量子信息指利用量子力學(xué)的基本原理進(jìn)行信息處理，在最近一些年，得到了很多發(fā)展。量子信息包括量子通信、量子計(jì)算，等等。量子通信包括量子密碼、量子隱形傳態(tài)，等等。量子隱形傳態(tài)和量子計(jì)算都基于量子糾纏。量子糾纏是量子力學(xué)中的一個基本概念。本文對量子力學(xué)、量子態(tài)、量子密碼、量子糾纏和量子隱形傳態(tài)作簡要通俗而又力求準(zhǔn)確的介紹。

1. 量子力學(xué)與量子態(tài)

為了解釋什么是量子力學(xué)，我們從經(jīng)典物理說起。

經(jīng)典物理包括以牛頓三大定律為核心的牛頓力學(xué)（或稱經(jīng)典力學(xué)），以及以麥克斯韋方程組為核心的經(jīng)典電動力學(xué)（或稱電磁學(xué)）。 對于速度接近光速，以及強(qiáng)引力場情況，還要考慮狹義及廣義相對論，但是相對于量子力學(xué)而言，它們?nèi)匀粚儆诮?jīng)典物理的范疇。

在經(jīng)典物理中，每個物理量，比如位置、動量、角動量、電場強(qiáng)度、電流，等等，在每個時刻都有明確的取值，都是一個客觀實(shí)在。而它們隨時間變化的情況就是動力學(xué)，由牛頓力學(xué)及經(jīng)典電動力學(xué)的基本定律決定。只要知道某個時刻的物理量的值，就可以從動力學(xué)得到其它任意時刻的取值。 因此本質(zhì)上經(jīng)典物理是決定論的。

經(jīng)典物理里也有幾率，或稱概率。但這是一種粗?；枋?。在不了解或者無法控制細(xì)節(jié)時，考慮各種可能性，從而得到幾率分布。比如擲骰子。骰子的運(yùn)動其實(shí)是一個決定論的過程，沒有本質(zhì)上的隨機(jī)性。如果了解它的力學(xué)細(xì)節(jié)，比如質(zhì)量分布、初始位置、方位、速度、整個下落過程中的受力情況等等，其實(shí)是可以預(yù)言最后哪一面朝上的。當(dāng)然，在實(shí)際中一般做不到這一點(diǎn)。而對于各種細(xì)節(jié)情況作平均，就可以預(yù)言，如果投擲N次，其中每一面朝上的次數(shù)大約N/6次。也就是說，每一面朝上的幾率大概是1/6。

經(jīng)常有這樣的情況，即細(xì)節(jié)描述不但不可能，而且沒有必要，而幾率描述更抓住問題的本質(zhì)，比如一團(tuán)氣體在給定溫度下，各種微觀狀態(tài)有一個幾率分布，由此可以得到給定溫度下的宏觀性質(zhì)，比如平均總能量、壓強(qiáng)等等。這就是統(tǒng)計(jì)物理?；诮?jīng)典力學(xué)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理中的幾率抓住了問題的本質(zhì)，但這種幾率和骰子類似，不是實(shí)質(zhì)性的，也就是說，微觀細(xì)節(jié)仍然是服從經(jīng)典物理的決定論過程。

那么，什么樣的幾率是實(shí)質(zhì)性的，也就是說背后沒有決定論的過程？答案就是量子力學(xué)中的幾率。量子力學(xué)的中心概念是量子態(tài)，而根據(jù)量子態(tài)，可以計(jì)算出各種幾率分布。下面我們將了解到，量子態(tài)比幾率分布的涵義還要多。

量子態(tài)不是一個物理量，而是一個描述。由此決定各相關(guān)物理量被測量后的各種取值的幾率，從而可以計(jì)算出每個相關(guān)物理量的期望值，或稱平均值。而一旦作了某個物理量的測量，就得到這些可能值中的一個。而量子態(tài)也相應(yīng)地更新為一個新的量子態(tài)，在這個量子態(tài)上，剛測得的物理量取值的幾率為1。

舉一個例子。光有個性質(zhì)叫偏振，代表了電場振動方向，它總是位于與傳播方向垂直的平面上。如果偏振方向沿著這個平面上的一個特定方向，這種光就是線偏振光。如果偏振方向在這個平面上旋轉(zhuǎn)，這種光就是圓偏振光。偏振性質(zhì)不同的光可以混合成非偏振或者部分偏振光。而非偏振的自然光透過偏振片，可以產(chǎn)生偏振方向沿著透光軸的線偏振光。如果讓線偏振光垂直入射一個偏振片，它透過的強(qiáng)度是原來強(qiáng)度的cos2θ, 其中θ是光入射前的線偏振方向與偏振片透光軸方向的夾角。

光是由光子組成的，光子服從量子力學(xué)。現(xiàn)在讓我們考慮單個的光子。 單個光子的偏振方向總是位于與動量正交的平面上。線偏振的光子透過偏振片的幾率是cos2θ。

幾率的涵義如下。如果有N個（N很大）偏振量子態(tài)都是|θ?

的光子分別入射到這個偏振片上，也就是說，對于同樣的量子態(tài)|θ?，重復(fù)N次相同的過程，那么有Ncos2θ

個光子透射過去。

但是對于每一個光子來說，無法預(yù)測它究竟能否透射過去，完全不能。所以我說量子力學(xué)的幾率是實(shí)質(zhì)性的。

量子力學(xué)有一套理論框架描述這些性質(zhì)。 光子的偏振由一個量子態(tài)描述。我們可以把它記為|ψ?。 它在數(shù)學(xué)上是一種矢量。

我們知道，空間中的矢量，比如位置，由幾個坐標(biāo)（或者叫分量）確定。任意一個矢量都可以分解為幾個互相正交的基本矢量。它們平行或反平行于坐標(biāo)軸，長度大小就是坐標(biāo)的絕對值，方向由坐標(biāo)的符號代表。它們稱作基矢。與之類似，量子態(tài)這種矢量也可以分解為幾個互相正交的基矢，它們稱為基矢態(tài)。這里的矢量不是在我們所生活的空間，而是在一個抽象的數(shù)學(xué)空間里，稱作矢量空間。它是這個量子系統(tǒng)的所有可能的量子態(tài)的集合，服從一定的運(yùn)算規(guī)則。這些矢量的正交也有它的定義。

在我們生活的空間里，坐標(biāo)的選擇是任意的。與之類似，對于一個量子態(tài)來說，選擇哪一套基矢態(tài)來展開或者分解也是任意的。但是為了計(jì)算某個測量的幾率，選擇與這個測量對應(yīng)的基矢態(tài)比較方便。光子透過偏振片可以看作一個測量過程，如果偏振方向沿著偏振片的透光軸方向，就會穿透；而如果垂直于透光軸方向，就不能穿透。

為簡單起見，我們考慮某個垂直入射偏振片的線偏振光子。假設(shè)在偏振片上定義一個xy平面，光子的線偏振沿著θ方向。我們將這個偏振量子態(tài)記作|θ?。

現(xiàn)在先假設(shè)偏振片的透光軸沿著x方向。為了計(jì)算光子透過偏振片的幾率，可以把光子原來的量子態(tài)分解如下,|θ?=cosθ|??+sinθ|??,其中|??與|??互相正交，|??代表光子偏振方向沿著x方向，即目前偏振片的透光軸，|??

代表光子偏振方向沿著y方向，即垂直于偏振片的透光軸。

光子入射偏振片，量子態(tài)變得非此基矢態(tài)即彼基矢態(tài)，要么變成|??，從而透過偏振片；要么變成|??, 從而不能通過偏振片。 前者的幾率是cos2θ，后者的幾率是sin2θ。幾率等于展開式（???）式右側(cè)各基矢態(tài)前面的系數(shù)（通常稱作展開系數(shù)）的模的平方。這是由量子態(tài)決定幾率的基本規(guī)則。這些系數(shù)的模的平方之和等于1，因?yàn)楦鞣N可能的幾率之和應(yīng)該是1。 因此，光子穿透偏振片的幾率是cos2θ，穿透后的量子態(tài)變?yōu)閨??。

現(xiàn)在我們改變一下偏振片的方位，將它逆時針轉(zhuǎn)動45o，然后再將處于同樣偏振量子態(tài)|θ?的光子入射?，F(xiàn)在將光子的量子態(tài)|θ?作如下分解比較方便，|θ?=cosθ′|↗?+sinθ′|↘?,

其中θ′=θ?45o，|↗? 代表光子偏振方向沿著45o方向，即目前偏振片的透光軸，|↘? 代表光子偏振方向沿著135o方向，即垂直于偏振片目前的透光軸?？梢钥闯?，對于目前的偏振片透光軸方向，光子穿透偏振片的幾率是 cos2θ′, 穿透后的量子態(tài)成為 |↗?。

事實(shí)上, 式（1）也適用于|↗?

和|↘?, 分別對應(yīng)于θ=45o和θ=135o，也就是說，

|↗?|↘?==12√(|??+|??),12√(|???|??).

反過來就是

|??|??==12√(|↗?+|↘?),12√(|↗??|↘?).

后兩式也可以分別通過將θ=45o和θ=135o帶入（2）式得到。

也有復(fù)雜一點(diǎn)的測量方法，可以做到測量一個光子的偏振態(tài)而且不失去它。比如，借助于一個雙折射晶體和兩個偏振片，使得每個光子都能隨機(jī)地從一個偏振片透射出來，非此即彼，每個偏振片分別對應(yīng)于一個基矢態(tài)。下面所討論的對偏振態(tài)的測量就是這樣。為了簡單起見，這里不贅述細(xì)節(jié)。

一般來說，一個量子態(tài)用基矢態(tài)展開，比如圓偏振態(tài)用線偏振基矢態(tài)展開，展開系數(shù)是復(fù)數(shù)。但是為簡單起見，本文所用的例子中，展開系數(shù)都是實(shí)數(shù)。

對于不同的物理性質(zhì)有不同的量子態(tài)。比如偏振是一個物理性質(zhì)，動量是另一個物理性質(zhì)。如果不同的物理性質(zhì)之間沒有耦合，相應(yīng)的量子態(tài)也沒有耦合，只需要考察相關(guān)的量子態(tài)。比如在上面這個例子里，關(guān)于光子的動量或者位置當(dāng)然也有量子態(tài)，但是與我們關(guān)心的偏振現(xiàn)象沒有關(guān)系，所以不去關(guān)心。

在測量之前，量子態(tài)隨時間的演化是由一個動力學(xué)方程決定的，這個方程被稱作薛定諤（E. Schr\”{o}dinger）方程，因?yàn)闅v史上第一個例子（描寫氫原子中的電子）是由薛定諤提出的。與相關(guān)物理性質(zhì)有關(guān)的能量是一個常數(shù)時，相應(yīng)的量子態(tài)在測量之前就不變。本文下面的討論都屬于這種情況。 在量子力學(xué)里，量子態(tài)、幾率分布以及物理量的期望值都可以有決定論的動力學(xué)演化，但是這改變不了量子力學(xué)的幾率本質(zhì)，因?yàn)樵诿總€量子態(tài)上，作一個物理量的測量，都有一個內(nèi)在隨機(jī)性。

什么情況下用經(jīng)典物理，什么情況下必須用量子力學(xué)？它們的分界線在哪里？嚴(yán)格來說，這是一個沒有完全解決的問題。對于具體的實(shí)際情況（for all practical purposes），一般能夠判斷，比如，一般來說，小分子層次以下的微觀粒子必須要用量子力學(xué)，而我們周圍的宏觀物體服從經(jīng)典物理。但是隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步，越來越大的物體表現(xiàn)出量子效應(yīng)。所以有可能所有的物質(zhì)本質(zhì)上都服從量子力學(xué)，只是在環(huán)境的作用下，表觀上顯示出經(jīng)典物理。但是也有可能量子力學(xué)的適用范圍是有限的。筆者認(rèn)為，按物理學(xué)目前的水平來說，這兩種可能都是存在的。