好多人覺得數(shù)學(xué)沒有用，或者用處不大，上學(xué)學(xué)習(xí)的三角函數(shù)和二元二次方程組在實(shí)際生活中根本應(yīng)用不到，一般來說，只是在購物的時(shí)候用到一些加減法而已。這種想法跟微積分是牛頓和萊布尼茨發(fā)明的一樣大錯(cuò)而特錯(cuò)。數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ)，而物理發(fā)展則推動了我們的科技，這毋庸置疑，古往今來，絕大多數(shù)的發(fā)明家首先是一個(gè)物理學(xué)家。

我們的文明發(fā)展到今天的地步，亦離開不數(shù)學(xué)，航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題都有賴于數(shù)學(xué)的發(fā)展才能得以深入研究。有一個(gè)很典型的故事，一個(gè)物理系的學(xué)生問他的老師：“為什么近一百年來物理學(xué)都沒有什么驚天動人的建樹？”老師想都沒想直接回答道：“因?yàn)閿?shù)學(xué)沒有發(fā)展?！边@雖然只是一個(gè)則故事，真?zhèn)坞y辨，但已經(jīng)能說明數(shù)學(xué)的重要性。而數(shù)學(xué)當(dāng)中在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用最廣泛的就是微積分。

微積分的出現(xiàn)解決了一直困惑人們的兩個(gè)問題：第一是如何計(jì)算曲線上任意點(diǎn)的切線，即微分；第二是如何計(jì)算任意一塊區(qū)域的面積，即積分。所以微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱。

微積分原理示意圖

提到微積分，很多人就頭疼。但是學(xué)數(shù)學(xué)繞不開微積分，正如我國一句老話所說，“工欲善其事必先利其器”，微積分就是數(shù)學(xué)家手里的“利器”，很多研究都是以微積分為基礎(chǔ)，其重要性不言而喻。提到微積分，很多人以為就是函數(shù)，其實(shí)微積分是一個(gè)統(tǒng)籌的概念，主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用，其中微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論，積分學(xué)包括求積分的運(yùn)算。提到微積分，很多人第一時(shí)間就想到牛頓和萊布尼茨，認(rèn)為是這兩個(gè)人發(fā)明創(chuàng)建了微積分，其實(shí)不然，實(shí)際上微積分是經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的持續(xù)努力和研究，經(jīng)過漫長時(shí)間的發(fā)展演變才得以形成。

牛頓畫像

牛頓和萊布尼茨的貢獻(xiàn)在于將微積分更加系統(tǒng)和成熟地表述出來，形成一種理論學(xué)科。這些人包括費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格、巴羅、瓦里士、開普勒、卡瓦列利等知名數(shù)學(xué)家，他們所提出的理論為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。費(fèi)馬曾經(jīng)提出用水平切線來找函數(shù)最大值和最小值的方法與今天微積分的求解方法極其相仿，因此拉格朗日甚至稱費(fèi)馬才是“微積分之父”。更早之前甚至可以追溯到公元前7世紀(jì)，古希臘科學(xué)家泰勒斯就對球的面積、體積、與長度等問題的研究就含有微積分思想。阿基米德在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線所得的體積的問題中也隱含著近代積分的思想。三國時(shí)期的劉徽所研究的割圓術(shù)對積分學(xué)也有研究。遺憾的是，在微積分發(fā)展最為迅速的中世紀(jì)，我國正處于閉關(guān)鎖國的明清時(shí)代，沒能與世界上其他的數(shù)學(xué)家一起狂歡。

萊布尼茲畫像

在當(dāng)時(shí)，牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分還引起了一場軒然大波，英國皇家學(xué)院支持本土的牛頓，而另外一些歐洲大陸的國家則推崇德國的布萊尼茨，這一對抗竟然綿延了一個(gè)世紀(jì)之久，導(dǎo)致了微積分發(fā)展的停滯。事實(shí)上，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，并且有意思的是兩個(gè)人也是在相近的時(shí)間里先后完成自己的研究。牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是萊布尼茨正式公開發(fā)表微積分這一理論卻要比牛頓早三年。時(shí)間的先后并不能說明多少問題，而且他們雖然都是研究微積分，但研究方向其實(shí)并不相同，牛頓在1671年寫了《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)》，指出變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動產(chǎn)生的。他在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動的路徑，求給定時(shí)刻的速度，或已知運(yùn)動的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程。

萊布尼茨在1684年發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)。這篇文章的題目相當(dāng)搶眼，叫做《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。這篇看上去有些潦草的文章卻包含了現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇關(guān)于積分學(xué)的文獻(xiàn)?，F(xiàn)今我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨所選擇的。簡單來說，牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。他們的最大功績是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起：一個(gè)是切線問題——微分學(xué)的中心問題，一個(gè)是求積問題——積分學(xué)的中心問題。

微積分的英文是Calculus，這并非英語，而是拉丁語，原義是小石頭。看到這里，可能很多人都不明白了，到底是誰要用這樣一個(gè)平實(shí)普通的事物來為命名如此高大上的一門新興學(xué)科？答案就是萊布尼茨。在古時(shí)候，人們會使用小石頭作為計(jì)算工具，久而久之，小石頭就代表了一種計(jì)算方式。因此萊布尼茨很巧妙地采用這一傳統(tǒng)的稱呼來為新興事物命名。另外，萊布尼茨還用拉長的S來表示積分，用d來代表差，這兩個(gè)單詞也都是從拉丁語中化來。

而牛頓則創(chuàng)造出Fluxion（通量）這個(gè)名詞來表示導(dǎo)數(shù)。并且發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)版本的微積分定理。所以很難說兩個(gè)人誰對微積分發(fā)明的貢獻(xiàn)更大。現(xiàn)在，人們普遍認(rèn)為是牛頓、萊布尼茨兩人分別建立起各自的體系，沒有互相交流，更不存在抄襲這樣的惡劣問題。筆者這是一種非常正確和健康的學(xué)術(shù)心態(tài)，與其去糾結(jié)這樣難以查明的歷史遺留問題，不如多做一些科學(xué)研究為明天的數(shù)學(xué)大廈建設(shè)增磚添瓦。這才是每個(gè)學(xué)者應(yīng)該關(guān)心的問題。

很多人不學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也不了解數(shù)學(xué)，但是不得不承認(rèn)，微積分真的有用，我們生活的物質(zhì)世界就是由這樣的理論支撐才得以建立。