試卷點評　今年的天津卷延續(xù)了去年天津卷的風格，非常重視對基本功的考查．選擇題最后一題和填空題最后一題都中規(guī)中矩，不需要用什么技巧，只需要扎實的數(shù)學功底．解析幾何大題也不涉及一些熱點的圓錐曲線的性質，而是樸實無華的計算．壓軸題大題是我們在模擬考試中經常遇到的“被關起來的二次函數(shù)”問題的升級版本，第(2)小題的提示給的非常隱晦，如果用常規(guī)方法頗有難度．總的來說，今年的天津卷的難度在全國各卷來說相對較高，而試題風格相對最穩(wěn)定．

理科第8題（選擇壓軸題）：

已知函數(shù)（，且） 在上單調遞減，且關于的方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（　　）

A．

B．

C．

D．

解　因為在上單調遞減，所以解得
接下來思考函數(shù)的圖象與直線以及的公共點個數(shù)，如圖．

當時，符合題意．當變大時，設函數(shù)則，而，因此在區(qū)間上題中方程有且只有一個實數(shù)解．這樣問題就轉化為了方程在區(qū)間上只有一個實數(shù)解．設則，因此得到分界點．

情形一　．

此時，而的圖象開口向上，因此方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，符合題意．

情形二　．

此時，而的對稱軸滿足，進一步其判別式于是方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，符合題意．

情形三　．

此時，而的對稱軸滿足，進一步可得其判別式即時符合題意．

綜上所述，的取值范圍是．

理科第14題（填空壓軸題）：

設拋物線（為參數(shù)，）的焦點為，準線為．過拋物線上一點作的垂線，垂足為．設，與 相交于點． 若，且的面積為，則的值為______．

解　由題意可知，拋物線的普通方程為，點坐標為，準線的方程為，如圖．

設點坐標為，不妨設．由于，故解得進一步可求得點坐標為．

因為與相似，且，所以即解得．

理科第19題（解析幾何）：

設橢圓()的右焦點為，右頂點為．已知 ，其中為原點，為橢圓的離心率．

(1) 求橢圓的方程；

(2) 設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍．

解　(1) 由 可知解得．故橢圓方程為．

(2) 如圖，設點坐標為，其中，點坐標為．

因為，故，解得因為點在直線上，所以可以設點坐標為．由題意，，所以故因為，所以，解得．令，由于故；由于故．所以或．

設直線的斜率為，則因為或，所以或．

綜上所述，直線的斜率的取值范圍是．

理科第20題（解答壓軸題）：

設函數(shù)，，其中．

(1) 求的單調區(qū)間；

(2) 若存在極值點，且，其中，求證：；

(3) 設，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于．

分析　第(1)小題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性；第(2)小題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的極值點．第(3)小題在第(2)小題的基礎上可以畫出極端情形：

在此基礎上利用函數(shù)在處的函數(shù)值結合反證法證明結論即可．

(1) 函數(shù)的導函數(shù)．

情形一　．

此時恒有，于是函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，沒有單調遞減區(qū)間．

情形二　．

此時函數(shù)有兩個零點，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是．

(2) 因為是的極值點，故由第(1)問可知，，且，即．由題意可知，關于的方程有且只有兩個不同的實根．因為且（否則由可推出，矛盾），故即．

(3) 用反證法．假設在區(qū)間上的最大值小于．

考慮我們有所以但是矛盾．

所以在區(qū)間上的最大值不小于．

文科第8題（選擇壓軸題）：

已知函數(shù)（），．若 在區(qū)間 內沒有零點，則 的取值范圍是（　　）

A．

B．

C．

D．

解　函數(shù)可以化簡為根據(jù)題意可知且函數(shù)的半周期不小于區(qū)間的長度．在得到后，可得在區(qū)間上討論如下．

情形一　或．

此時其中．考慮到，于是解得

情形二　且．

此時解得．

情形三　且．

此時解得．

綜上所述，的取值范圍是，選D．

拓展　考慮將函數(shù)的圖象進行拉伸，使其在內沒有零點，考慮和最終的位置與區(qū)間的關系亦可．

文科第14題（填空壓軸題）：

已知函數(shù)（其中，且）在上單調遞減，且關于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是_______．

解　因為在上單調遞減，所以解得
接下來思考函數(shù)的圖象與直線以及的公共點個數(shù)，如圖．

當時，符合題意．當變大時，設函數(shù)則，而，因此在區(qū)間上題中方程有且只有一個實數(shù)解．這樣問題就轉化為了方程在區(qū)間上只有一個實數(shù)解．設則，因此得到分界點．

情形一　．

此時，而的圖象開口向上，因此方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，符合題意．

情形二　．

此時，而的對稱軸為，于是方程在區(qū)間上沒有實數(shù)解，不符合題意．

情形三　．

此時，而的對稱軸滿足進一步可得其判別式于是方程在區(qū)間上沒有實數(shù)解，不符合題意．

綜上所述，的取值范圍是．

文科第19題（解析幾何）：

設橢圓 的右焦點為 ，右頂點為 ，已知 ，其中 為原點， 為橢圓的離心率．

(1) 求橢圓的方程；

(2) 設過點 的直線 與橢圓交于點 （ 不在 軸上），垂直于 的直線與 交于點 ，與 軸交于點 ．若 ，且 ，求直線 的斜率．　

解　(1) 由 可知解得．故橢圓方程為．

(2) 如圖，設點坐標為，其中，點坐標為．

因為，故解得因為點在直線上，所以可以設點坐標為由題意，，所以故因為，所以，解得．從而，所以直線的斜率．

文科第20題（解答壓軸題）：

設函數(shù) ，其中 ．

(1) 求 的單調區(qū)間；

(2) 若 存在極值點 ，且 ，其中 ，求證：；

(3) 設 ，函數(shù) ，求證： 在區(qū)間 上的最大值不小于 ．

解　(1) 函數(shù)的導函數(shù)．

情形一　．

此時恒有，于是函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，沒有單調遞減區(qū)間．

情形二　．

此時函數(shù)的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是．

(2) 因為是的極值點，故由第(1)問可知，，且，即．由題意可知，關于的方程有且只有兩個不同的實根．因為且（否則由可推出，矛盾），故即

(3) 用反證法．假設在區(qū)間上的最大值小于．

考慮我們有所以但是矛盾．

所以在區(qū)間上的最大值不小于．