 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間、變化的學(xué)問。數(shù)學(xué)的研究方法是從少許自明的公理出發(fā)，用邏輯演繹的方法，推導(dǎo)出新的結(jié)論。這些新的結(jié)論被稱為定理。關(guān)于這句話，有三件事情需要特別說明。 首先，上述少許自明的公理，被稱為公理體系，是數(shù)學(xué)論證的出發(fā)點(diǎn)。這個(gè)體系顯然應(yīng)該具備一個(gè)基本性質(zhì)，即其中的公理不能相互矛盾；也就是說一個(gè)公理體系應(yīng)該是相容的。至于某條公理是否自明，實(shí)際上是一個(gè)相當(dāng)深刻、又相當(dāng)主觀的問題。對(duì)歐幾里得來說自明的公理，對(duì)高斯、黎曼、羅巴切夫斯基等就沒有那么自明；事實(shí)上，后三者認(rèn)為，與歐幾里得的某條公理相矛盾的結(jié)論是自明的，從而可以作為公理。如此，后三者的公理體系就與歐幾里得不同。特別值得強(qiáng)調(diào)的是，這種不同導(dǎo)致了健康的結(jié)果，不同的學(xué)派在不同的公理體系之上建立了不同的幾何學(xué)。這些不同的幾何學(xué)相互之間有矛盾，但是每個(gè)個(gè)體之內(nèi)都沒有矛盾。之所以說這是健康的結(jié)果，是因?yàn)闅W幾里得原教旨主義者從來沒有試圖把后三者送上火刑柱，而后三者的傳人也從未去刨歐幾里得的祖墳。從這點(diǎn)上說，數(shù)學(xué)文化是一種溫和、健康的文化。一個(gè)受這種文化熏陶的人，在身處人類社會(huì)之時(shí)，會(huì)易于理解不同立場人的不同視角與結(jié)論。 第二點(diǎn)需要說明的是，數(shù)學(xué)所承認(rèn)的推理方法只有邏輯演繹，即三段論；其他論證方法都是不允許的。也就是說，數(shù)學(xué)定理必須是其前提的邏輯結(jié)果。思辨、臆測、《易經(jīng)》、跳大神等論證方法在數(shù)學(xué)中沒有地位。幾十年來，不斷有人聲稱用辯證法證明了費(fèi)爾馬大定理，更有人聲稱用氣功證明了哥德巴赫猜想；他們所用的方法不是三段論，因此，這種所謂的證明在數(shù)學(xué)中無效。當(dāng)然，這種無效絲毫也沒有消減這些作者本人對(duì)其作品的信念。 第三點(diǎn)需要說明的是，邏輯演繹所得到的結(jié)論必須是新的，即前人所不知道的。用不同的方法證明一個(gè)已知的結(jié)論，其哲學(xué)意義通常大于數(shù)學(xué)意義。數(shù)學(xué)的首創(chuàng)是指在全人類中首創(chuàng)，新定理是指在人類歷史中是新的。數(shù)學(xué)中不存在省內(nèi)首創(chuàng)、填補(bǔ)國內(nèi)空白一說；數(shù)學(xué)與工程的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有很大不同。 上節(jié)的論述，將數(shù)學(xué)與其他學(xué)問區(qū)別開來。因此，數(shù)學(xué)是一種獨(dú)特的文化存在。所謂文化，就是人類在社會(huì)歷史發(fā)展過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財(cái)富與精神財(cái)富的總和。狹義的數(shù)學(xué)文化，包含數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義的數(shù)學(xué)文化，更包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。 數(shù)學(xué)文化是人類文明的重要組成部分。 然而近年來，數(shù)學(xué)越來越被工具化了。對(duì)于當(dāng)今世界的很多人而言，數(shù)學(xué)的重要性已經(jīng)淪落為有用性，而有用性實(shí)際上就是“對(duì)我有用”。從這種觀點(diǎn)看來，數(shù)學(xué)就是一門手藝，而數(shù)學(xué)家仿佛就是“老圃”。比如，在我們身邊不少人真誠地認(rèn)為，數(shù)學(xué)重要是因?yàn)椴粚W(xué)數(shù)學(xué)就不知道怎么算賬，或者不用數(shù)學(xué)就生產(chǎn)不出合格的冰箱，而沒有合格的冰箱就不能保證天天有肉吃。 數(shù)學(xué)固然有用，而且非常有用；其作用不僅僅在于算賬與冰箱，更在于她是所有科學(xué)的基礎(chǔ)與語言。在這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)是所有科學(xué)的女傭。然而，這只是問題的一個(gè)方面。我們更必須看到另一個(gè)方面，即高斯所指出的：“數(shù)學(xué)是所有科學(xué)的女王。”數(shù)學(xué)在人類文明中占有獨(dú)特的地位，數(shù)學(xué)的思想性、科學(xué)性、藝術(shù)性都是獨(dú)有的，是獨(dú)立于應(yīng)用而存在的。一套數(shù)學(xué)理論，即使完全沒有用，其思想性、科學(xué)性、藝術(shù)性絲毫不會(huì)改變或褪色。 子曰：“君子不器?！睌?shù)學(xué)恰是一門不器之學(xué)，堪比孔子意義下的君子。這個(gè)君子固然對(duì)社會(huì)有用；但是他更堅(jiān)信，即使他無用，即使他“不如老圃”，他在人類文明史上的地位仍然是無可替代、光輝燦爛的。我們不反對(duì)樊遲把數(shù)學(xué)僅僅作為工具，我們只是想強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)也有權(quán)申明自己超乎工具之外的哲學(xué)意義以及文化意義。  |
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