數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心邏輯悖論最終證實(shí)對(duì)真實(shí)世界也有影響，從而使一個(gè)關(guān)于物質(zhì)的基本問(wèn)題變得從根本上無(wú)法回答。

1931年，在澳大利亞出生的數(shù)學(xué)家?guī)鞝柼亍じ绲聽(tīng)栒痼@了整個(gè)學(xué)術(shù)界。當(dāng)時(shí)，他宣布一些數(shù)學(xué)命題是“不可判定的”，而這意味著證明它們的對(duì)或錯(cuò)是不可能的事情。如今，3位研究人員發(fā)現(xiàn)，相同的定理使計(jì)算一種材料的重要屬性——理想原子模型中電子最低能級(jí)之間的間隙——變得不可能。

該研究作者之一、英國(guó)倫敦大學(xué)學(xué)院量子信息理論學(xué)家Toby Cubitt介紹說(shuō)，上述成果還引發(fā)了一種可能性，即粒子物理學(xué)中一個(gè)有著100萬(wàn)美元賞金的相關(guān)問(wèn)題同樣無(wú)法得到解決。

這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)日前發(fā)表于《自然》雜志，140頁(yè)的更長(zhǎng)版本則發(fā)表在arXiv預(yù)印本服務(wù)器上。西班牙巴塞羅那光子科學(xué)研究所量子信息理論學(xué)家Christian Gogolin表示，該成果“的確令人震驚，對(duì)致力于凝聚態(tài)理論研究的每個(gè)人來(lái)說(shuō)可能都是一個(gè)巨大驚喜”。

1936年，英國(guó)數(shù)學(xué)家阿蘭·圖靈首次將哥德?tīng)柕陌l(fā)現(xiàn)同物理世界聯(lián)系起來(lái)?！皩?duì)于物理和邏輯之間的關(guān)系，圖靈比哥德?tīng)栂氲酶忧宄?。”撰寫了哥德?tīng)杺饔浀拿绹?guó)作家Rebecca Goldstein認(rèn)為。

圖靈從算法的角度將哥德?tīng)柕某晒匦掠霉奖硎境鰜?lái)。這些算法由一臺(tái)每次能讀或?qū)?比特?cái)?shù)據(jù)的理想化計(jì)算機(jī)執(zhí)行。他證實(shí)，一些算法無(wú)法被此類“圖靈機(jī)”判定。也就是說(shuō)，不可能知道這臺(tái)機(jī)器能否在有限的時(shí)間里完成計(jì)算，也沒(méi)有通用測(cè)試來(lái)判斷某個(gè)特定算法是否不可判定。相同的限制也適用于真實(shí)的計(jì)算機(jī)，因?yàn)槿魏未祟愒O(shè)備在數(shù)學(xué)上和圖靈機(jī)是對(duì)等的。

從上世紀(jì)90年代起，理論物理學(xué)家便試圖在物理現(xiàn)象的理想化模型中體現(xiàn)圖靈的研究。不過(guò)，加拿大韋仕敦大學(xué)理論物理學(xué)家Markus Müller表示：“他們得出的不可判定問(wèn)題無(wú)法直接同物理學(xué)家感興趣的具體問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。”Müller同Gogolin和另一位合作者在2012年發(fā)表了一個(gè)此類模型。

“我認(rèn)為，可以恰當(dāng)?shù)卣f(shuō)，我們的模型是對(duì)人們會(huì)真正試圖解決的一個(gè)重要物理問(wèn)題產(chǎn)生的首個(gè)不可判定性結(jié)果?！盋ubitt表示。

Cubitt和合作者關(guān)注的是譜隙的計(jì)算。譜隙是電子在一種材料中能占據(jù)的最低能級(jí)和下一個(gè)能級(jí)之間的間隙，而這決定了某種材料的一些基本屬性。例如，在一些材料中，降低溫度能讓譜隙關(guān)閉，從而使這種材料變成超導(dǎo)體。

該團(tuán)隊(duì)從一種材料的理論模型——無(wú)窮二維原子晶格入手。晶格中原子的量子態(tài)可視為一臺(tái)具體化的圖靈機(jī)，包含著發(fā)現(xiàn)材料譜隙的每個(gè)計(jì)算步驟的信息。

Cubitt和同事證實(shí)，對(duì)于一個(gè)無(wú)窮晶格來(lái)說(shuō)，不可能知道計(jì)算是否會(huì)終止，因此譜隙是否存在的問(wèn)題就變得不可判定。

然而，對(duì)于有限的大量二維晶格而言，計(jì)算總是在有限的時(shí)間里終止，從而產(chǎn)生一個(gè)明確的答案。因此，第一眼看上去，該結(jié)果似乎同真實(shí)世界幾乎沒(méi)有關(guān)聯(lián)。真實(shí)材料的大小總是有限的，它們的屬性能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到或者被計(jì)算機(jī)模擬出來(lái)。

不過(guò)，“無(wú)窮情況”的不可判定性意味著，即使知道了某個(gè)有限大小晶格的譜隙，當(dāng)材料尺寸增大時(shí)——哪怕只是單個(gè)額外原子的增加，也會(huì)發(fā)生急劇的變化，從沒(méi)有譜隙變成有譜隙，反之亦然。Cubitt表示，由于研究已經(jīng)證明不可能預(yù)測(cè)何時(shí)或者是否將發(fā)生這種情況，因此從實(shí)驗(yàn)或模擬中得出普遍的結(jié)論非常困難。

他還介紹說(shuō)，該團(tuán)隊(duì)最終想研究粒子物理中一個(gè)被稱為“楊—米爾斯質(zhì)量間隙問(wèn)題”的相關(guān)問(wèn)題。這一問(wèn)題被新罕布什爾州克雷數(shù)學(xué)研究所提名為“千禧年大獎(jiǎng)難題”之一。該研究所正提供100萬(wàn)美元，尋找能解決該問(wèn)題的人。

質(zhì)量間隙問(wèn)題同對(duì)攜帶弱核力和強(qiáng)核力的粒子擁有質(zhì)量的觀察相關(guān)。這也解釋了為何弱核力和強(qiáng)核力擁有有限范圍，而不是像引力和電磁作用那樣以及為何夸克只是作為諸如質(zhì)子或中子的復(fù)合粒子一部分被找到，而不是單獨(dú)存在。問(wèn)題在于并未有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論能解釋為何核力的載體擁有質(zhì)量，以及電磁力的載體——質(zhì)子何時(shí)變得沒(méi)有質(zhì)量。

Cubitt希望，其團(tuán)隊(duì)的方法和想法最終能證實(shí)，“楊—米爾斯質(zhì)量間隙問(wèn)題”是不可判定的。不過(guò)，他認(rèn)為，如何解決這一難題目前似乎還沒(méi)有明顯的思路?！拔覀冸x贏取100萬(wàn)美元還有很長(zhǎng)的路要走。”