幻灰龍

（零）

科學(xué)上最重要的是科學(xué)的方法，而不是科學(xué)的結(jié)論

正是因?yàn)榭萍嫉倪@個(gè)特點(diǎn)，因此，科技進(jìn)步都是一步一個(gè)腳印做出來(lái)的，在科研中，方法遠(yuǎn)比結(jié)論重要得多

不是。大學(xué)數(shù)學(xué)，通常來(lái)說(shuō)會(huì)教微積分，線性代數(shù)；數(shù)學(xué)系的話對(duì)應(yīng)的是數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)。這兩個(gè)課程，最核心的其實(shí)還是對(duì)基本概念的理解，以及對(duì)重要方法的掌握。

（一）

2015/01/30

微積分課程首次讓你需要理解極限的概念，這在高中是沒(méi)有這種東西的，這就是一次腦洞大開(kāi)的機(jī)會(huì)；其次，微積分符號(hào)的引入，讓你用符號(hào)簡(jiǎn)化復(fù)雜的極限表述，還記得加減乘除么？還記得三角符號(hào)么？每一次運(yùn)算符號(hào)的引入，都是在新的抽象層上做新的“四則運(yùn)算”，然而只要你需要，你隨時(shí)可以把它降低維度，展開(kāi)成更低更具體的表示，積分是什么？是求面積，是求和，的極限；接著，數(shù)系的擴(kuò)張，從小到大我們都在算數(shù):整數(shù)，自然數(shù)，分?jǐn)?shù)，小數(shù)，然后遇到了無(wú)限不循環(huán)小數(shù)—派，有理數(shù)，無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，大學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)介紹為什么自然數(shù)和有理數(shù)一樣多，為什么無(wú)理數(shù)才是實(shí)數(shù)軸的霸主，為什么實(shí)數(shù)不能用自然數(shù)去一個(gè)一個(gè)的數(shù)，并非所有的無(wú)窮大都一樣大;然后你會(huì)遇到處處連續(xù)處處不可導(dǎo)函數(shù)這樣的事情，于是分析就被柯西統(tǒng)治了;歐拉為了讓我們腦洞大開(kāi)，隨便湊了好多無(wú)窮級(jí)數(shù)，泰勒為了偷懶就總是把可微函數(shù)線性展開(kāi)……

線性代數(shù)，就是為了解方程組，引入了向量和矩陣。就像前面說(shuō)的，依然是從四則運(yùn)算開(kāi)始，不過(guò)你會(huì)發(fā)現(xiàn)矩陣乘法不再可交換了，左乘右乘代表不同變換了。向量空間呢，對(duì)了，數(shù)學(xué)的空間和時(shí)間空間的空間是啥關(guān)系呢？腦洞大開(kāi)的時(shí)候，理解向量空間的基，向量空間中的向量都是基的線性組合（表出），然后接觸更多各種空間，什么酉空間，柚子？？

其實(shí)我想推薦一般拓?fù)鋵W(xué)，可惜非數(shù)學(xué)系居然不上這么能讓人腦洞大開(kāi)的學(xué)科……

夜深，睡覺(jué)。

（二）

2015/03/07

同事買了一套《微積分和數(shù)學(xué)分析引論》作為他家新書架的入品書籍，便于哪天他兒子突然對(duì)數(shù)學(xué)好奇后有一套好的書可以看。他說(shuō)要把家里的舊的他自己以前用的同濟(jì)版的那些書都清理掉，然后聽(tīng)說(shuō)這套“R.柯蘭 F.約翰”合著的書不錯(cuò)，就買了，讓我先看一遍，看看如何。

第一章過(guò)了一遍，這一章基本上就是為進(jìn)入微積分做準(zhǔn)備，一開(kāi)始就從實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)開(kāi)始討論，不過(guò)這本書比通常的教科書好的一點(diǎn)是并沒(méi)有死板地采用引理、推理、定理、證明的模式一路走到黑，枯燥死你。在闡釋概念上的陳述更易于接受。整章從頭到尾都穿插著：從有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)張。

首先，第一個(gè)重要的概念：區(qū)間套。也貫穿始終。但作者一開(kāi)始就限制在有理數(shù)上使用區(qū)間套：任何一個(gè)有理數(shù)都可以用一個(gè)有理數(shù)區(qū)間套定義。

然后，第二個(gè)重要的概念：極限。作者一步步從數(shù)的領(lǐng)域、數(shù)列的極限、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的一致連續(xù)性上反復(fù)加深對(duì)極限概念的理解。結(jié)合區(qū)間套和極限，最后引出任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以由一個(gè)區(qū)間套定義。完成了從有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)張。

其次，第三個(gè)重要的概念：連續(xù)。在這本書里的陳述是比較更容易被接受的，相對(duì)而言比較自然地使用了ε-δ方法，同時(shí)反復(fù)出現(xiàn)的“幾乎處處”這個(gè)字眼也在上下文里得到比較令人滿意的說(shuō)明。

最后在解釋函數(shù)的概念之后，全面討論了：有理函數(shù)、代數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)這些初等函數(shù)，其實(shí)可以看到函數(shù)的形式也和數(shù)系一樣是一個(gè)為了滿足運(yùn)算合法性（封閉）而不斷擴(kuò)張的過(guò)程。

在補(bǔ)篇里則把通常的數(shù)學(xué)分析課程里關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)，關(guān)于函數(shù)連續(xù)性，關(guān)于上下界的定理做了一次最小化的介紹（有趣的是，其中也介紹了有理數(shù)可數(shù)的性質(zhì)，以及如何數(shù)，與之相關(guān)是關(guān)于實(shí)數(shù)不可數(shù)的對(duì)角線反證法）。篇末則是一堆練習(xí)題，在大學(xué)里的學(xué)生還是應(yīng)該系統(tǒng)的做一遍，俺當(dāng)年做過(guò)了就不再繼續(xù)了。

（三）

2015/03/10

P134"積分和微分是微積分學(xué)中兩種基本的極限過(guò)程";“微分和積分這兩種過(guò)程是彼此互逆地聯(lián)系著的”；P135“最后，直到19世紀(jì)，在通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎鰳O限概念和分析了實(shí)數(shù)的連續(xù)統(tǒng)后，才使微積分的基本概念得到澄清”。

如果函數(shù)是可積的，則其積分是和的極限。積分基本法則：可加性、邊界估計(jì)、積分中值定理、廣義積分中值定理。這里可以看到這些基本法則的推導(dǎo)都是把積分還原到極限形式去證明，然后利用極限和求和的基本性質(zhì)在低一階的抽象層上做推導(dǎo)，最后再提升回更上層的積分抽象層；

這里就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究里的一個(gè)基本規(guī)律：將高層抽象降階到低層抽象表示，然后利用低層抽象的性質(zhì)證明其中關(guān)系，最后升階到高層抽象，從而完成高層抽象的一些基本法則，一旦通過(guò)這種方式完成幾條基本的高層抽象法則的證明，則可以在這幾條法則的基礎(chǔ)上推導(dǎo)高層抽象的其他眾多引理、推理、定理等。

另外一方面，和軟件工程一樣，存在抽象泄漏，所以你總是可能在某些時(shí)候再次的將高層抽象降階導(dǎo)低層抽象去做點(diǎn)東西。最后，積分中值定理和被積函數(shù)的算數(shù)平均的極限聯(lián)系在一起，廣義積分中值定理則和被積函數(shù)的加權(quán)平均的極限聯(lián)系在一起。你看到抽象層了嗎？最后從定積分引出不定積分函數(shù)，這很正常，數(shù)學(xué)里每一次抽象層的提升，都會(huì)在新抽象層上定義函數(shù)來(lái)研究。

如果函數(shù)是可微的，則其微分是差商的極限。微分基本法則：加法分配律、線性律、微分中值定理；微分和函數(shù)的關(guān)系：可微函數(shù)必連續(xù)、可微函數(shù)的李譜希茨連續(xù)性。當(dāng)然，最開(kāi)始引入微分一般都是從導(dǎo)數(shù)的幾何意義開(kāi)始的，有些高中課程也會(huì)介紹這個(gè)。微分作為積分的逆運(yùn)算，和積分是同一個(gè)抽象層的概念，其相關(guān)基本法則的證明也都會(huì)降階到差商的極限去證明。

微積分基本定理，嚴(yán)格界定微分積分是互逆運(yùn)算。而補(bǔ)篇里則在求和的極限這個(gè)抽象層上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明了連續(xù)函數(shù)的定積分的存在性。這種在低階抽象層證明高階抽象層性質(zhì)的活動(dòng)在數(shù)學(xué)工作里是基本的，也是數(shù)學(xué)系學(xué)生區(qū)別于工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（一般只停留在掌握定理定律解題的層面，物理系的則一般要求和數(shù)學(xué)系無(wú)差別）的地方。

不過(guò)雖然這章很多地方敘述說(shuō)牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分的時(shí)候把無(wú)窮小量直接當(dāng)作某種神秘的數(shù)去對(duì)待在數(shù)學(xué)上是不嚴(yán)謹(jǐn)和迷糊的，但歷史是輪回的，有趣的是20世紀(jì)的時(shí)候，有人就是把無(wú)窮小量和無(wú)窮大量當(dāng)作實(shí)在的數(shù)，在擴(kuò)張了的實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)--超實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)里反而極大的簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)分析的系統(tǒng)推導(dǎo)。

（四）

2015/03/12

今天是植樹(shù)節(jié)。JHJNR5。

“P227:雖然積分問(wèn)題通常比微分問(wèn)題更為重要，但是微分問(wèn)題在形式上卻要比積分問(wèn)題容易一些。因此，自然的做法是：首先掌握微分可能遇到的各種類型的函數(shù)的微分方法，然后根據(jù)微積分基本定理，利用微分法的結(jié)果來(lái)計(jì)算積分?！?/blockquote>

作為互為逆運(yùn)算的一對(duì)，這做法真是天衣無(wú)縫。數(shù)學(xué)里也常常這么做，利用可通過(guò)變換互相轉(zhuǎn)化的兩種形式，來(lái)解決在某種形式上比較困難的問(wèn)題。這章說(shuō)的是微分法和積分法，顧名思義便是對(duì)微分和積分的基本法則及其應(yīng)用做進(jìn)一步展開(kāi)。

微分法基本法則：

乘以常數(shù)、乘數(shù)的導(dǎo)數(shù)、萊布尼茲法則、有理函數(shù)的微分法、三角函數(shù)的微分法反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、N次冪函數(shù)的反函數(shù)N次根、多值性的三角函數(shù)、反正弦和反余弦、反正切和反余切、指數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、鏈?zhǔn)椒▌t、廣義微分中值定理、雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)；最大值和最小值問(wèn)題。再次看到了，數(shù)學(xué)里經(jīng)常在升級(jí)了一個(gè)抽象層之后，立刻在這個(gè)抽象層上重新做“四則運(yùn)算”的討論。一旦我們知道了微分，我們從初等函數(shù)、三角函數(shù)...到復(fù)合函數(shù)的所有已知運(yùn)算形式在微分下的表現(xiàn)做了一番系統(tǒng)研究和運(yùn)用。

積分法基本法則：

首先，從積分的反面微分入手：

“由初等函數(shù)反復(fù)經(jīng)過(guò)有理運(yùn)算，即加法、減法、乘法、除法以及通過(guò)做反函數(shù)的運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算，可以構(gòu)造出及其廣泛的一類函數(shù)，這樣構(gòu)造的函數(shù)形成一類所謂'顯式函數(shù)'或‘封閉表達(dá)式’，每一個(gè)顯式函數(shù)都可微分，其導(dǎo)數(shù)仍是顯式函數(shù)”。

然后拋出問(wèn)題：

“因此，我們已經(jīng)相當(dāng)完善地掌握了微分運(yùn)算的‘算術(shù)計(jì)數(shù)’，但是其逆過(guò)程即積分，一般來(lái)說(shuō)是更為重要的，并且存在較大的困難?！?/blockquote>

幸運(yùn)的是，我們有：

“這種困難在一定程度上已經(jīng)被微積分基本公式所克服。”

歷史的彎路：

“在微積分發(fā)展的初期，許多數(shù)學(xué)家試圖以明顯的形式或封閉的形式來(lái)求出每一個(gè)給定顯式函數(shù)的積分或原函數(shù)。過(guò)了一段時(shí)間之后，人們才明白這個(gè)問(wèn)題在原則上是不能解決的，甚至相反，對(duì)于一些十分初等的被積函數(shù)，其積分都不能通過(guò)初等函數(shù)來(lái)表示。因此需要研究由初等函數(shù)通過(guò)積分過(guò)程產(chǎn)生的各種新型函數(shù)，從而就大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)分析的發(fā)展?！?/blockquote>

這種人類直覺(jué)導(dǎo)致的歷史的彎路在很多學(xué)科的研究中都經(jīng)常見(jiàn)到，很多時(shí)候我們總是希望一個(gè)問(wèn)題的結(jié)果應(yīng)該具有我們想象的那種形式，然而很多時(shí)候，在經(jīng)歷一番彎彎曲曲的折騰之后，才發(fā)現(xiàn)原來(lái)不是這樣的，問(wèn)題是可以解決的，只不過(guò)形式不是我們想象的那樣，比如尺規(guī)作圖不能問(wèn)題（三等分角...）。直覺(jué)有時(shí)美妙，卻有時(shí)錯(cuò)的離譜。不過(guò)正是因?yàn)橹庇X(jué)的強(qiáng)烈，我們才有打破砂鍋問(wèn)到底的迭代，直到再一次地突破迷霧。

“但是，要求以明顯的形式表示給定顯式函數(shù)的積分，而不是無(wú)望的糾纏于繁瑣的查閱積分表或者數(shù)值積分，便引出了一些簡(jiǎn)單的積分法，這些積分法可以靈活的變換給定積分的形式。”“即使不能用這些方法來(lái)積分，積分還會(huì)是存在的（至少對(duì)一切連續(xù)函數(shù)如此），而且實(shí)際上可以通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行積分，并能達(dá)到任何所要求的精度”

所以說(shuō)，數(shù)學(xué)分析里的積分法很多時(shí)候只是把不知道表示為不知道，只是為了腦洞大開(kāi)所做的訓(xùn)練。真實(shí)工程里會(huì)遇到的積分，那都得靠數(shù)值積分去算。這章后面就基本是一路解題了。