個結，輕拉兩端至最緊，壓平（圖2左）。數學上可以嚴格證明這個結是正五邊形。 
     
步驟2           制作插合正十二面體所需零件        
       
        用長約3倍寬度的紙帶折疊一道折痕，使其形成的內角正好符合五邊形紙帶結的頂角（圖2右）。
       
        折疊后的紙帶重疊區(qū)域有一個36°為底角的等腰三角形?，F在請將它的兩腰以外的紙帶貼著邊折到背后，然后再把底邊以外的部分剪去（圖3）。        
     
        打開重新將兩側翼藏在夾層內，并且讓它們在內部彼此勾起來，壓平。我們得到了一個有108°頂角的等腰三角形（圖4左）。        
       

       
        折疊找到每一腰所對角的角分線與該腰的交點，將相應銳角折到這個點?？梢宰C明，這兩道折痕與三角形三邊圍成一個正五邊形（圖4右）。         至此我們就完成了第一個插接件。        
     
     
小貼士
    
        1、下料時有一個高效省紙的方法：拿第一個三角形展開圖（一個平行四邊形）作模板，從長條紙上比著連續(xù)裁剪下來11個這樣的圖形即可。

       
        2、折疊每個平行四邊形紙片時，雖然可以從折短對角線開始，但最好再用紙帶結頂角校正第一道折痕的角度，以避免誤差產生。
步驟3            插合正十二面體        
       
        每個三角形插接零件上既有榫頭也有卯眼：兩銳角前端是榫頭，兩腰靠近頂點的縫隙是卯眼。插合時有一定規(guī)則，為了保證這個規(guī)則不被破壞，我們給每個插接件上標注一些記號。
       
        作標記的規(guī)律：在每片插接件的里側左下角標為紅點榫頭，左腰縫隙標為紅點卯眼；相應地，右下角為藍點榫頭，右腰縫隙為藍點卯眼（圖5上左）。
       
        插合時只要保證榫頭插入同色的卯眼（圖5上右），就可以順利完成一個完美的十二面體（圖5下）。
       
     
探究十二面體的著色    
        關于地圖的著色有一條著名的定理——四色定理。定理說，任何復雜的地圖都可以用不超過四種的顏色給它涂色來區(qū)分相鄰區(qū)域。這條定理至今仍然沒有一個簡潔的證法，人類對它的認識停留在計算機給出的大規(guī)模分類窮舉證明。
        
        如果將正十二面體的每個面當成地圖上需要區(qū)分的一個個區(qū)域，則這個特殊的地圖確乎需要四種顏色才可以完成以上的著色要求（為什么？）。
        
        那么具體怎么著色呢？          下面給出一種著色方法，請讀者舉一反三。        
 
1
步驟一                
將制作好的正十二面體放置在桌上，朝上的一面標記為1，貼著桌子的一面標記為2。這里用不同的數代表不同的顏色。
2
步驟二                
在1面的周圍5個區(qū)域中隨便選一個標為3，再在2號面和3號面之間選一個面標為4（即4與2、3都相鄰）。
3
步驟三                
至此已有一個面與1、3、4都相鄰，必須以2標記。還有一塊與3、4、2都相鄰的面只能標記為1
4
步驟四                
在與頂部的1號相鄰的五個面里已有3、2兩塊著好色，還有3個位置空缺。給這三塊著色4、2、4，使形成3-2-4-2-4的閉環(huán)
5
步驟五                
在與底部2號面相鄰的圈子里已有4、1兩塊著好色，還有3個位置空缺。給這三塊著色3、1、3，使形成4-1-3-1-3的閉環(huán)。
        至此已經完成十二個面的完美著色。但是顯然以上著色方法并不是唯一的著色方法。          例如在步驟2中選擇與2、3都鄰接的4時還有另一個位置可以選。讀者可以嘗試一下。得到的著色方法是與原方法鏡像對稱的。        
        
        以上得到的兩種著色方案中，如果把3擦去寫上4，而把原先的4都改為3，對調3與4又能得新的兩種方案。
        
        有趣的是，在數學上可以證明全部的著色方案也就只有4種。也就是說我們已經窮盡了全部的著色方法。限于篇幅，在此就不贅述了，留給好奇的讀者去探索吧！


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