草根薦文|立足理解數(shù)學，促進數(shù)學理解（鄭良）

我心飛揚695 2016-01-23

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鄭良安徽省靈璧縣第一中學

編者按：近期“數(shù)學理解”成為了上海數(shù)學教研的熱門話題，相信鄭良老師這篇《立足理解數(shù)學　促進數(shù)學理解》會給大家?guī)硇﹩l(fā)。

注：本文經(jīng)鄭老師授權(quán)在本平臺發(fā)布

數(shù)學教學要立足于理解數(shù)學中的知識、思想方法、技能等內(nèi)容，教師理解學生，促進學生獨立思考，在關(guān)鍵點上予以指導、引申，促進學生對數(shù)學的深刻理解（理解基礎(chǔ)數(shù)學領(lǐng)域的深度、寬度和完整度），為學生的長久發(fā)展謀效益。

問題提出

王弟成老師以試題為載體，基于學生、源于學生，通過啟發(fā)，讓其自己思考，自己發(fā)現(xiàn)，自己反思，形成自己的理解、自己的思維方式，實現(xiàn)從學會到會學。強調(diào)“數(shù)學教學的目的是讓學生掌握數(shù)學知識的同時學會數(shù)學地思考，在思考中提升其思維能力，培養(yǎng)學生的認識力”“教學的過程并不是把知識傳遞給學生的過程，而是讓某一知識在學生心中成長的過程”案例中學生問題與（函數(shù)）最值有關(guān)，學生所反映出來的對函數(shù)最值概念的理解水平令人痛心。下面筆者結(jié)合自己的教學，談?wù)剬栴}的思考。

案例分析

例1在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=1，2cosC+c=2b，則△ABC的周長的取值范圍是______。

原題解答中，對方程c^2-bc+b^2-1=0，以c、b為主元，利用判別式結(jié)合實際意義，分別得到c、b的范圍，利用同向不等式的可加性，結(jié)合三角形“兩邊之和大于第三邊”確定周長的取值范圍。

學生不應(yīng)只對判別式法（知識、技能）有困惑，還應(yīng)質(zhì)疑：

（1）同向不等式能夠直接相加嗎？（此性質(zhì)學生還沒有學習）

（2）由b+c>a就能說明b+c可以取到大于a的所有實數(shù)嗎？

（3）最大值能取到嗎？

當然這些問題的解決并不難，但學生的漠視體現(xiàn)了學生的感性認識有余，理性認識不足。

漠視問題（1）說明學生學習沒有推證的嚴謹習慣，多是只看書不動筆；

漠視問題（2）說明學生沒有注意到b與c的聯(lián)系（相互關(guān)聯(lián)制約是解答出錯的原因），沒有有界性和極限思想意識；

漠視問題（3）說明學生對函數(shù)最值概念理解不到位，沒有形成正確的技能與意識，與“掐頭去尾燒中間”的教與學的方式相關(guān)。

學生學習時，往往沿著別人的思路走，“弄懂”教材的解讀、習題的解答思路等就以為對知識深入理解了，缺乏自己的想法、思維、理解。有如認知能力較低，思維水平不高等自身（成長過程）方面的原因；更與教師的教學方式息息相關(guān)，如教師的數(shù)學素養(yǎng)不高，只能在知識方法的淺層打轉(zhuǎn)，對學生不夠信任（未能真正理解學生），始終在學生思維的低端徘徊，缺乏對學生學法的有效指導，教師迫于（考試進度、學校評比、社會輿論）壓力，課堂教學往往大容量、快節(jié)奏，壓縮了學生的思維空間，催生了學生的學習惰性等。

函數(shù)的最值是中學數(shù)學的重要概念。從最大值定義知道，最大值包括兩個要素：其一，最大值是函數(shù)值；其二，最大值是所有函數(shù)值中的最大者。凡求函數(shù)最值都要確保符合函數(shù)最值定義。因此，求最大值的基本途徑有：利用函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性等）直接尋求函數(shù)的最大值；先找出函數(shù)的某個值，再證明該值是所有函數(shù)值中的最大者，以上體現(xiàn)了最值與函數(shù)值之間的特殊與一般的關(guān)系。

通過審題攝入信息，將吸納的信息與已有認知進行比對，產(chǎn)生反應(yīng)，輸出解決方案。在此過程中，學生應(yīng)對可能用到的知識、思想方法、技能有清楚的認識與理解，從而優(yōu)化結(jié)構(gòu)，促進落實?？紤]到2cosC與c、2b結(jié)構(gòu)不同，故嘗試將其統(tǒng)一。

數(shù)形結(jié)合思想充分利用數(shù)與形的特點，揚長補短，充分發(fā)揮形的直觀和數(shù)的精準。從圖1中能確定b+c的下（確）界，可以猜出其最大值（上確界），無論如何，圖形反映出來的信息不能代替推理證明，我們只需將其用精準的數(shù)學符號語言來表征即可。因為b、c相互聯(lián)系、制約，如何避免它們各自為政產(chǎn)生的干擾、沖突，實現(xiàn)變化中的統(tǒng)一呢？通過減元策略，將二者之間的區(qū)別與聯(lián)系用一個未知數(shù)來表示，從而實現(xiàn)解題目標，換元時要注意新元的取值范圍（被消去的元的范圍要在保留的元中體現(xiàn)）。

學生為什么沒想到用角度作為自變量？說明學生對正弦定理、余弦定理的基本化歸方向存在認識上的不足（部分教師未必清楚）。若用正弦定理化邊為角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)（方程）問題，再利用兩角和與差的正弦（余弦、正切）公式進行運算，優(yōu)點是角的范圍較好控制，需要學生能靈活運用加法定理中的相關(guān)公式；若用余弦定理化角為邊，轉(zhuǎn)化為邊的函數(shù)（方程）問題，再利用因式分解等手段探求邊之間的內(nèi)在聯(lián)系，往往涉及高次方程的因式分解，對學生變形能力要求較高。

片斷1

教師：這個等式能看成方程嗎？比如：將c看成未知數(shù)，b看成已知量可以嗎？

教師對轉(zhuǎn)換視角看問題習以為常，但思維能力較弱的學生會覺得很不習慣甚至難以理解。學生的停頓表明學生可能并未真正悟透，教師不應(yīng)一滑而過。因此教師應(yīng)在此駐足長留，作實鋪墊，給學生以充分的緩沖和積累，通過回憶所學，心理過程的激蕩，促進觀念的改變和思維能力的提升?？勺魅缦骂A設(shè)：

教師：在等式c^2-bc+b^2-1=0中，b、c地位如何？方便我們求解嗎？如何調(diào)整？

學生：b、c地位相同。因為無序?qū)е虑蠼獠槐?，考慮到對稱性，我們可以以其中一個為主，進行操作。

教師：很好。我們把這種處理方法叫做主元法，它是解決多元對稱問題的重要方法。解題時確認其對稱性是關(guān)鍵，等式中b、c位置互換，式子不變，不妨設(shè)b≥c進行排序。

片斷2

教師：現(xiàn)在若能將bc消去，或是將其轉(zhuǎn)化為b+c也可以，想一想bc與b+c之間能有怎樣的不等關(guān)系？試一試？

在教師的引導下，學生發(fā)現(xiàn)了b+c與bc的關(guān)系，進而構(gòu)建關(guān)于目標b+c的不等式。學生解題缺乏目標意識這是普遍現(xiàn)象，只能從已知到未知，不能自覺從未知目標出發(fā)，尋找解決的途徑。說明學生還不知如何解題，無法通過仔細審題、理性分析從而確定解題的途徑，只能更多地靠個人直覺進行嘗試。對解題的邏輯關(guān)系、思維過程理解不到位，看似正?，F(xiàn)象，因為“常用邏輯用語”安排在《數(shù)學》。由此可以看出端倪，教師的“包辦”壓縮了學生的思維空間，限制了學生的視界。教師不能為問題的解決給予學生過多、過強的提示，而應(yīng)從學生的能力發(fā)展入手，逐步滲透，使學生知其然知其所以然，內(nèi)化為自己解決問題的能力。

片斷3

學生：解法2是將b+c轉(zhuǎn)化為角C的三角函數(shù)，再求出其最大值，不會出問題。解法3用不等式關(guān)系求得b+c的最大值，也不會出問題。

教師：很好，如果改進解法1，我們應(yīng)怎樣思考？

學生憑什么說解法2、解法3求最大值不會出問題呢？難道僅僅是答案正確? 沒有給出任何依據(jù)。學生對有界性概念淡漠，沒有質(zhì)疑精神，直觀感覺大于邏輯思維。構(gòu)建關(guān)于b的方程利用判別式法求解是充要條件還是必要條件？其背景是什么？從代數(shù)角度可看成是方程組有解，幾何角度可看成是線段與橢圓的一部分有公共點（直線與圓的位置關(guān)系的正向遷移）。從方程解的角度，應(yīng)該求出每個t（尤其是最值時）對應(yīng)的b、c，當b+c=2，解得b=c=1，即△ABC為等邊三角形。根據(jù)題設(shè)，充分利用其結(jié)構(gòu)特征，視學生情況引導學生尋求其它解法，追問算理與算法。讓學生在宏觀上理清思路，在微觀上推敲細節(jié)。

教學思考

“理解數(shù)學”是當好數(shù)學教師的前提

“突出學生的主體地位”“注重對基本活動過程中經(jīng)驗積累”等課改理念被廣大一線教師所接受。學生在課堂上的探究交流活動日益泛濫，甚至成為評定高效課堂的唯一標準，于是學生成了教師擺弄的機器、操控的演員，學生辛苦，教師心累。在數(shù)學教師的知識結(jié)構(gòu)中，第一要素是“數(shù)學素養(yǎng)”，其主要內(nèi)涵是：了解數(shù)學知識的背景，準確把握數(shù)學概念、定理、法則、公式等的邏輯意義，深刻領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的思想方法、具有挖掘知識所蘊含的科學方法、理性思維過程和價值觀資源的能力和技術(shù)，善于區(qū)分核心知識和非核心知識等。教學首先要解決“教得對不對”的問題，再解決“教得好不好”的問題。以其昏昏，豈能使人昭昭。數(shù)學教師的數(shù)學理解水平，直接決定了學生的數(shù)學理解水平，影響到學生的數(shù)學能力的發(fā)展。離開了專業(yè)的思考，任何一種教學方法或教學模式的應(yīng)用都不可能真正獲得成功。

理解數(shù)學是教好數(shù)學的前提，理解學生確定教學的起點與著眼點、是教好數(shù)學的根本，理解教學是在理解數(shù)學與理解學生基礎(chǔ)上確定教學方式方法，是教好數(shù)學的手段。數(shù)學理解可分兩類：工具性（Instrumental）理解和關(guān)系性符號（Relational）理解。工具性理解是一種語義性理解——符號A所指代的事物是什么，或者一種程序性理解——一個規(guī)則R所指定的每一個步驟是什么及如何操作。關(guān)系性理解則還需加上對符號意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認識獲得符號指代物意義的途徑以及規(guī)則本身有效性的邏輯依據(jù)。即工具性理解就是知道如何求答，關(guān)系性理解則是除了知道求答案外還要知道為什么這樣做。中學一線教師多數(shù)停留在（甚至未達到）工具性理解水平，從而導致學生數(shù)學理解困難，提高師生數(shù)學理解水平亟待解決。

“高立意，起點低”落實數(shù)學教學的育人功能

教育的根本目標是育人。從數(shù)學學科教學的角度，就是要發(fā)展學生的認知力。只有充分地挖掘數(shù)學知識蘊含的價值觀資源，并在教學中將知識教學與價值觀影響融為一體，才能真正體現(xiàn)“數(shù)學育人”。目前一些課堂在兼顧高考的同時注重課堂教學的品味提升，如滲透數(shù)學文化等，提高了課堂教學的思想性。目前存在著看輕學生能力的傾向，無法激起學生的求知欲，對于少數(shù)基礎(chǔ)不同的學生，可采用單獨的補償教學。

“學之道在于悟，教之道在于度”學生的獨立思考是學生進行學習的必備條件。南京師大附中陶維林老師說過：“現(xiàn)在數(shù)學老師教學最大問題是什么？就是忘記了誰在學習。飯要讓學生親自吃，覺要讓學生親自睡，學習要讓學生親自學，老師絕不能代替?！彼裕瑢W習是學習者面對自己生命的藝術(shù)，教師的責任就是陪伴學生走向自我負責的道路。陌生阻止你認識陌生的事物，熟悉妨礙你理解熟悉的事物（霍爾曼斯塔爾語）。給學生一個機會，他會還你無限驚喜。

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