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最近的一期 what-if 引起了頗多爭(zhēng)論 【譯言】【煎蛋】，這的確是一個(gè)非?？简?yàn)物理功底的問題，以下是我的個(gè)人理解，當(dāng)然我也只是一枚學(xué)生，如果有不對(duì)的地方請(qǐng)大牛指正。 和這個(gè)問題相關(guān)的的原理有兩個(gè)，一個(gè)是幾何光學(xué)中的像的亮度 <= 物的亮度（玻恩《光學(xué)原理》），另一個(gè)是黑體的平均溫度 <= 光源的平均溫度（朗道《統(tǒng)計(jì)物理 I 》）。下面我分成光學(xué)和熱學(xué)兩部分來寫，光學(xué)部分用亮度來討論，熱學(xué)部分用黑體來討論。 【光學(xué)類】 ## 用凸透鏡能否將像成到無窮小的一個(gè)點(diǎn)上？ 凸透鏡所成的像的形狀和光源一樣，如果光源不是一個(gè)理想幾何點(diǎn)的話，像就永遠(yuǎn)是一塊光斑而不是一個(gè)點(diǎn)。即使光源是一個(gè)點(diǎn)，考慮衍射的話，所成的像是個(gè)艾里斑，斑的半徑反比于透鏡的直徑。所以需要點(diǎn)光源+透鏡無窮大，像才是一個(gè)點(diǎn)。 ## 凸透鏡可以改變像的大小，這個(gè)縮放率能否做到無窮?。?/p> 幾 何光學(xué)中有個(gè)定理（我所學(xué)的是拉格朗日不變量，原作稱之為聚光度守恒定理），在共軸球面鏡成像過程中，nyθ 是不變量，n 是所處介質(zhì)折射率，y 你可以理解為像的尺寸，θ 是外緣光線和光軸的角度。因此為了讓 y 變小，θ 就會(huì)變大，透鏡就要越凸，越凸的透鏡，做出來的面積就越小，收集到的光能就變少。所以縮放率可以無限做小，但像的亮度不會(huì)無限提高。 ## 凸透鏡面積小了？那就用 N 個(gè)小凸透鏡，然后把已縮的很小的光斑引到一塊去？ 引不了。凸透鏡是把像成在焦平面，如果你不在焦平面接住這個(gè)像，過了焦平面后像就會(huì)又發(fā)散開來了。如果你用光纖（或類似的管形鏡面），光纖必須打彎，導(dǎo)致一部分光線往回走。 ## 用其它類型的透鏡？ 有人提到菲涅爾透鏡，它和凸透鏡是一個(gè)道理，其面積仍然要受曲率的限制。無論你用什么樣的透鏡，總是有聚光度守恒定理。 ## 像阿基米德那樣，在太空中布滿小平面鏡聚到一點(diǎn)，能否提高像的亮度？ 在距離月球 r 的球面上，能擺下的鏡子的總面積正比于 r2 ，而光能在 r 這個(gè)距離上的衰減也是 r2 ，又由于平面鏡成的是等大的像，在最理想的情況下，你得到的亮度和光源表面的亮度相同。 ## 從 nyθ 公式來看，提高折射率 n 是不是也可以？ 這一招的確能提高亮度，油鏡顯微鏡就是這么干的。不過你需要將整個(gè)像空間都泡在高折射率的介質(zhì)里，另外亮度仍然是有上限的，像空間亮度 <= 物空間的亮度*(像空間折射率/物空間折射率)^2 ，僅當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)沒有吸收或散射時(shí)取等號(hào)。 【熱學(xué)類】 ## 用一束光一直照射一個(gè)散熱率很低的物體，能否讓物體的溫度無限升高？ 不能，物體會(huì)至少以黑體輻射的形式損失能量，損失的功率為 σT^4 ，故溫度最高能達(dá)到 σT^4=輸入功率。如果光源也是一個(gè)黑體，且它的能量全部輸出給物體，因公式形式相同故它們最終會(huì)達(dá)到相同的平均溫度。 ## 光源不是太陽(yáng)嗎？月球只是反射太陽(yáng)光而已，溫度上限應(yīng)該是太陽(yáng)表面的溫度啊？ 注意“且它的能量全部輸出給物體”，月球只接受到了太陽(yáng)少得可憐的一點(diǎn)立體角的能量。只有當(dāng)你把太陽(yáng)和月球包在一個(gè)巨大的橢球面鏡之內(nèi)，月光才會(huì)和太陽(yáng)光一樣亮。故原文是把月球視作一個(gè)單獨(dú)的主動(dòng)熱輻射光源來討論的。 ## 把月球換成（反射率不是很高的）鏡面，能不能點(diǎn)火？ 當(dāng)然能，但月面不能用鏡面來近似。因?yàn)殓R面反射的光是高度定向的，用前面光學(xué)中的概念就是提高了聚光度。但真實(shí)的月面是漫反射，聚光度低了很多。這是質(zhì)的區(qū)別，所以多低的反射率的鏡面也不可以近似月面。 有人提出月光反射了顯著的可見光，而 100℃ 的黑體輻射主要為紅外光，可見光的比例很少，因此月球不可能被視為 100℃ 的黑體。我沒有查到月光的光譜，維基百科告訴我月光的光譜溫度約 4100K ，因此我同意這一觀點(diǎn)。 有一個(gè)更直接的估計(jì)方法：地球和月球到太陽(yáng)的距離差不多，所以把月球漫散射的光線整理好，和地球被陽(yáng)光直射的效果是差不多的，所以聚焦月光應(yīng)當(dāng)只能加熱到室溫附近。當(dāng)然月球也是受陽(yáng)光直射，所以用月面溫度來作估計(jì)也是一樣的，xkcd 的作者想說的就是這個(gè)意思。所以月光的光譜溫度是多少并不重要，限制光能進(jìn)一步聚焦的是聚光度。透鏡對(duì)光線的作用是讓光源以更大立體角包住物體，如果是直接接收太陽(yáng)光，透鏡就可以讓半個(gè)球面的立體角都充滿太陽(yáng)，因此能將物體加熱到太陽(yáng)表面的溫度。如果讓月面包住你，你所能達(dá)到的就是月面熱平衡的溫度（不是光譜溫度） 【所以就沒辦法了嗎？】 當(dāng)然有辦法，不然我們要怎么給核聚變點(diǎn)火。雖然平均溫度不能超過光源的溫度，但點(diǎn)火只要求瞬間溫度足夠高即可。我 們可以讓能量積攢一段時(shí)間然后一下子輸出。注意我說的不是把黑紙片放到保溫瓶中之類想當(dāng)然的手段，因?yàn)楸仄坎粫?huì)做功（術(shù)語(yǔ)稱為被動(dòng)裝置），仍然是至少以 黑體輻射的形式損失能量，只不過室溫下主要是以紅外線的形式輻射，所以你注意不到。我說的是要使用能主動(dòng)做功的裝置，例如攢上幾個(gè)月的月光光能給電池充電，然后瞬間短路點(diǎn)燃紙片。這一過程用到了主動(dòng)裝置，超額輸出也不可能持續(xù)進(jìn)行，所以不違反熱二律。原題目問的是只用放大鏡，如果只考慮點(diǎn)燃日常的引火物 的話（白磷大家都知道嘛），原文給出結(jié)論“不能”是沒有問題的。
很多人說要做定量計(jì)算，那就算一下也無妨。月光的光譜是啥樣并不重要（除了設(shè)置一個(gè)熱二律上限之外），加熱能力只和流強(qiáng)有關(guān)。月球的視立體角為 π*1737^2/380000^2，透鏡最多能將這個(gè)立體角擴(kuò)大到 2π，則流強(qiáng)能增大約 9.5 萬(wàn)倍，而日光的流強(qiáng)約為月光的 40 萬(wàn)倍。所以你聚出來的月光連日光直射都達(dá)不到，更不必說點(diǎn)火需要比日光直射更高的流強(qiáng)。 |
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