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小學(xué)的奧數(shù)題中，最令人頭疼的題型無非是找規(guī)律了，各種毫無規(guī)律的數(shù)列。你可以試試下面的例子： 其實(shí)一直以來，我也一直很疑惑有沒有什么找規(guī)律的秒殺解。就像小學(xué)的撓破頭都解不了的應(yīng)用題，到了中學(xué)以連數(shù)學(xué)不及格的人都可以輕而易舉地列個(gè)方程解掉。直到看到了一個(gè)帖子兩個(gè)網(wǎng)友的對話： @Talentedpope ：哦，設(shè)一個(gè)8次多項(xiàng)式，待定系數(shù)法，結(jié)束了。。。 等等，拉格朗日插值，我學(xué)過。等等？這貨居然可以這么用??？ 好吧，作為面向小學(xué)生以及其父母的方法，我覺得有義務(wù)要詳細(xì)解釋一下什么叫做拉格朗日插值法。 首先，這個(gè)方法為什么叫做拉格朗日插值法呢？一是因?yàn)槔窭嗜铡疤岢觥绷诉@種方法（其實(shí)拉格朗日并不是第一個(gè)提出的，只是因?yàn)樗麣獗容^大，很多人都是因?yàn)樗帕私獾竭@個(gè)方法），所以有“拉格朗日”。 那為什么叫做“插值法”呢？ 好吧……所謂的插值，就是“插”“值”，就是指找出一個(gè)通過給出離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的函數(shù)（好吧，好吧，我知道小學(xué)生不懂函數(shù)和離散）。那么，數(shù)列中給出數(shù)據(jù)可以表示為在坐標(biāo)系上的點(diǎn)，x坐標(biāo)就是第幾項(xiàng)，y坐標(biāo)就是該項(xiàng)的值。 比如說，“1 ，3， 7， 8， 0， 5， 9， 2， 4， 6”這個(gè)數(shù)列可以表示為： 在Mathematica中用幾行簡單的代碼即可做到：
接下來，我們找出這些點(diǎn)都在哪一個(gè)函數(shù)上面，接著下來把下一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)帶進(jìn)去，就得到了下一項(xiàng)的值——這實(shí)際上就是通項(xiàng)公式！ 事不宜遲，馬上來試一試！ 首先，我們先來看看拉格朗日插值公式是怎么樣的：
那下面我們先試一一個(gè)簡單的數(shù)列：1、8、27…那下一個(gè)是什么呢？ 首先，這表示存在一個(gè)函數(shù)。當(dāng)自變量分別為1、2、3時(shí)函數(shù)值為1、8、27。于是我們可以設(shè)一個(gè)函數(shù)： 接下來就是關(guān)鍵的一步了！小學(xué)生可以不懂這是怎么回事。但有什么問題？考試會用就行了（如果你不介意再解釋一下一些其他的問題...比如未知數(shù)、自變量和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算）。
于是，一個(gè)通項(xiàng)公式就出來了。是 于是我們迫不及待地把x=4帶進(jìn)去，得到58. 至此，大功告成。 等等，什么答案寫著是64？別管了，肯定是盜版書印錯(cuò)答案了。有什么可能拉格朗日大牛會錯(cuò)呢？ 什么，我們的規(guī)律不對？正確的是y=x^3?好的，讓我看看。嗯…難道是拉格朗日錯(cuò)了？但是前面我們的估算也是沒問題的啊。 再仔細(xì)看一下坑爹的高數(shù)課本，才發(fā)現(xiàn)原來是我們一直搞錯(cuò)了。如果我們給的是n個(gè)點(diǎn)，那么拉格朗日給出的函數(shù)將會是(n-1)次的。 這不坑爹嗎…用公式之前還得想清楚這個(gè)函數(shù)是幾次的，而且如果是更高次數(shù)的還沒辦法加上點(diǎn)去求（更別說斐波那契數(shù)列這樣的用遞歸定義的數(shù)列了）。 這就意味著，就算是1、2、3、4、5、6…這樣的數(shù)列，拉格朗日插值法在耗盡你大量的考試時(shí)間去求出通項(xiàng)公式以后，還會給出一個(gè)超級坑爹的答案！ 那么這個(gè)方法還有什么用！ 別急，前面的計(jì)算都是為后面做鋪墊的?，F(xiàn)在才是主要內(nèi)容。 無論是分布得多么奇怪的點(diǎn)，拉格朗日插值法總能給出一條經(jīng)過這些點(diǎn)的函數(shù)圖象。也就是說，就算是1、2、3、4、5、6、（1568）這樣明顯不靠譜的答案也是“有規(guī)律的”。因?yàn)槟憧偪梢栽O(shè)一個(gè)六次多項(xiàng)式，找出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 如果老師斗膽把你的答案批錯(cuò)的話，你大可以把這篇文章打印出來，然后跟老師說：“這個(gè)空填任何數(shù)都是可以的，因?yàn)槟憧偪梢栽O(shè)一個(gè)n次多項(xiàng)式，然后……” (我承認(rèn)這是偽科普，真娛樂....) |
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