牛頓爵士(Sir Isaac Newton, 1643-1727), 英國數(shù)學家、物理學家和天文學家。牛頓是數(shù)學和物理學的開創(chuàng)性人物，他的《流數(shù)術》和《基于無窮多項式的分析》開啟了微積分這個數(shù)學領域，而其《自然哲學之數(shù)學原理》則奠定了經(jīng)典力學的基礎。此外，他還第一個觀察記錄了棱鏡對日光的折射，提出了光的微粒說。牛頓被認為是人類歷史上最偉大的科學家。他的墓志銘是英國詩人Alexander Pope仿照《圣經(jīng)》的第一句撰寫的：“Nature and nature's laws lay hid in night; God said “ Let Newton be！” and all was light （自然和自然的定律隱藏在暗夜中；上帝說“讓牛頓來吧”，于是宇宙一片光明）?！?/span> 牛頓是一個當今世界人人都要熟悉的人物，所以關于他的生平、軼事之類的內(nèi)容就不必多費筆墨了。讓我們直奔他的兩項偉大成就，微積分與牛頓力學，看看是什么激發(fā)了他的靈感，而牛頓又是如何將靈感的火花拓展成學問的體系的。 英文里提及微積分，會用 the calculus 的說法，就象提及歐幾里得的《幾何原本》會用 the elements 一樣。加上定冠詞 the，就強調(diào)了所指內(nèi)容是令人崇敬的獨特存在。微積分在過去對許多人來說就是高深學問的代稱，也許這種局面還會持續(xù)很長時間。 英文中積分一詞是 integral calculus，微分是 differential calculus。中文把 calculus 翻譯成微積分，其實這個詞本意應該是計算、一種計算體系。求極值，以及求二維幾何體的面積和三維幾何體的體積等問題，是一些古老的問題。古代中國人、希臘人早就得到了一些結(jié)果。在17世紀后半葉，關于無窮小分析已經(jīng)有了很多的觀點、方法和具體發(fā)現(xiàn)，是到了有人將之組織成一門嶄新學問的時候了。德國的萊布尼茲1684年發(fā)表了一篇求最大、最小和切線新方法的文章，其中用到了 calculi 一詞。等到1696年法國人洛畢大 ( Guillaume de L’H?spital )寫出了第一本這方面的教科書，微積分，the calculus，就成了這門新學問的名字。 雖然歷史上有牛頓和萊布尼茲關于微積分發(fā)現(xiàn)優(yōu)先權的爭論，但有一點是肯定的，牛頓是研究和發(fā)現(xiàn)了微積分的。那么，牛頓發(fā)現(xiàn)微積分的關鍵一步是什么呢？是對二項式展開的推廣。 二項式展開，我們在初中就開始學了，對下面的公式大家都很熟悉： 只要愿意，可以得出任意次方二項式
二項式展開這樣的知識，對我們一般人來說就是僵硬的教條?？墒牵谂ｎD眼里，知識是可以拓展、發(fā)展的，是用來超越的。偉大的牛頓就把上面的二項式展開公式拓展到指數(shù)是分數(shù)、甚至是負的情形， 即他不僅會展開 這里的A, B, C, D…代表在該字母出現(xiàn)前的那一項表示。當然這樣的展開包括無窮多項。牛頓用對 這樣看來， 有了這樣的二項式展開，牛頓要證明曲線 在牛頓那里，微分被稱為流數(shù)術(fluxion)，積分被稱為逆流數(shù)術 (the inverse method of fluxion)。 Fluxion，和其它表示流動的英語詞如flow (流動)，fluctuate（漲落），flux (流量)等是同源詞，都和流動或者速度有關。把位置隨時間的變化當作時間的函數(shù)，這個函數(shù)的流數(shù)，或者微分，就是速度。萬物皆流，物理學的方程，本質(zhì)上就是流的方程。 關于牛頓，有個神奇的傳說，說牛頓某日坐在蘋果樹下，一顆蘋果[1]碰巧掉到了他的頭上，這讓他頓悟了萬有引力的奧秘。這個傳說有人說是虛構(gòu)的，但也見于他的熟人后來的文字中。但是，因為牛頓的巨大影響力，人們倒是寧愿相信這個傳說是真的。牛頓的母校劍橋大學的三一學院就種了這么顆牛頓的蘋果樹 （圖2），說是曾經(jīng)給牛頓帶來靈感的那棵蘋果樹的后代。這是一個關于偉大發(fā)現(xiàn)時刻抑或是帶來偉大發(fā)現(xiàn)之靈感的記憶符號。人們很容易就引種了牛頓的蘋果樹的后代，但能砸出靈感的蘋果一直沒能等到牛頓那樣的能砸出靈感的腦袋。
且不說是否有這樣一棵蘋果樹，那樹上的某個蘋果掉到了牛頓頭上激發(fā)了牛頓的靈感，從而使他參透了萬有引力的奧秘?？梢钥隙ǖ氖?，牛頓在研究行星運動的規(guī)律時，是注意到了地球上的落體運動的，而成熟果子的掉落是再自然不過的自由落體運動。實際上，早在牛頓出生之前，落體定律已經(jīng)由伽利略得出，而行星運動三定律也已經(jīng)由開普勒悟出。 很久以前，人們認為是力造成了運動。人類認識史上的一個偉大進步是關于慣性定律的認識。物體都有慣性，不受外力的物體保持靜止或者勻速運動（這一點后來被表述為牛頓第一定律，但其實早在牛頓之前已被人們所認識）——力是運動改變的原因。那時候，人們談論的力是壓力、摩擦力、推力這類通過接觸才有的力（contiguous force）。 天上行星的運動讓無數(shù)人好奇，歷史上許多古老的文明都有關于行星運動的觀測記錄。開普勒于1609-1619年間基于第谷的觀測數(shù)據(jù)，把太陽當成是行星運動的參照點[2]，從而總結(jié)出了著名的行星運動三定律。其第一定律說行星在以太陽為焦點之一的橢圓軌道上運動，第二定律說行星在單位時間內(nèi)相對太陽掃過相同的面積。為什么是這樣？或者說是什么形式的力讓行星采取這樣的運動形式？人們想回答這樣挑戰(zhàn)性的問題。 行星向前飛行，還不斷地改變其運動的方向和快慢。一個直覺的想法是，有一股指向前方的拉力牽著行星往前運動?？蛇@個力從哪里來？如果有，那么這個力的來源一定不是接觸力，而應該是一種遠距作用或者超距作用（action-at-a-distance）。認識到存在超距作用是人類認識史上的一大進步。那么這種超距作用力又該是什么樣的？ 也許真的是落下的蘋果給了牛頓以靈感。 蘋果一旦脫離了和樹的連接，就立即直往下朝地面落，說明地球?qū)λ某嘧饔靡恢倍荚?。也許地球?qū)μ焐系脑铝?、太陽以及那些星星都存在這樣的超距作用，當然太陽也應該以這樣的超距作用影響著行星的運動。另一方面，蘋果掉到腦袋上砸得腦袋疼，那是因為腦袋擋在了它的去路上。如果沒遇到人的腦袋，它會一直落到地面上。如果沒有地面或者在地面上掘口井，蘋果則會一直朝下落去。老天，那蘋果會一直落到地球中心去。 那個超距作用力，具體地說地球?qū)μO果的吸引力，是一直指向地球中心的！此時，牛頓該是悟到了引力或者重力的真諦：引力存在于所有物體之間，是超距作用，是有心力(central force)。 那么，假設太陽和行星之間存在的引力是有心力，這能解釋觀測到的行星軌道的性質(zhì)即開普勒三定律嗎？牛頓假設物體間的引力是沿兩者連線的有心力，且大小與距離平方成反比，他用平面幾何證明了這樣的行星軌道確實是以太陽為一個焦點的橢圓。有了這個結(jié)論，開普勒第二、第三定律的證明就好辦了。牛頓關于開普勒第一定律的證明被收錄在他的《自然哲學之數(shù)學原理》一書中。圖3所示一英鎊的紙幣上是簡化了的牛頓證明所用的圖解。筆者觀此圖及證明時，如赤貧之人面對二斤重的鉆石，被驚訝得手足無措。有人若覺得自己平面幾何學得好，不妨試試看能否看得懂牛頓的證明過程。后來，錢德拉塞卡重寫了這個證明，當然啦，那證明就長了很多，而且也未必更容易懂。
有了微積分，有了萬有引力，經(jīng)典力學這門科學終于建立起來了。重要的是，牛頓的工作是理性思維的典范。牛頓出生時，科學在西方世界還沒能取得對中世紀愚昧的優(yōu)勢地位，到他去世時，西方已經(jīng)步入理性時代，牛頓于此厥功甚偉。 牛頓給筆者最深刻的啟示是，一個偉大的科學家不僅要有深刻、大膽的思想，還要有證明自己思想正確的能力。將不斷涌現(xiàn)的思想和證明（或者演示）編織在一起，那就是知識的體系。 后記有趣的是，古文里有“牛頓”的說法。曹操《秋胡行》有句云：“牛頓不起，車墜谷間?！?/p> 本文原為曹則賢著《一念非凡——科學巨擘是怎樣煉成的》（外語教學與研究出版社，2016.5）的第六篇，此次發(fā)表時略有增添。
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 《一念非凡》作者序 人類歷史是由少數(shù)英雄人物創(chuàng)造的觀點，曾遭遇過激烈的批評。但是，如果說“科學的歷史是由少數(shù)英雄人物創(chuàng)造的”，估計反對的人不會太多。因為，論及一些偉大的科學成就，別說敢腆著臉硬去爭功，一般人如筆者這樣資質(zhì)的僅只是能弄懂只鱗片爪就足以為自己感到自豪了。當然，我這里說的科學指的是數(shù)學、物理這樣的已經(jīng)形成足夠嚴謹、厚重體系的學科。 一部科學史，就是不多的幾位巨擘揮灑天才的歷史。有些人，象伽利略、哈密頓、歐拉、開爾文爵士這樣的，他們的思想能穿透存在之未知的迷霧，為人類帶來智識的啟迪。有些人，比如龐加萊，又比如伽莫夫, 他們來到世上就是為了向世人展示這個世界是有天才存在的。每每讀到這些大師們的思想，領略了點滴他們天才的成就，總讓人有莫名的興奮和感嘆——為什么在這塊最古老的、養(yǎng)育了人類之最大部分的土地上，不曾出現(xiàn)過這樣的科學巨擘呢？ 也許并非我們生而平庸，而是在我們嗷嗷待哺的時候沒有見識過榜樣的力量，沒有高屋建瓴的智者予我們以醍醐灌頂式的洗禮？！那些科學巨擘們，都是在少年時期就得到了充分的、高品質(zhì)的教育和啟迪的。少年心中不知什么才是真正偉大的思想成就，什么樣的人才是真正的科學大師，自然也沒有成為大師的渴望與野心。那么，從他們中間產(chǎn)生科學巨擘的可能又在哪里？ 不知從何時起，筆者一直有一個愿望，希望能把自己理解的那些科學巨擘們的思想與成就之點滴與朋友們——尤其是那些朝氣蓬勃的少年朋友們——分享。但是，正確理解和準確傳達這些科學大師們的思想與創(chuàng)造性成果遠超筆者能力之外。抱著退而求其次的想法，筆者撰寫了這本小書，向讀者介紹那些科學巨擘們成就其科學地位的非凡一念——也許只是一個偶然的念頭，但是后來成了科學史上的標志性事件，給科學，進一步地給人類文明，帶來了意想不到的推動。衷心希望這本小書能夠?qū)δ贻p的朋友們，從中學生到剛踏入研究生涯的青年學者，有些許的幫助。 本書著眼的人與事，僅限于哲學、數(shù)學和物理三個領域。沒有別的原因，只是因為一些哲學、數(shù)學、物理領域里的大師具有別樣的魅力，他們的成就在我的心中引起了特別的崇敬，按照康德的說法，就是“我對它們的思考越是經(jīng)常和持久，它們就越是以嶄新的、不斷增長的驚奇和敬畏充滿我的心靈?！?讀者將會注意到，本書提及的一些人可是哲學家-數(shù)學家-物理學家三位一體的，有人甚至還同時是語言學家或別的什么學家。盡管可能不正確，我還是以為物理學，就心智努力的成分而言，多少遜于哲學和數(shù)學對智力以及品格的要求。不是數(shù)學家的物理學家，總是和物理學有那么一層隔閡。一個不爭的事實是，哲學家和數(shù)學家里幾乎沒有名不副實的人，遑論欺世盜名之徒。 本書包含30篇短文，其中前25篇大體上每篇介紹一位科學巨擘取得偉大成就時的某個非凡一念；第26篇談論作為學者品格的高傲的孤獨——寂寞中沉思的人才能瞥到黑暗中最微弱的亮光；接下來的3篇分別講述一位中學老師、一位工廠學徒和一位農(nóng)民是如何憑一個非凡念頭影響了科學的；最后一篇特別談談平凡人如何也能享受學習和參與科學創(chuàng)造的樂趣。內(nèi)容上我在保持通俗易懂的同時，仍然堅持加入一些深刻的東西，包括數(shù)學公式。有一種說法，每多一個公式，書的讀者就減少一半。按照這個說法，本書的讀者數(shù)將少于1。不過我不太相信這個說法。每一個健康的頭腦，都是喜歡挑戰(zhàn)的。數(shù)學公式之所以能嚇走讀者，可能是因為公式是以一種生硬的、唬人的方式出現(xiàn)的，如同有人把家常話般的德國哲學翻譯成晦澀難懂的文本一樣，問題出在作者或者譯者的不道德而不是因為數(shù)學或者哲學的不隨和。本書中的數(shù)學公式，如果讀者不感興趣，不妨直接跳過去，絲毫不影響感受那些科學巨擘靈光一現(xiàn)時的奇思妙想。但是，我希望讀者能努力理解這些看似艱深的東西，不要有身入寶山空手回的遺憾。在一些篇章后面我會列出一些非常專業(yè)的參考文獻，我不認為在這樣的書中列出這些專業(yè)的內(nèi)容是多余的。雖然這些文獻可能是以一種你還不會的語言寫成的，或者它的內(nèi)容也不易理解，但是，設若這些內(nèi)容在你的內(nèi)心深處激起了成為科學大師的激情，那么這些文獻可能就會成為你的墊腳石。會有那么一天，你能讀懂它的——說不定那時你還嫌它淺顯呢。 這本小書是筆者的學習筆記、心得體會，也是筆者內(nèi)心深處的一聲嘆息。因為作者功力鄙薄的原因，它雖然能為朋友們展示一些偉大學術創(chuàng)造過程中的腳手架的遺跡，卻不足以讓人們一窺科學創(chuàng)造的門徑。有志于科學事業(yè)的朋友，請早點嘗試閱讀科學巨擘們本人的著作，早日達成對大師之偉大成就的獨特視角下的理解。 理解了科學大師之人與成就的一個附帶好處是，它會讓你謙虛——發(fā)自內(nèi)心地，由衷地。 本書的閱讀對象是任何一個對本書感興趣的人。筆者無意也無法把難度控制在某個層次上；實際上，筆者根本就不接受把知識劃分為中學生、大學生、研究生和教授能理解的不同層次的說法。倘若一本書能讓不同的讀者群都多多少少能有一些收獲，哪怕僅僅是閱讀時的會心一笑，那就是成功。再者說了，如果所讀之書沒有一點難度，那我們的進步從而何來？ 你一定注意到了，有很多來自偉大頭腦的靈光一現(xiàn)這里沒有提及。沒有關系。這是一個開放的系列，稍待時日會有更多的內(nèi)容在未來會被添加進來。 這個民族，這個我所屬的多災多難但一直生生不息的民族，無論如何要對科學做出一點實質(zhì)性的貢獻。 而為此，我們要學會如何學習、如何創(chuàng)造。馬上發(fā)起沖擊，angreifen,sofort! 曹則賢 2013年春動筆 2015年秋定稿 于北京  贈書彩蛋來了！ |
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，n是自然數(shù)，的展開。所有二項展開式的系數(shù)被總結(jié)在楊輝三角（西方人稱為Pascal triangle ）中（圖1）。楊輝三角很容易記?。好恳恍卸急壬厦嬉恍卸嘁豁?，且總是以1開始和結(jié)束，中間的數(shù)字都由上一行相鄰的兩個數(shù)相加得到。千萬不要輕易認為你懂得了楊輝三角，這類數(shù)學對象包含內(nèi)容之豐富與深刻是常人無法想象的。
這樣的二項式，還會展開
這樣的多項式。牛頓給出了
的展開式的一般表達，其中P, Q是任意的實數(shù)，m/n是一個分數(shù)， 即
