一年一度高考日，中午語(yǔ)文結(jié)束，關(guān)于各地作文題的討論立即熱火朝天，全微博的段子手紛紛出動(dòng)。然而到了下午考數(shù)學(xué)，世界就沉寂了……

你可能會(huì)說：知識(shí)都還給老師了嘛！

沒關(guān)系，這里有一篇能喚起你高考美好回憶的動(dòng)圖合集→_→

“橢圓”是什么？小時(shí)候，我將它直觀地理解成一個(gè)“壓扁”或“拉長(zhǎng)”的圓。因此，當(dāng)我第一次在解析幾何課本中看到橢圓的定義的時(shí)候，感覺世界觀被顛覆了：

……這是什么鬼？

接下來，課本就從這個(gè)定義出發(fā)，推出了橢圓的方程：我們熟悉的。這個(gè)方程和圓的方程很像，非常符合“拉長(zhǎng)的圓”的感覺。方程推出來，自然是對(duì)的，但推導(dǎo)的過程不太直觀，結(jié)果也有點(diǎn)反直覺。我還是會(huì)問自己：為什么會(huì)這樣呢？

直到我看到了一張類似這樣的圖片（當(dāng)然，當(dāng)年看到的不是動(dòng)圖）：

圖片來源：Zachary Abel's Math Blog

怎樣得到一個(gè)“拉長(zhǎng)的圓”？很簡(jiǎn)單，找一個(gè)圓柱體，然后斜著一刀切下去。接下來，我們從斜面的上方和下方分別塞進(jìn)一個(gè)球，它們與圓柱相切，同時(shí)也與截面相切。我們把球與截面相切的兩個(gè)點(diǎn)分別記作F1和F2——這兩個(gè)點(diǎn)也就是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。

于是，如圖，由于F1X和AX是X這個(gè)點(diǎn)到藍(lán)色球的兩條切線，因此它們的長(zhǎng)度也相等。同理，XF2=XB。因此，F(xiàn)1X+XF2=AX+XB=AB，而AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值。就這樣，我們把課本上橢圓的定義和“拉長(zhǎng)圓”的直覺理解聯(lián)系了起來。

而且，如果把這里的圓柱換成圓錐，這一點(diǎn)也同樣成立：

圖片來源：Zachary Abel's Math Blog

不過當(dāng)然，圓錐的截面變化就更多了。隨著角度變化，在圓錐上可以截出圓、拋物線、雙曲線、兩條相交的直線、兩條重合的直接，甚至縮成一個(gè)點(diǎn)。因此，橢圓、拋物線和雙曲線都被稱為圓錐曲線。

圖片來源：mathgifs

上高中時(shí)，我們沒少對(duì)著橢圓做計(jì)算，而它的光學(xué)性質(zhì)也很有趣：如果從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出光線，再經(jīng)過橢圓的反射，最終光線還會(huì)匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。當(dāng)然，把光換成聲波、小球或是別的什么東西也可以。

圖片來源：MathGifs

在圖中我們還可以看到：這些小球同時(shí)以同樣的速度向不同的方向出發(fā)，又同時(shí)匯聚在另一個(gè)焦點(diǎn)。這說明它們走過的路程是一樣的。為什么？想想橢圓的定義吧。

別的圓錐曲線也有獨(dú)特的光學(xué)性質(zhì)。比如說，從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線的反射后，看起來會(huì)像是從雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出來的一樣。再比如說拋物線，在它的一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線經(jīng)反射后會(huì)變成平行線：

圖片來源：MathGifs

把拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一圈，我們就得到了拋物面。這個(gè)拋物面也有同樣的光學(xué)性質(zhì)，于是我們就可以用它來把平行的光線匯聚到一點(diǎn)，或者把從一點(diǎn)發(fā)出的光線變成平行光。這個(gè)性質(zhì)被應(yīng)用在天線、望遠(yuǎn)鏡、話筒、燈光設(shè)備等各種不同的地方。奧運(yùn)的圣火也是通過拋物面匯聚的太陽(yáng)光來點(diǎn)燃的：

希臘演員Eleni Menegaki點(diǎn)燃2010年青年奧運(yùn)會(huì)圣火。圖片來源：Wiki Commons

還記得課本上是怎樣推導(dǎo)球的體積公式的嗎？一個(gè)常見的方法是祖暅（gèng）原理，下面的動(dòng)圖解釋的就是它：

圖片來源：Hyrodium's Graphical MathLand

祖暅原理，在西方叫卡瓦列里原理（Principio di Cavalieri）。它說的是如果兩個(gè)幾何體在每一個(gè)相同高度處的截面積都相同，則它們的體積也相同。從上面的圖中可以看出，如果把底面半徑為r、高為2r的圓柱體挖去兩個(gè)高為r的圓錐，再把剩余部分與半徑為r的球體進(jìn)行逐層比較，可以發(fā)現(xiàn)二者在每個(gè)高度上的截面積都是相等的。這樣一來，用圓柱和圓錐的體積公式就可以推出球體積公式了：。

學(xué)過高等數(shù)學(xué)的同學(xué)可能會(huì)發(fā)現(xiàn)：這不就是說二重積分能夠通過逐次積分來計(jì)算嗎？的確，這可以看成是微積分的一個(gè)“前奏”。在17世紀(jì)上半葉，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里提出了這條原理，并用它計(jì)算了一系列幾何體的體積，而在17世紀(jì)下半葉，牛頓和萊布尼茲發(fā)明了微積分。

祖暅提出同樣的原理是在公元5世紀(jì)，比卡瓦列里早了一千多年。祖暅?zhǔn)亲鏇_之的兒子，他是在求球的體積公式的過程中提出這條原理的。但他還不是第一個(gè)算出球體積公式的人。早在公元前3世紀(jì)，古希臘的阿基米德就給出了球的體積公式。他用一種奇妙的力學(xué)方法，算出半徑為r的球體積是半徑為r、高為2r圓柱體積的三分之二，并用窮竭法給出了證明。阿基米德的方法已經(jīng)有了微積分思想的雛形，不過沒有用上祖暅原理。

阿基米德的成果并沒有傳到中國(guó)。早期的中國(guó)數(shù)學(xué)家也研究過球的體積，但沒能得到正確的結(jié)果。到了南北朝時(shí)期，祖暅終于提出了這條重要的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。

祖沖之、祖暅父子在這條原理的基礎(chǔ)上，還得到了“牟合方蓋”的體積公式。咦？牟合方蓋是啥？

圖片來源：Wiki Commons 作者：Van helsing

如上圖，把兩根半徑相等的圓柱垂直地拼在一起，它們的公共部分就是“牟合方蓋”了。古人給幾何體起的名字，在今天看來往往會(huì)有些奇怪，不過在高考考場(chǎng)上你還真有可能遇到它們，比如2015年湖北高考題就出現(xiàn)了“陽(yáng)馬”和“鱉臑”。

余弦定理是勾股定理的推廣。它和勾股定理一樣，都有著很多不同的證明。數(shù)學(xué)證明是一件非常美妙的事情。不過，證明長(zhǎng)了，讀起來未免有些枯燥。相比之下，簡(jiǎn)短巧妙的無字證明就顯得格外具有美感。下圖就是余弦定理的一個(gè)無字證明：

圖片來源：Wiki Commons 作者：HB

看明白這個(gè)證明要花一點(diǎn)功夫，在這里我就先不剝奪讀者思考的樂趣了。我沒能查到這個(gè)證明的作者。它的靈感應(yīng)該是來自歐幾里得所給的勾股定理的證明?！稁缀卧尽分械谝痪淼牡?7個(gè)命題便是勾股定理。只要把動(dòng)圖中的∠ACB改成直角，得到的就是《幾何原本》上的證明：