方差分析

方差分析（analysis of variance,簡(jiǎn)寫(xiě)為ANOV或ANOVA）可用于兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本均數(shù)的比較。應(yīng)用時(shí)要求各樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本；各樣本來(lái)自正態(tài)分布總體且各總體方差相等。方差分析的基本思想是按實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和分析目的把全部觀察值之間的總變異分為兩部分或更多部分，然后再作分析。常用的設(shè)計(jì)有完全隨機(jī)設(shè)計(jì)和隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)的比較。

一、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)的比較

又稱(chēng)單因素方差分析。把總變異分解為組間（處理間）變異和組內(nèi)變異（誤差）兩部分。目的是推斷k個(gè)樣本所分別代表的μ₁ ，μ₂ ，……μ_k 是否相等，以便比較多個(gè)處理的差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。其計(jì)算公式見(jiàn)表19-6。

表19-6 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較的方差分析公式

變異來(lái)源	離均差平方和SS	自由度v	均方MS	F
總	ΣX2 -C*	N-1
組間（處理組間）		k-1	SS組間 /v組間	MS組間 /MS組間
組內(nèi)（誤差）	SS總 -SS組間	N-k	SS組內(nèi) /v組內(nèi)

*C=（ΣX）² /N=Σ_ni ,k為處理組數(shù)

表19-7 F值、P值與統(tǒng)計(jì)結(jié)論

方差分析計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量為F，按表19-7所示關(guān)系作判斷。

例19.9 某湖水不同季節(jié)氯化物含量測(cè)量值如表19-8，問(wèn)不同季節(jié)氯化物含量有無(wú)差別？

表19-8 某湖水不同季節(jié)氯化物含量（mg/L）

H₀ ：湖水四個(gè)季節(jié)氯化物含量的總體均數(shù)相等，即μ₁ =μ₂ =μ₃ =μ₄

H₁ ：四個(gè)總體均數(shù)不等或不全相等

α=0.05

先作表19-8下半部分的基礎(chǔ)計(jì)算。

C= （Σx）² /N=(588.4)² /32=10819.205

SS_總 =Σx² -C=11100.84-10819.205=281.635

V_總 =N-1=31

V_組間 =k-1=4-1=3

SS_組內(nèi) =SS_總 -SS_組間 =281.635-141.107=140.465

V_組內(nèi) =N-k=32-4=28

MS_組間 =SS_組間 /v_組間 =141.107/3=47.057

MS_組內(nèi) =SS_組內(nèi) /v_組內(nèi) =140.465/28=5.017

F=MS_組間 /MS_組內(nèi) =47.057/5.017=9.380

以v₁ （即組間自由度）=3，v₂ （即組內(nèi)自由度）=28查附表19-2，F(xiàn)界值表，得F_0.05(3,28) =2.95,F_0.01(3,28) =4.57。本例算得的F=9.380＞F_0.01(3,28) ,P＜0.01,按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H₀ ，接受H₁ ，可認(rèn)為湖水不同季節(jié)的氯化物含量不等或不全相等。必要時(shí)可進(jìn)一步和兩兩比較的q檢驗(yàn)，以確定是否任兩總體均數(shù)間不等。

資料分析時(shí)，常把上述計(jì)算結(jié)果列入方差分析表內(nèi)，如表19-9。

表19-9 例19.9資料的方差分析表

二、隨機(jī)區(qū)組（配伍組）設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較

又稱(chēng)兩因素方差分析。把總變異分解為處理間變異、區(qū)組間變異及誤差三部分。除推斷k個(gè)樣本所代表的總體均數(shù)，μ₁ ，μ₂ ，……μ_k 是否相等外，還要推斷b個(gè)區(qū)組所代表的總體均數(shù)是否相等。也就是說(shuō)，除比較多個(gè)處理的差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義外，還要比較區(qū)組間的差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。該設(shè)計(jì)考慮了個(gè)體變異對(duì)處理的影響，故可提高檢驗(yàn)效率。

表19-10隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較的方差分析公式

變異來(lái)源	離均差平方和SS	自由度v	均方MS	F
總	ΣX2 -C	N-1
處理間		k-1	SS處理 /v處理	MS處理 /MS誤差
區(qū)組間		b-1	SS區(qū)組 /v區(qū)組	MS區(qū)組 MS誤差
誤差	SS總 -SS處理 -SS區(qū)組	V總 -v處理 -v區(qū)組	SS誤差 /v誤差

C、k、N的意義同表19-6，b為區(qū)組數(shù)

例19.10為研究酵解作用對(duì)血糖濃度的影響，從8名健康人中抽血并制成血濾液。每個(gè)受試者的血濾液被分成4份，再隨機(jī)地把4份血濾液分別放置0，45，90，135分鐘，測(cè)定其血溏濃度（表19-11），試問(wèn)放置不同時(shí)間的血糖濃度有無(wú)差別？

處理間：

H₀ ：四個(gè)不同時(shí)間血糖濃度的總體均數(shù)相等，即μ₁ =μ₂ =μ₃ =μ₄

表19-11 血濾放置不同時(shí)間的血糖濃度（mmol/L）

H₁ ：四個(gè)總體均數(shù)不等或不全相等

α=0.05

區(qū)組間：

H₀ ：八個(gè)區(qū)組的總體均數(shù)相等，即μ₁ =μ₂ =……μ₈

H₁ ：八個(gè)區(qū)組的總體均數(shù)不等或不全相等

α=0.05

先作表19-11下半部分和右側(cè)一欄的基本計(jì)算。

C=(ΣX)² /N=(169.56)² /32=898.45605

SS_總 =ΣX² -C=904.1214-898.45605=5.66535

V_總 =N-1=32-1=31

V_處理 =k-1=4-1=3

V_區(qū)組 =b-1=8-1=7

SS_誤差 =SS_總 -SS_處理 -SS_區(qū)組 =5.66535-2.90438-2.49800=0.26297

V_誤差 =（k-1）(b-1)=3×7=21

MS_處理 =SS_處理 /v_處理 =2.90438/3=0.9681

MS_區(qū)組 =SS_區(qū)組 /v_區(qū)組 =2.49800/7=0.3569

MS_誤差 =SS_誤差 /v_誤差 =0.26297/21=0.0125

F_處理 =MS_處理 /MS_誤差 =0.9681/0.0125=77.448

F_區(qū)組 =MS_區(qū)組 /MS_誤差 =0.3569/0.0125=28.552

推斷處理間的差別，按v₁ =3，v₂ =21查F界值表，得F_0.005(3,21) =3.07,F_0.01(3,21) =4.87,P＜0.01；推斷區(qū)組間的差別，按v₁ =7，v₂ =21查F界值表，得F_0.05(7,21) =2.49,F_0.01(7,21) =3.64,P＜0.01。按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)皆拒絕H₀ ，接受H₁ ，可認(rèn)為放置時(shí)間長(zhǎng)短會(huì)影響血糖濃度且不同受試者的血糖濃度亦有差別。但尚不能認(rèn)為任兩個(gè)不同放置時(shí)間的血糖濃度總體均數(shù)皆有差別，必要時(shí)可進(jìn)一步作兩兩比較的q檢驗(yàn)。

表19-12 例19.10資料的方差分析表

三、多個(gè)樣本均數(shù)間的兩兩比較的q檢驗(yàn)

經(jīng)方差分析后，若按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)不拒絕H₀ ，通常就不再作進(jìn)一步分析；若按α=0.05甚至α=0.01檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H₀ ，且需了解任兩個(gè)總體均數(shù)間是否都存在差別，可進(jìn)一步作多個(gè)樣本均數(shù)間的兩兩比較。兩兩比較的方法較多，在此僅介紹較常用的q檢驗(yàn)（Newman-Keuls法）

公式（19.13）

(各組n_i 相等) 公式（19.14）

（各組n_i 不等) 公式（19.15）

式中，x_Ａ -x_Ｂ 為兩兩對(duì)比中，任兩個(gè)對(duì)比組A、B的樣本均數(shù)之差；sx_A -x_B 為兩樣本均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)誤；n_i 為各處理組的樣本含量；n_A ,n_B 分別為A、B兩對(duì)比組的樣本含量；MS_誤差 為單因素方差分析中的組內(nèi)均方（MS_組內(nèi) ）或兩因素方差分析中的誤差均方（MS_誤差 ）。

計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量為q，按表19-13所示關(guān)系作判斷。

例19.11 對(duì)例19.9資料作兩兩比較

H₀ :任兩個(gè)季節(jié)的湖水氯化物含量的總體均數(shù)相等，即μ_A =μ_B

H₁ ：任兩總體均數(shù)不等，即μ_A ≠μ_B

表19-13 |q| 值、P值與統(tǒng)計(jì)結(jié)論

α= 0.05

1．將四個(gè)樣本的均數(shù)由大到小排列編秩，注明處理組。

2．計(jì)算 sx_A -x_B 本例各處理組的樣本含量n₁ 相等，按式（19，14）計(jì)算兩均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)誤。已知MS_{組內(nèi)=} 5.017,n=8

3．列兩兩比較的q檢驗(yàn)計(jì)算表（表19-14）

表19-14 兩兩比較的q檢驗(yàn)計(jì)算表

表中第（1）欄為各對(duì)比組，如第一行1與4，指A為第1組，B為第4組。第（2）欄為兩對(duì)比組均數(shù)之差，如第一行為X₁ 與X₄ 之差，余類(lèi)推。第（3）欄為四個(gè)樣本均數(shù)按大小排列時(shí)，A、B兩對(duì)比組范圍內(nèi)所包含的組數(shù)a，如第一“1與4”范圍內(nèi)包含4個(gè)組，故a=4。第（4）欄是按式（19.13）計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量q值，式中的分母0.7919是按式（19.14）計(jì)算出來(lái)的S^X _A -^X _B 。第（5）、（6）欄是根據(jù)誤差自由度v與組數(shù)a查附表19-3q界值表所得的q界值,本例v_誤差 =28，因q界值表中自由度一欄無(wú)28，可用近似值30或用內(nèi)插法得出q界值，本例用近似值30查表，當(dāng)a=4時(shí)，q_{0.05(30,4)=3.85,} q_{0.01(30,4)=4.80} ,余類(lèi)推。第（7）欄是按表19-13判定的。

4．結(jié)論由表19-14可見(jiàn)，除秋季與冬季為P＜0.05外，其它任兩對(duì)比組皆為P＜0.01，按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)均拒絕H₀ ，接受H₁ ，可認(rèn)為不同季節(jié)的湖水氯化物含量皆不同，春季氯化物含量最高，冬季含量最低。

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