1． （2015·福建第9題   4分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接CD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?/span>

A．AD=BD                 B． BD=CD                 

C． ∠A=∠BED          D．  ∠ECD=∠EDC

考點(diǎn)：

作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．

分析：    

由題意可知：MN為AB的垂直平分線，可以得出AD=BD；CD為直角三角形ABC斜邊上的中線，得出CD=BD；利用三角形的內(nèi)角和得出∠A=∠BED；因?yàn)椤?/span>A≠60°，得不出AC=AD，無法得出EC=ED，則∠ECD=∠EDC不成立；由此選擇答案即可．

解答：    

∵MN為AB的垂直平分線，

∴AD=BD，∠BDE=90°；

∵∠ACB=90°，

∴CD=BD；

∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，

∴∠A=∠BED；

∵∠A≠60°，AC≠AD，

∴EC≠ED，

∴∠ECD≠∠EDC．

故選：D．

點(diǎn)評(píng)：    

此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．

2．（2015福建龍巖8，4分）如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC中，過點(diǎn)C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為（　　）

A．                  B.    

C．                  D．  1

考點(diǎn)：    

角平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析：    

根據(jù)△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，在Rt△PCB中，=1，即可解答．

解答： 

∵△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC，

∴∠PBC= ∠ABC =30°，

∵PC⊥BC，

∴∠PCB=90°，

在Rt△PCB中，=1，

∴點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為1，

故選：D．

點(diǎn)評(píng)： 

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、利用三角函數(shù)求值，解決本題的關(guān)鍵是等邊三角形的性質(zhì)．

3. （2015·北海,第12題3分）如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿對(duì)角線OB折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，OD與BC交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（　　）

 A． （4，8）        B． （5，8） 

C．        D． 

考點(diǎn)： 

翻折變換（折疊問題）；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．

專題： 

計(jì)算題．

分析： 

由四邊形ABCD為矩形，利用矩形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，再利用折疊的性質(zhì)得到OA=OD，兩對(duì)角相等，利用HL得到直角三角形BOC與直角三角形BOD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等及等角對(duì)等邊得到OE=EB，在直角三角形OCE中，設(shè)CE=x，表示出OE，利用勾股定理求出x的值，確定出CE與OE的長(zhǎng)，進(jìn)而由三角形COE與三角形DEF相似，求出DF與EF的長(zhǎng)，即可確定出D坐標(biāo)．

解答：

∵矩形ABCD中，OA=8，OC=4，

∴BC=OA=8，AB=OC=4，

由折疊得到OD=OA=BC，

∠AOB=∠DOB，∠ODB=∠BAO=90°，

在Rt△CBP和Rt△DOB中，

，

∴Rt△CBP≌Rt△DOB（HL），

∴∠CBO=∠DOB，

∴OE=EB，

設(shè)CE=x，則EB=OE=8﹣x，

在Rt△COE中，根據(jù)勾股定理得：

（8﹣x）²=x²+4²，

解得：x=3，

∴CE=3，OE=5，DE=3，

過D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，

點(diǎn)評(píng)： 

此題考查了翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

1． （2015，廣西柳州，16，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，則sinB=　　．

考點(diǎn)：    

銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．

分析：   

根據(jù)銳角三角函數(shù)定義直接進(jìn)行解答．

解答：   

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，

∴sinB==．

故答案是：．

點(diǎn)評(píng)：    

本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．

2. （2015·北海,第16題3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在DC邊的延長(zhǎng)線上．若∠CAE=15°，則AE=8　．

考點(diǎn)： 

含30度角的直角三角形；正方形的性質(zhì)．

分析： 

先由正方形的性質(zhì)可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°．然后在Rt△ADE中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得到AE=2AD=8．

解答：

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，

∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，

∵∠CAE=15°，

∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．

∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，

∴AE=2AD=8．

故答案為8．

點(diǎn)評(píng)： 

本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．也考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．求出∠E=30°是解題的關(guān)鍵．

3. （2015·黃岡,第14題3分）在△ ABC 中,AB=13cm,AC=20cm,BC 邊上的高為12cm,則△ABC 的面積為__________cm2.

考點(diǎn)：

勾股定理．

分析：

此題分兩種情況：∠B 為銳角或∠B 為鈍角已知AB、AC 的值，利用勾股定理即可求出BC 的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式得結(jié)果．

解答：

當(dāng)∠B 為銳角時(shí)（如圖 1），

     在Rt△ABD  中，

     BD= =5cm ，

     在Rt△ADC  中，

     CD=  =16cm ，

      ∴BC=21 ，

      ∴S△ ABC=   = ×21×12=126cm  ；

當(dāng)∠B 為鈍角時(shí)（如圖2 ），

     在Rt△ABD  中，

     BD==5cm ，

     在Rt△ADC  中，

     CD= =16cm ，

      ∴BC=CD ﹣BD=16 ﹣5=11cm，

      ∴S△ ABC= = ×11×12=66cm  ，

  故答案為：126 或66 ．

點(diǎn)評(píng)：

本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫出圖形，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．

4. （2015·黑龍江哈爾濱，第20題3分）（2015·哈爾濱）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=，CD=13，則線段AC的長(zhǎng)為　　．

考點(diǎn)： 

勾股定理；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．

分析：

點(diǎn)評(píng)： 

考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得到AG和CG的長(zhǎng)．

5. （2015·山西,第15題3分）太原市公共自行車的建設(shè)速度、單日租騎量等四項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)居全國(guó)首位．公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，AB⊥AD，AD⊥DC，點(diǎn)B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，則點(diǎn)A到地面的距離是　　cm．

考點(diǎn)：    

勾股定理的應(yīng)用．

分析：    

分別過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N，利用勾股定理得出BN的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可．

解答：    

過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N，

∵AD=24cm，則BF=24cm，

∴BN===7（cm），

∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN，

∴△BNF∽△BMA，

則：

故點(diǎn)A到地面的距離是：．

故答案為：．

點(diǎn)評(píng)：    

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△BNF∽△BMA是解題關(guān)鍵．

6. （2015·貴州省貴陽,第14題4分）“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．小亮隨機(jī)地向大正方形內(nèi)部區(qū)域投飛鏢．若直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是2和1，則飛鏢投到小正方形（陰影）區(qū)域的概率是　　．

考點(diǎn)：    

幾何概率；勾股定理．

分析：    

首先確定小正方形的面積在大正方形中占的比例，根據(jù)這個(gè)比例即可求出針扎到小正方形（陰影）區(qū)域的概率．

解答：   

直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是2和1，則小正方形的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)勾股定理得大正方形的邊長(zhǎng)為，=，針扎到小正方形（陰影）區(qū)域的概率是．

點(diǎn)評(píng)：    

本題將概率的求解設(shè)置于“趙爽弦圖”的游戲中，考查學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單幾何概型的掌握情況，既避免了單純依靠公式機(jī)械計(jì)算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活、甚至娛樂中的運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．易錯(cuò)點(diǎn)是得到兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．

7.（2015·貴州省黔東南州,第6題4分）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，則DH=（　?。?/span>

A．                B． 

C． 12               D．   24

考點(diǎn)：    

菱形的性質(zhì)．

分析：    

設(shè)對(duì)角線相交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)菱形的面積等對(duì)角線乘積的一半和底乘以高列出方程求解即可．

解答：

如圖，設(shè)對(duì)角線相交于點(diǎn)O，

∵AC=8，DB=6，

∴AO=AC=×8=4，

BO=BD=×6=3，

由勾股定理的，AB===5，

∵DH⊥AB，

∴S_菱形ABCD=AB·DH=AC·BD，

即5DH=×8×6，

解得DH=．

故選A．

點(diǎn)評(píng)：   

本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，難點(diǎn)在于利用菱形的面積的兩種表示方法列出方程．

8. （2015·遼寧省朝陽,第14題3分）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，則警示牌的高CD為　2.9　米（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）．

考點(diǎn)：    

勾股定理的應(yīng)用．

分析：    

首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DM=AM=4m，再根據(jù)勾股定理可得MC²+MB²=（2MC）²，代入數(shù)可得答案．

解答：   

由題意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°，

∴DM=4m，

∵AM=4米，AB=8米，

∴MB=12米，

∵∠MBC=30°，

∴BC=2MC，

∴MC²+MB²=（2MC）²，

MC²+12²=（2MC）²，

∴MC=4﹣4≈2.9（米），

故答案為：2.9．

點(diǎn)評(píng)：    

此題主要考查了勾股定理得應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．