是指浮點數(shù)參與的運算，這種運算通常伴隨著因為無法精確表示而進行的近似或舍入。

一個浮點數(shù)a由兩個數(shù)m和e來表示:a = m × b^e。在任意一個這樣的系統(tǒng)中，我們選擇一個基數(shù)b(記數(shù)系統(tǒng)的基)和精度p(即使用多少位來存儲)。m(即尾數(shù))是形如±d.ddd...ddd的p位數(shù)(每一位是一個介于0到b-1之間的整數(shù)，包括0和b-1)。如果m的第一位是非0整數(shù),m稱作規(guī)格化的。有一些描述使用一個單獨的符號位(s 代表+或者-)來表示正負，這樣m必須是正的。e是指數(shù)。

由此可以看出，在計算機中表示一個浮點數(shù)，其結(jié)構(gòu)如下:

尾數(shù)部分(定點小數(shù)) 階碼部分(定點整數(shù))

這種設(shè)計可以在某個固定長度的存儲空間內(nèi)表示定點數(shù)無法表示的更大范圍的數(shù)。

浮點加法減法運算

設(shè)有兩個浮點數(shù)x和y,它們分別為

x = Mx*2^Ex

y = My*2^Ey

其中Ex和Ey分別為數(shù)x和y的階碼,Mx和My為數(shù)x和y的尾數(shù)。

兩浮點數(shù)進行加法和減法的運算規(guī)則是

設(shè) Ex小于等于Ey，則 x±y = (Mx*2^(Ex-Ey)±My)*2^Ey,

完成浮點加減運算的操作過程大體分為四步:

1. 0 操作數(shù)的檢查;

2. 比較階碼大小并完成對階;

3. 尾數(shù)進行加或減運算;

4. 結(jié)果規(guī)格化并進行舍入處理。

⑴ 0 操作數(shù)檢查

浮點加減運算過程比定點運算過程復(fù)雜。如果判知兩個操作數(shù)x或y中有一個數(shù)為0,即可得知運算結(jié)果而沒有必要再進行后續(xù)的一系列操作以節(jié)省運算時間。0操作數(shù)檢查步驟則用來完成這一功能。

⑵ 比較階碼大小并完成對階

兩浮點數(shù)進行加減，首先要看兩數(shù)的階碼是否相同，即小數(shù)點位置是否對齊。若二數(shù)階碼相同，表示小數(shù)點是對齊的，就可以進行尾數(shù)的加減運算。反之，若二數(shù)階碼不同，表示小數(shù)點位置沒有對齊，此時必須使二數(shù)階碼相同，這個過程叫作對階。

要對階，首先應(yīng)求出兩數(shù)階碼Ex和Ey之差，即

△E = Ex-Ey

若△E=0,表示兩數(shù)階碼相等，即Ex=Ey;若△E>0,表示Ex>Ey;若△E<0,表示Ex<Ey。

當(dāng)Ex≠Ey 時，要通過尾數(shù)的移動以改變Ex或Ey,使之相等。原則上，既可以通過Mx移位以改變Ex來達到Ex=Ey,也可以通過My移位以改變Ey來實現(xiàn)Ex=Ey。但是，由于浮點表示的數(shù)多是規(guī)格化的，尾數(shù)左移會引起最高有效位的丟失，造成很大誤差。尾數(shù)右移雖引起最低有效位的丟失，但造成誤差較小。因此，對階操作規(guī)定使尾數(shù)右移，尾數(shù)右移后階碼作相應(yīng)增加，其數(shù)值保持不變。顯然，一個增加后的階碼與另一個階碼相等，增加的階碼的一定是小階。因此在對階時，總是使小階向大階看齊，即小階的尾數(shù)向右移位(相當(dāng)于小數(shù)點左移)每右移一位，其階碼加1,直到兩數(shù)的階碼相等為止，右移的位數(shù)等于階差△E。

⑶ 尾數(shù)求和運算

對階結(jié)束后，即可進行尾數(shù)的求和運算。不論加法運算還是減法運算，都按加法進行操作，其方法與定點加減法運算完全一樣。

⑷ 結(jié)果規(guī)格化

在浮點加減運算時，尾數(shù)求和的結(jié)果也可以得到01.ф…ф或10.ф…ф，即兩符號位不等，這在定點加減法運算中稱為溢出，是不允許的。但在浮點運算中，它表明尾數(shù)求和結(jié)果的絕對值大于1,向左破壞了規(guī)格化。此時將運算結(jié)果右移以實現(xiàn)規(guī)格化表示，稱為向右規(guī)格化。規(guī)則是:尾數(shù)右移1位，階碼加1。當(dāng)尾數(shù)不是1.M時需向左規(guī)格化。

⑸ 舍入處理

在對階或向右規(guī)格化時，尾數(shù)要向右移位，這樣，被右移的尾數(shù)的低位部分會被丟掉，從而造成一定誤差，因此要進行舍入處理。

簡單的舍入方法有兩種:一種是"0舍1入"法，即如果右移時被丟掉數(shù)位的最高位為0則舍去，為1則將尾數(shù)的末位加"1"。另一種是"恒置一"法，即只要數(shù)位被移掉，就在尾數(shù)的末尾恒置"1"。

在IEEE754標準中，舍入處理提供了四種可選方法:

就近舍入其實質(zhì)就是通常所說的"四舍五入"。例如，尾數(shù)超出規(guī)定的23位的多余位數(shù)字是10010,多余位的值超過規(guī)定的最低有效位值的一半，故最低有效位應(yīng)增1。若多余的5位 是01111,則簡單的截尾即可。對多余的5位10000這種特殊情況:若最低有效位現(xiàn)為0,則截 尾;若最低有效位現(xiàn)為1,則向上進一位使其變?yōu)?0。

朝0舍入 即朝數(shù)軸原點方向舍入，就是簡單的截尾。無論尾數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，截尾都使取值的絕對值比原值的絕對值小。這種方法容易導(dǎo)致誤差積累。

朝+∞舍入 對正數(shù)來說，只要多余位不全為0則向最低有效位進1;對負數(shù)來說則是簡單的截尾。

朝-∞舍入 處理方法正好與 朝+∞舍入情況相反。對正數(shù)來說,只要多余位不全為0則簡單截尾;對負數(shù)來說，向最低有效位進1。

⑹ 溢出處理

浮點數(shù)的溢出是以其階碼溢出表現(xiàn)出來的。在加\減運算過程中要檢查是否產(chǎn)生了溢出:若階碼正常，加(減)運算正常結(jié)束;若階碼溢出，則要進行相應(yīng)處理。另外對尾數(shù)的溢出也需要處理。

階碼上溢 超過了階碼可能表示的最大值的正指數(shù)值，一般將其認為是+∞和-∞。

階碼下溢 超過了階碼可能表示的最小值的負指數(shù)值，一般將其認為是0。

尾數(shù)上溢 兩個同符號尾數(shù)相加產(chǎn)生了最高位向上的進位，將尾數(shù)右移，階碼增1來重新對齊。

尾數(shù)下溢 在將尾數(shù)右移時，尾數(shù)的最低有效位從尾數(shù)域右端流出，要進行舍入處理。

例如，一個指數(shù)范圍為±4的4位十進制浮點數(shù)可以用來表示43210,4.321或0.0004321,但是沒有足夠的精度來表示432.123和43212.3(必須近似為432.1和43210)。當(dāng)然，實際使用的位數(shù)通常遠大于4。

此外，浮點數(shù)表示法通常還包括一些特別的數(shù)值:+∞和?∞(正負無窮大)以及NaN('Not a Number')。無窮大用于數(shù)太大而無法表示的時候,NaN則指示非法操作或者無法定義的結(jié)果。

眾所周知，計算機中的所有數(shù)據(jù)都是以二進制表示的，浮點數(shù)也不例外。然而浮點數(shù)的二進制表示法卻不像定點數(shù)那么簡單了。

先澄清一個概念，浮點數(shù)并不一定等于小數(shù)，定點數(shù)也并不一定就是整數(shù)。所謂浮點數(shù)就是小數(shù)點在邏輯上是不固定的，而定點數(shù)只能表示小數(shù)點固定的數(shù)值，具用浮點數(shù)或定點數(shù)表示某哪一種數(shù)要看用戶賦予了這個數(shù)的意義是什么。

C++中的浮點數(shù)有6種，分別是:

float:單精度,32位

unsigned float:單精度無符號,32位

double:雙精度,64位

long double:高雙精度,80位

然而不同的編譯器對它們的支持也略有不同，據(jù)我所知，很多編譯器都沒有按照IEEE規(guī)定的標準80位支持后兩種浮點數(shù)的，大多數(shù)編譯器將它們視為double,或許還有極個別的編譯器將它們視為128位?!對于128位的long double我也僅是聽說過，沒有求證，哪位高人知道這一細節(jié)煩勞告知。

下面我僅以float(帶符號，單精度,32位)類型的浮點數(shù)說明C++中的浮點數(shù)是如何在內(nèi)存中表示的。先講一下基礎(chǔ)知識，純小數(shù)的二進制表示。(純小數(shù)就是沒有整數(shù)部分的小數(shù)，講給小學(xué)沒好好學(xué)的人)

純小數(shù)要想用二進制表示，必須先進行規(guī)格化，即化為 1.xxxxx * ( 2 ^ n ) 的形式("^"代表乘方,2 ^ n表示2的n次方)。對于一個純小數(shù)D,求n的公式如下:

n = 1 + log2(D); // 純小數(shù)求得的n必為負數(shù)

再用 D / ( 2 ^ n ) 就可以得到規(guī)格化后的小數(shù)了。接下來就是十進制到二進制的轉(zhuǎn)化問題，為了更好的理解，先來看一下10進制的純小數(shù)是怎么表示的，假設(shè)有純小數(shù)D,它小數(shù)點后的每一位數(shù)字按順序形成一個數(shù)列:

{k1,k2,k3,...,kn}

那么D又可以這樣表示:

D = k1 / (10 ^ 1 ) + k2 / (10 ^ 2 ) + k3 / (10 ^ 3 ) + ... + kn / (10 ^ n )

推廣到二進制中，純小數(shù)的表示法即為:

D = b1 / (2 ^ 1 ) + b2 / (2 ^ 2 ) + b3 / (2 ^ 3 ) + ... + bn / (2 ^ n )

現(xiàn)在問題就是怎樣求得b1,b2,b3,……,bn。算法描述起來比較復(fù)雜，還是用數(shù)字來說話吧。聲明一下,1 / ( 2 ^ n )這個數(shù)比較特殊，我稱之為位階值。

例如0.456,第1位,0.456小于位階值0.5故為0;第2位,0.456大于位階值0.25,該位為1,并將0.456減去0.25得0.206進下一位;第3位,0.206大于位階值0.125,該位為1,并將0.206減去0.125得0.081進下一位;第4位,0.081大于0.0625,為1,并將0.081減去0.0625得0.0185進下一位;第5位0.0185小于0.03125……

最后把計算得到的足夠多的1和0按位順序組合起來，就得到了一個比較精確的用二進制表示的純小數(shù)了，同時精度問題也就由此產(chǎn)生，許多數(shù)都是無法在有限的n內(nèi)完全精確的表示出來的，我們只能利用更大的n值來更精確的表示這個數(shù)，這就是為什么在許多領(lǐng)域，程序員都更喜歡用double而不是float。

float的內(nèi)存結(jié)構(gòu)，我用一個帶位域的結(jié)構(gòu)體描述如下:

struct MYFLOAT

{

bool bSign : 1; // 符號，表示正負,1位

char cExponent : 8; // 指數(shù),8位

unsigned long ulMantissa : 32; // 尾數(shù),32位

};

符號就不用多說了,1表示負,0表示正

指數(shù)是以2為底的，范圍是 -128 到 127,實際數(shù)據(jù)中的指數(shù)是原始指數(shù)加上127得到的，如果超過了127,則從-128開始計，其行為和X86架構(gòu)的CPU處理加減法的溢出是一樣的。

比如:127 + 2 = -127;-127 - 2 = 127

尾數(shù)都省去了第1位的1,所以在還原時要先在第一位加上1。它可能包含整數(shù)和純小數(shù)兩部分，也可能只包含其中一部分，視數(shù)字大小而定。對于帶有整數(shù)部分的浮點數(shù)，其整數(shù)的表示法有兩種，當(dāng)整數(shù)大于十進制的16777215時使用的是科學(xué)計數(shù)法，如果小于或等于則直接采用一般的二進制表示法。科學(xué)計數(shù)法和小數(shù)的表示法是一樣的。

小數(shù)部分則是直接使用科學(xué)計數(shù)法，但形式不是X * ( 10 ^ n )，而是X * ( 2 ^ n )。拆開來看。

0 000000000000000000000000000000

符號位 指數(shù)位 尾數(shù)位

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判斷兩個浮點數(shù)是否相等。

在這個例子中我們以C++代碼來判別兩個浮點數(shù)是否相等。由于浮點數(shù)在存儲中無法精確表示，所以 fp1==fp2 無法準確的判斷float型變量fp1與fp2是否相等。應(yīng)該使用 (fp1-fl2)<0.0000001 來進行判斷。

示例:

bool equal(float fp1,float fp2)

{

if( abs( fp1 - fp2 ) < 0.00000001 ) return true;

else

return false;

}

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作者:concreteHAM

什么是浮點數(shù)，不用我多說，這里我們要討論的是規(guī)格化的任意進制浮點數(shù)的前導(dǎo)數(shù)字的概率分布。

在《計算機程序設(shè)計藝術(shù)》第二卷中做了非常深入的討論，這里我從中精煉出要點。

例如:

2.345 E 67浮點數(shù)這是一個十進制規(guī)格化浮點數(shù)，前導(dǎo)數(shù)字就是2。

就只有一個"隨機"的浮點數(shù)而言，討論其分布式?jīng)]有意義的，我們要討論的是充分多個"隨機"數(shù)進行的一系列運算后產(chǎn)生的浮點結(jié)果的前導(dǎo)數(shù)字分布。

假設(shè)現(xiàn)在有一巨大的浮點數(shù)集，依此對數(shù)集中每個浮點數(shù)都乘以2,其中有一個十進制浮點數(shù)F,它的前導(dǎo)數(shù)字是1,那么它底數(shù)可能的值范圍就是1.000…~1.999…，乘以一個數(shù)字2,那么它的底數(shù)就變成2.000…~3.999…，很明顯乘以2以前前導(dǎo)數(shù)字是1的浮點個數(shù)與現(xiàn)在前導(dǎo)數(shù)字是2、3的浮點個數(shù)相同。以此我們接下來分析。

對于一個b進制的浮點數(shù)，它的前導(dǎo)數(shù)字x范圍就是0 < x < b,設(shè)f(x)是上述數(shù)集的前導(dǎo)數(shù)字的概率密度函數(shù)(注:是密度函數(shù))，那么它在前導(dǎo)數(shù)字u和v之間(0<u<v<b)的概率就是:

∫[u,v]f(x)dx ⑴

由前面所述的，對于一個充分小增量Δx,f(x)必須滿足這樣一個公式:

f⑴Δx = x*f(x)Δx ⑵

因為:

f⑴Δx是f⑴微分段內(nèi)的概率，根據(jù)前面所述,f⑴Δx概率等于f(1*x)*(x*Δx)

很明顯:

f(x) = f⑴/x ⑶

兩邊在[1,b]之間進行積分，等號左邊必定為1,右邊等于f⑴ln(b):

1 = f⑴ln(b) ⑷

得:f⑴ = 1/ln(b) 帶入⑶中:

f(x) = 1/(x*ln(b))

那么利用⑴式得:

∫[u,v]1/(x*ln(b))dx

= ln(v/u) / ln(b) ⑸

這就是求前導(dǎo)數(shù)字的概率分布函數(shù)。

例如b = 10進制時，前導(dǎo)數(shù)字為1的概率就是:

= ln((1+1)/1) / ln⑽

≈ 0.301

前導(dǎo)數(shù)字為9的概率就是:

= ln((9+1)/9) / ln⑽

≈0.0458

以下是一個測試程序(Mathematica軟件):

T[n_,b_]:=Block[{res={},ran,i,a},

For[i=1,i<b,i++;

res=Append[res,0]

];

For[i=0,i<n,i++;

ran=Random[]*Random[]*Random[]; 充分打亂浮點數(shù)

ran=Log[b,ran];

a=Floor[b^(ran-Floor[ran])]; 取出前導(dǎo)數(shù)字

res[[a]]++ 對前導(dǎo)數(shù)字個數(shù)統(tǒng)計

];

Return[res]

]

執(zhí)行T[100000,10],以10進制測試100000個浮點數(shù)，得到一個分布:

{30149,18821,13317,9674,7688,6256,5306,4655,4134}

和理論值相當(dāng)接近。