小學數(shù)學基礎知識整理（一到六年級）

 
  小學一年級 九九乘法口訣表。學會基礎加減乘。
  小學二年級 完善乘法口訣表，學會除混合運算，基礎幾何圖形。
  小學三年級 學會乘法交換律，幾何面積周長等，時間量及單位。路程計算，分配律，分數(shù)小數(shù)。
  小學四年級 線角自然數(shù)整數(shù)，素因數(shù)梯形對稱，分數(shù)小數(shù)計算。
  小學五年級 分數(shù)小數(shù)乘除法，代數(shù)方程及平均，比較大小變換，圖形面積體積。
  小學六年級 比例百分比概率，圓扇圓柱及圓錐。

必背定義、定理公式

三角形的面積＝底×高÷2。 公式 S= a×h÷2
正方形的面積＝邊長×邊長公式 S= a×a
長方形的面積＝長×寬公式 S= a×b
平行四邊形的面積＝底×高公式 S= a×h
梯形的面積＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2
內角和：三角形的內角和＝180度。
長方體的體積＝長×寬×高公式：V=abh
長方體（或正方體）的體積＝底面積×高公式：V=abh
正方體的體積＝棱長×棱長×棱長公式：V=aaa
圓的周長＝直徑×π 公式：L＝πd＝2πr
圓的面積＝半徑×半徑×π 公式：S＝πr2
    圓柱的表（側）面積：圓柱的表（側）面積等于底面的周長乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh
    圓柱的表面積：圓柱的表面積等于底面的周長乘高再加上兩頭的圓的面積。公式：S=ch+2s=ch+2πr2
    圓柱的體積：圓柱的體積等于底面積乘高。公式：V=Sh
    圓錐的體積＝1/3底面×積高。公式：V=1/3Sh

分數(shù)的加、減法則：同分母的分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分數(shù)相加減，先通分，然后再加減。
分數(shù)的乘法則：用分子的積做分子，用分母的積做分母。
分數(shù)的除法則：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

一、算術方面

1、加法交換律：兩數(shù)相加交換加數(shù)的位置，和不變。
2、加法結合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或先把后兩個數(shù)相加，再同第三個數(shù)相加，和不變。
3、乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。
4、乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或先把后兩個數(shù)相乘，再和第三個數(shù)相乘，它們的積不變。
5、乘法分配律：兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘，再把兩個積相加，結果不變。如：（2+4）×5＝2×5+4×5
6、除法的性質：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，商不變。 O除以任何不是O的數(shù)都得O。
簡便乘法：被乘數(shù)、乘數(shù)末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不參加運算，有幾個零都落下，添在積的末尾。
7、么叫等式？等號左邊的數(shù)值與等號右邊的數(shù)值相等的式子叫做等式。
等式的基本性質：等式兩邊同時乘以（或除以）一個相同的數(shù)，等式仍然成立。
8、什么叫方程式？答：含有未知數(shù)的等式叫方程式。
9、 什么叫一元一次方程式？答：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次 數(shù)是一次的等式叫做一元一次方程式。
學會一元一次方程式的例法及計算。即例出代有χ的算式并計算。
10、分數(shù)：把單位"1"平均分成若干份，表示這樣的一份或幾分的數(shù),叫做分數(shù)。
11、分數(shù)的加減法則：同分母的分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分數(shù)相加減，先通分，然后再加減。
12、分數(shù)大小的比較：同分母的分數(shù)相比較，分子大的大，分子小的小。異分母的分數(shù)相比較，先通分然后再比較；若分子相同，分母大的反而小。
13、分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。
14、分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母。
15、分數(shù)除以整數(shù)（0除外），等于分數(shù)乘以這個整數(shù)的倒數(shù)。
16、真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。
17、假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1。
18、帶分數(shù)：把假分數(shù)寫成整數(shù)和真分數(shù)的形式，叫做帶分數(shù)。
19、分數(shù)的基本性質：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以同一個數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。
20、一個數(shù)除以分數(shù)，等于這個數(shù)乘以分數(shù)的倒數(shù)。
21、甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。

數(shù)量關系計算公式方面
1、單價×數(shù)量＝總價
2、單產(chǎn)量×數(shù)量＝總產(chǎn)量
3、速度×時間＝路程
4、工效×時間＝工作總量
5、加數(shù)+加數(shù)＝和     一個加數(shù)＝和＋另一個加數(shù)
被減數(shù)－減數(shù)＝差         減數(shù)＝被減數(shù)－差       被減數(shù)＝減數(shù)＋差
因數(shù)×因數(shù)＝積       一個因數(shù)＝積÷另一個因數(shù)
被除數(shù)÷除數(shù)＝商       除數(shù)＝被除數(shù)÷商       被除數(shù)＝商×除數(shù)
有余數(shù)的除法：被除數(shù)＝商×除數(shù)+余數(shù)
一個數(shù)連續(xù)用兩個數(shù)除，可以先把后兩個數(shù)相乘，再用它們的積去除這個數(shù)，結果不變。例：90÷5÷6＝90÷（5×6）

6、 1公里＝1千米 1千米＝1000米
1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米
1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米
1平方厘米＝100平方毫米
1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米
1立方厘米＝1000立方毫米
1噸＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤= 1市斤
1公頃＝10000平方米。 1畝＝666.666平方米。
1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米

7、什么叫比：兩個數(shù)相除就叫做兩個數(shù)的比。如：2÷5或3:6或1/3
比的前項和后項同時乘以或除以一個相同的數(shù)（0除外），比值不變。
8、什么叫比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。如3:6＝9:18
9、比例的基本性質：在比例里，兩外項之積等于兩內項之積。
10、解比例：求比例中的未知項，叫做解比例。如3:χ＝9:18
11、正比例：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著化，如果這兩種量中相對應的的比值（也就是商k）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系就叫做正比例關系。如：y/x=k( k一定)或kx=y
12、反比例：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系就叫做反比例關系。如：x×y = k( k一定)或k / x = y
百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分數(shù)。百分數(shù)也叫做百分率或百分比。
13、把小數(shù)化成百分數(shù)，只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。其實，把小數(shù)化成百分數(shù)，只要把這個小數(shù)乘以100％就行了。
把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位。
14、把分數(shù)化成百分數(shù)，通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分數(shù)。其實，把分數(shù)化成百分數(shù)，要先把分數(shù)化成小數(shù)后，再乘以100％就行了。
把百分數(shù)化成分數(shù)，先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成最簡分數(shù)。

15、要學會把小數(shù)化成分數(shù)和把分數(shù)化成小數(shù)的化發(fā)。

16、最大公約數(shù)：幾個數(shù)都能被同一個數(shù)一次性整除，這個數(shù)就叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。（或幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，叫做最大公約數(shù)。）
17、互質數(shù)： 公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質數(shù)。
18、最小公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
19、通分：把異分母分數(shù)的分別化成和原來分數(shù)相等的同分母的分數(shù)，叫做通分。（通分用最小公倍數(shù)）
20、約分：把一個分數(shù)化成同它相等，但分子、分母都比較小的分數(shù)，叫做約分。（約分用最大公約數(shù)）
21、最簡分數(shù)：分子、分母是互質數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。
分數(shù)計算到最后，得數(shù)必須化成最簡分數(shù)。
個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，即能用2進行約分。個位上是0或者5的數(shù)，都能被5整除，即能用5進行約分。在約分時應注意利用。

22、偶數(shù)和奇數(shù)：能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。
23、質數(shù)（素數(shù)）：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質數(shù)（或素數(shù)）。
24、合數(shù)：一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。1不是質數(shù)，也不是合數(shù)。
28、利息＝本金×利率×時間（時間一般以年或月為單位，應與利率的單位相對應）
29、利率：利息與本金的比值叫做利率。一年的利息與本金的比值叫做年利率。一月的利息與本金的比值叫做月利率。
30、自然數(shù)：用來表示物體個數(shù)的整數(shù)，叫做自然數(shù)。0也是自然數(shù)。
31、循環(huán)小數(shù)：一個小數(shù)，從小數(shù)部分的某一位起，一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷的重復出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。如3. 141414
32、不循環(huán)小數(shù)：一個小數(shù)，從小數(shù)部分起，沒有一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷的重復出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做不循環(huán)小數(shù)。
如3. 141592654
33、無限不循環(huán)小數(shù)：一個小數(shù)，從小數(shù)部分起到無限位數(shù)，沒有一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷的重復出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。如3. 141592654……
34、什么叫代數(shù)? 代數(shù)就是用字母代替數(shù)。
35、什么叫代數(shù)式?用字母表示的式子叫做代數(shù)式。如：3x =ab+c

一般運算規(guī)則
1 每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)   總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù)    總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)
2 1倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù)   幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù)    幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù)
3 速度×時間＝路程    路程÷速度＝時間    路程÷時間＝速度
4 單價×數(shù)量＝總價   總價÷單價＝數(shù)量    總價÷數(shù)量＝單價
5 工作效率×工作時間＝工作總量   工作總量÷工作效率＝工作時間   工作總量÷工作時間＝工作效率
6 加數(shù)＋加數(shù)＝和   和－一個加數(shù)＝另一個加數(shù)
7 被減數(shù)－減數(shù)＝差   被減數(shù)－差＝減數(shù)差＋減數(shù)＝被減數(shù)
8 因數(shù)×因數(shù)＝積   積÷一個因數(shù)＝另一個因數(shù)
9 被除數(shù)÷除數(shù)＝商   被除數(shù)÷商＝除數(shù)商×除數(shù)＝被除數(shù)

小學數(shù)學圖形計算公式
1 正方形 C周長 S面積 a邊長
周長＝邊長×4 C=4a
面積=邊長×邊長 S=a×a
2 正方體 V:體積 a:棱長
表面積=棱長×棱長×6 S表=a×a×6
體積=棱長×棱長×棱長 V=a×a×a
3 長方形 C周長 S面積 a邊長
周長=(長+寬)×2 C=2(a+b)
面積=長×寬 S=ab
4 長方體 V:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高
表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2 S=2(ab+ah+bh)
體積=長×寬×高 V=abh
5 三角形 s面積 a底 h高
面積=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面積 ×2÷底三角形底=面積 ×2÷高
6 平行四邊形 s面積 a底 h高
面積=底×高 s=ah
7 梯形 s面積 a上底 b下底 h高
面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8 圓形 S面積 C周長 ∏ d=直徑 r=半徑
周長=直徑×∏=2×∏×半徑 C=∏d=2∏r
面積=半徑×半徑×∏
9 圓柱體 v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長
側面積=底面周長×高表面積=側面積+底面積×2
體積=底面積×高體積＝側面積÷2×半徑
10 圓錐體 v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑
體積=底面積×高÷3

總復習小學數(shù)學復習資料

第一章數(shù)和數(shù)的運算

一  概念

（一）整數(shù)

1 .整數(shù)的意義 

自然數(shù)和0都是整數(shù)。 

2 .自然數(shù) 

我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1，2，3……叫做自然數(shù)。 

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。 

3.計數(shù)單位  ：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數(shù)單位。 

每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。 

4. 數(shù)位 

計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。 

5.數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a 。 

如果數(shù)a能被數(shù)b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。

因為35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。 

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3 ，沒有最大的倍數(shù)。

個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 

個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 

一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一個數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一個數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。 

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質數(shù)（或素數(shù)），100以內的質數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 

一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如 4、6、8、9、12都是合數(shù)。

1不是質數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不同分類，可分為質數(shù)、合數(shù)和1。 

每個合數(shù)都可以寫成幾個質數(shù)相乘的形式。其中每個質數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質因數(shù)，例如15=3×5，3和5 叫做15的質因數(shù)。 

把一個合數(shù)用質因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù)。

例如把28分解質因數(shù)

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質數(shù)，成互質關系的兩個數(shù)，有下列幾種情況：

1和任何自然數(shù)互質。

相鄰的兩個自然數(shù)互質。

兩個不同的質數(shù)互質。

當合數(shù)不是質數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質數(shù)互質。

兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質，如果幾個數(shù)中任意兩個都互質，就說這幾個數(shù)兩兩互質。

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。 

如果兩個數(shù)是互質數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。 

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。 

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。

如果兩個數(shù)是互質數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。 

幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

（二）小數(shù)

1 .小數(shù)的意義 

把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾…… 可以用小數(shù)表示。 

一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾…… 

一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。 

在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。小數(shù)部分的最高分數(shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進率也是10。 

2.小數(shù)的分類 

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數(shù)。 

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……

無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：∏

循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如： 3.99 ……的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。 

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.111 …… 0.5656 …… 

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。 3.1222 …… 0.03333 ……

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點。如果循環(huán)節(jié)只有一個數(shù)字，就只在它的上面點一個點。例如： 3.777 …… 簡寫作  0.5302302 …… 簡寫作  。

（三）分數(shù)

1 .分數(shù)的意義 

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。 

在分數(shù)里，中間的橫線叫做分數(shù)線；分數(shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。 

把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分數(shù)單位。 

2. 分數(shù)的分類 

真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1。 

假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)，叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1。 

帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分數(shù)。 

3 .約分和通分 

把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù)，叫做約分。 

分子分母是互質數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。 

把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。 

（四）百分數(shù)

1 .表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù),也叫做百分率或百分比。百分數(shù)通常用"%"來表示。百分號是表示百分數(shù)的符號。 

二  方法

（一）數(shù)的讀法和寫法  

1. 整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個0都只讀一個零。  

2. 整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0。 

3. 小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點讀作“點”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。 

4. 小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。

5. 分數(shù)的讀法：讀分數(shù)時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。 

6. 分數(shù)的寫法：先寫分數(shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。 

7. 百分數(shù)的讀法：讀百分數(shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。  

8. 百分數(shù)的寫法：百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。 

（二）數(shù)的改寫 

一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。 

1. 準確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù)。例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成以億做單位 的數(shù) 12.543 億。 

2. 近似數(shù)：根據(jù)實際需要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 

3. 四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進1。例如：省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。 

4. 大小比較 

1. 比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。 

2. 比較小數(shù)的大小：先看它們的整數(shù)部分，，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大…… 

3. 比較分數(shù)的大小:分母相同的分數(shù)，分子大的分數(shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分數(shù)大。分數(shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數(shù)的大小。 

（三）數(shù)的互化 

1. 小數(shù)化成分數(shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。 

2. 分數(shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。 

3. 一個最簡分數(shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5 以外的質因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。 

4. 小數(shù)化成百分數(shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。 

5. 百分數(shù)化成小數(shù)：把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位。 

6. 分數(shù)化成百分數(shù)：通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分數(shù)。 

7. 百分數(shù)化成小數(shù)：先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成最簡分數(shù)。 

（四）數(shù)的整除 

1. 把一個合數(shù)分解質因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質數(shù)去除，一直除到商是質數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。 

2. 求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù)。 

3. 求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)（或其中的部分數(shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質（或兩兩互質）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 

4. 成為互質關系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質；相鄰的兩個自然數(shù)互質；  當合數(shù)不是質數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質數(shù)互質；兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質。 

（五）約分和通分 

約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數(shù)為止。 

通分的方法：先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分數(shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分數(shù)。

三  性質和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律 

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。 

（二）小數(shù)的性質 

小數(shù)的性質：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 

（三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化

1. 小數(shù)點向右移動一位，原來的數(shù)就擴大10倍；小數(shù)點向右移動兩位，原來的數(shù)就擴大100倍；小數(shù)點向右移動三位，原來的數(shù)就擴大1000倍…… 

2. 小數(shù)點向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點向左移動三位，原來的數(shù)就縮小1000倍…… 

3. 小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0"補足位。 

（四）分數(shù)的基本性質 

 分數(shù)的基本性質：分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分數(shù)的大小不變。 

（五）分數(shù)與除法的關系

1. 被除數(shù)÷除數(shù)=  被除數(shù)/除數(shù) 

2. 因為零不能作除數(shù)，所以分數(shù)的分母不能為零。 

3. 被除數(shù)相當于分子，除數(shù)相當于分母。 

四  運算的意義

（一）整數(shù)四則運算

1整數(shù)加法：

把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。 

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分數(shù)，和是總數(shù)。 

加數(shù)+加數(shù)=和   一個加數(shù)=和－另一個加數(shù) 

2整數(shù)減法：

已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。 

在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分數(shù)。 

加法和減法互為逆運算。 

3整數(shù)乘法：

求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。 

在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。 

 在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.   1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。 

一個因數(shù)× 一個因數(shù) =積      一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù) 

4  整數(shù)除法：

已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。 

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。 

乘法和除法互為逆運算。 

在除法里，0不能做除數(shù)。因為0和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個數(shù)除以0，均得不到一個確定的商。 

被除數(shù)÷除數(shù)=商  除數(shù)=被除數(shù)÷商  被除數(shù)=商×除數(shù) 

（二）小數(shù)四則運算

1. 小數(shù)加法：

小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。 

2. 小數(shù)減法：

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算. 

3. 小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算；一個數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。 

4. 小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。 

5. 乘方:

求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 =32 

（三）分數(shù)四則運算 

1. 分數(shù)加法：

分數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。 

2. 分數(shù)減法：

分數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。 

3. 分數(shù)乘法：

分數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。 

4. 乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。 

5. 分數(shù)除法：

分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。 

（四）運算定律 

1. 加法交換律：

兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a 。 

2. 加法結合律：

三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c) 。 

3. 乘法交換律：

兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即a×b=b×a。 

4. 乘法結合律：

三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c) 。

5. 乘法分配律：

兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 

6. 減法的性質：

從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c) 。

（五）運算法則 

1. 整數(shù)加法計算法則：

相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進一。 

2. 整數(shù)減法計算法則：

相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。 

3. 整數(shù)乘法計算法則：

先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。 

4. 整數(shù)除法計算法則：

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。 

5. 小數(shù)乘法法則：

先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點；如果位數(shù)不夠，就用“0”補足。   

6. 除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：

先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。 

7. 除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：

先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點也向右移動幾位（位數(shù)不夠的補“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進行計算。  

8. 同分母分數(shù)加減法計算方法:

同分母分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。 

9. 異分母分數(shù)加減法計算方法:

先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。 

10. 帶分數(shù)加減法的計算方法:

整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。 

11. 分數(shù)乘法的計算法則:

分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 

12. 分數(shù)除法的計算法則:

甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。 

（六）運算順序 

1. 小數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。 

2. 分數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。 

3. 沒有括號的混合運算:

同級運算從左往右依次運算；兩級運算先算乘、除法，后算加減法。 

4. 有括號的混合運算:

先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。 

5. 第一級運算：

加法和減法叫做第一級運算。 

6. 第二級運算：

乘法和除法叫做第二級運算。

五  應用

（一）整數(shù)和小數(shù)的應用

1 簡單應用題 

（1）簡單應用題：只含有一種基本數(shù)量關系，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡單應用題。 

（2）解題步驟： 

a 審題理解題意：了解應用題的內容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復述條件和問題，幫助理解題意。 

b選擇算法和列式計算：這是解答應用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運算的含義，分析數(shù)量關系，確定算法，進行解答并標明正確的單位名稱。 

C檢驗：就是根據(jù)應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯誤，馬上改正。

2 復合應用題 

（1）有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫做復合應用題。 

（2）含有三個已知條件的兩步計算的應用題。 

求比兩個數(shù)的和多（少）幾個數(shù)的應用題。 

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關系的應用題。 

（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。 

已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關系）與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)的和（或差）。 

已知兩數(shù)之和與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)相差多少（或倍數(shù)關系）。 

（4）解答連乘連除應用題。 

（5）解答三步計算的應用題。 

（6）解答小數(shù)計算的應用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數(shù)量關系、結構、和解題方式都與正式應用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。

d答案：根據(jù)計算的結果，先口答，逐步過渡到筆答。 

( 3 ) 解答加法應用題： 

a求總數(shù)的應用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。 

b求比一個數(shù)多幾的數(shù)應用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。 

(4 )  解答減法應用題： 

a求剩余的應用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。 

  -b求兩個數(shù)相差的多少的應用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。 

c求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。 

(5 ) 解答乘法應用題： 

a求相同加數(shù)和的應用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)，求總數(shù)。 

b求一個數(shù)的幾倍是多少的應用題：已知一個數(shù)是多少，另一個數(shù)是它的幾倍，求另一個數(shù)是多少。 

( 6) 解答除法應用題： 

a把一個數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數(shù)和把這個數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。 

b求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應用題：已知一個數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。 

C 求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。 

d已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應用題。 

（7）常見的數(shù)量關系： 

總價= 單價×數(shù)量 

路程= 速度×時間 

工作總量=工作時間×工效 

總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量  

3典型應用題 

具有獨特的結構特征的和特定的解題規(guī)律的復合應用題，通常叫做典型應用題。 

（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。 

解題關鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應的總份數(shù)。 

算術平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個數(shù)=算術平均數(shù)。 

加權平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。 

數(shù)量關系式（部分平均數(shù)×權數(shù)）的總和÷（權數(shù)的和）=加權平均數(shù)。 

  差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標準數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標準數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。 

數(shù)量關系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應得數(shù)    最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應給數(shù)      最大數(shù)與個數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應得數(shù)。 

例：一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。 

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用的時間為  ，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米，所用的時間是  ，汽車共行的時間為  +  =  , 汽車的平均速度為 2 ÷  =75 （千米）

（2）歸一問題：已知相互關聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。 

根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。 

根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。 

一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。” 

兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！?nbsp;

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結果的歸一問題。 

反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結果的歸一問題。 

解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標準，根據(jù)題目的要求算出結果。

數(shù)量關系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）  

 總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一） 

例一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計算，織布 6930 米，需要多少天？ 

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量）。 

特點：兩種相關聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。 

數(shù)量關系式：單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量 = 另一個單位數(shù)量        單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量= 另一個單位數(shù)量。 

例修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？ 

分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米） 

（4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應用題叫做和差問題。 

解題關鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和），然后再求另一個數(shù)。 

解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數(shù)   大數(shù)－差=小數(shù) 

（和－差）÷2=小數(shù)       和－小數(shù)= 大數(shù) 

例某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？ 

分析：從乙班調 46 人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉化成 2 個乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現(xiàn)在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在調出 46 人之前應該為 41+46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人） 

（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題，叫做和倍問題。 

解題關鍵：找準標準數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標準的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）與標準數(shù)的倍數(shù)關系，再去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。 

解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標準數(shù)   標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù) 

例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？ 

分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內，為了使總數(shù)與（ 5+1 ）倍對應，總車輛數(shù)應（ 115-7 ）輛 。 

列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛）， 18 × 5+7=97 （輛） 

（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題。 

解題規(guī)律：兩個數(shù)的差÷（倍數(shù)－1 ）= 標準數(shù)  標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)。 

例甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？ 

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標準數(shù)。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩下的長度， 29-17=12 （米）…剪去的長度。

（7）行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。 

解題關鍵及規(guī)律： 

同時同地相背而行：路程=速度和×時間。 

同時相向而行：相遇時間=速度和×時間 

同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程速度差。

同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×時間。

例 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米，乙每小時行 9 千米，甲幾小時追上乙？ 

分析：甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。 

已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 里包含著幾個（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時）

（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。 

船速：船在靜水中航行的速度。 

水速：水流動的速度。 

順水速度：船順流航行的速度。 

逆水速度：船逆流航行的速度。 

順速=船速＋水速 

逆速=船速－水速 

解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。解題時要以水流為線索。 

解題規(guī)律：船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2

流水速度=（順流速度逆流速度）÷2

路程=順流速度× 順流航行所需時間 

路程=逆流速度×逆流航行所需時間 

例一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？ 

分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時） 28 × 5=140 （千米）。 

（9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運算后所得的結果，求這個未知數(shù)的應用題，我們叫做還原問題。 

解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關系。 

解題規(guī)律：從最后結果出發(fā)，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數(shù)。 

根據(jù)原題的運算順序列出數(shù)量關系，然后采用逆運算的方法計算推導出原數(shù)。 

解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫括號。 

例某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調 3 人到三班，三班調 6 人到二班，二班調 6 人到一班，一班調 2 人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學生多少人？ 

分析：當四個班人數(shù)相等時，應為 168 ÷ 4 ，以四班為例，它調給三班 3 人，又從一班調入 2 人，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 

一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42 （人）三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。 

（10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關系的應用題，叫做植樹問題。 

解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。 

解題規(guī)律：沿線段植樹 

棵樹=段數(shù)+1    棵樹=總路程÷株距+1

株距=總路程÷（棵樹-1）      總路程=株距×（棵樹-1） 

沿周長植樹 

棵樹=總路程÷株距 

株距=總路程÷棵樹 

總路程=株距×棵樹 

例沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米。后來全部改裝，只埋了201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。 

分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）

（11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發(fā)展起來的。他的特點是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。 

解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數(shù)，進而再求得物品數(shù)。 

解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù) 

總差額的求法可以分為以下四種情況： 

第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足 

第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余 

第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足 

例參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？ 

分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支。列式為（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。 

（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。 

解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。 

例 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？ 

分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年） 

（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題 

解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。 

解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù) 

兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2

如果假設全是兔子，可以有下面的式子： 

雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2

兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù) 

例 雞兔同籠共 50 個頭， 170 條腿。問雞兔各有多少只？ 

兔子只數(shù) （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只） 

雞的只數(shù) 50-35=15 （只） 

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（二）分數(shù)和百分數(shù)的應用 

1  分數(shù)加減法應用題： 

分數(shù)加減法的應用題與整數(shù)加減法的應用題的結構、數(shù)量關系和解題方法基本相同，所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分數(shù)。 

2分數(shù)乘法應用題： 

是指已知一個數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應用題。 

特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應的實際數(shù)量。 

解題關鍵：準確判斷單位“1”的量。找準要求問題所對應的分率，然后根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義正確列式。 

3 分數(shù)除法應用題： 

求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。 

特征：已知一個數(shù)和另一個數(shù)，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾?！耙粋€數(shù)”是比較量，“另一個數(shù)”是標準量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關系。 

解題關鍵：從問題入手，搞清把誰看作標準的數(shù)也就是把誰看作了“單位一”，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數(shù)。 

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標準量，用甲除以乙。 

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關系式（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù)。

已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾 ) ,求這個數(shù)。 

特征：已知一個實際數(shù)量和它相對應的分率，求單位“1”的量。 

解題關鍵：準確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x根據(jù)分數(shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分數(shù)除法的意義列算式，但必須找準和分率相對應的已知實際 

數(shù)量。 

4  出勤率 

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗種子數(shù)×100%

小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量×100%

產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100%

職工的出勤率=實際出勤人數(shù)/應出勤人數(shù)×100%

5  工程問題： 

是分數(shù)應用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著密切的聯(lián)系。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數(shù)量之間相互關系的一種應用題。 

解題關鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運用公式。 

數(shù)量關系式： 

工作總量=工作效率×工作時間 

工作效率=工作總量÷工作時間 

工作時間=工作總量÷工作效率 

工作總量÷工作效率和=合作時間 

6  納稅 

納稅就是把根據(jù)國家各種稅法的有關規(guī)定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。 

繳納的稅款叫應納稅款。 

應納稅額與各種收入的（銷售額、營業(yè)額、應納稅所得額 ……）的比率叫做稅率。 

* 利息 

存入銀行的錢叫做本金。 

取款時銀行多支付的錢叫做利息。 

利息與本金的比值叫做利率。 

利息=本金×利率×時間 

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第二章度量衡

一長度

(一) 什么是長度

長度是一維空間的度量。 

(二) 長度常用單位

* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)

(三) 單位之間的換算 

* 1毫米＝1000微米  * 1厘米 ＝10 毫米  * 1分米 ＝10 厘米  * 1米 ＝1000 毫米  * 1千米＝1000 米 

二面積 

（一）什么是面積

面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。 

（二）常用的面積單位 

* 平方毫米  * 平方厘米  * 平方分米  * 平方米  * 平方千米 

（三）面積單位的換算 

* 1平方厘米＝100 平方毫米  * 1平方分米=100平方厘米  * 1平方米 ＝100 平方分米 

* 1公傾＝10000 平方米  * 1平方公里＝100 公頃 

三體積和容積

（一）什么是體積、容積

體積，就是物體所占空間的大小。 

容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。 

（二）常用單位 

1 體積單位  

* 立方米  * 立方分米  * 立方厘米

2 容積單位  * 升  * 毫升 

（三）單位換算 

1 體積單位 

* 1立方米=1000立方分米

* 1立方分米=1000立方厘米 

2 容積單位 

* 1升=1000毫升

 * 1升=1立方米

* 1毫升=1立方厘米 

四質量 

（一）什么是質量 

質量，就是表示表示物體有多重。 

（二）常用單位

* 噸   t * 千克 kg * 克 g

（三）常用換算 

* 一噸=1000千克 

* 1千克=1000克

五時間 

（一）什么是時間

是指有起點和終點的一段時間 

（二）常用單位 

世紀、 年 、 月、 日 、 時 、 分、秒 

（三）單位換算 

* 1世紀=100年 

* 1年=365天   平年 

* 一年=366天  閏年 

* 一、三、五、七、八、十、十二是大月  大月有31 天  

* 四、六、九、十一是小月小月   小月有30天   

* 平年2月有28天  閏年2月有29天 

* 1天= 24小時 

* 1小時=60分 

* 一分=60秒 

六貨幣 

（一）什么是貨幣

貨幣是充當一切商品的等價物的特殊商品。貨幣是價值的一般代表，可以購買任何別的商品。 

（二）常用單位

* 元  * 角  * 分 

（三）單位換算 

* 1元=10角 

* 1角=10分 

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第三章代數(shù)初步知識

一、用字母表示數(shù)

1  用字母表示數(shù)的意義和作用 

* 用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果。 

2用字母表示常見的數(shù)量關系、運算定律和性質、幾何形體的計算公式

（1）常見的數(shù)量關系 

路程用s表示，速度v用表示，時間用t表示，三者之間的關系： 

s=vt    

v=s/t

t=s/v

總價用a表示，單價用b表示，數(shù)量用c表示，三者之間的關系:

a=bc

b=a/c

c=a/b

（2）運算定律和性質 

加法交換律：a+b=b+a

加法結合律：（a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結合律：（ab)c=a(bc) 

乘法分配律：（a+b)c=ac+bc

減法的性質：a-(b+c) =a-b-c

（3）用字母表示幾何形體的公式 

長方形的長用a表示，寬用b表示，周長用c表示，面積用s表示。 

c=2(a+b)

s=ab

 正方形的邊長a用表示，周長用c表示，面積用s表示。 

c=4a

s=a2

平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。

s=ah 

三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。 

s=ah/2

梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示。 

s=(a+b)h/2

s=mh

圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示。 

c=∏d=2∏r

s=∏ r2

扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示。 

s=∏ nr2/360

長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表示。 

v=sh

s=2(ab+ah+bh)

v=abh

正方體的棱長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示，體積用v表示.

s=6a2

v=a3

圓柱的高用h表示，底面周長用c表示，底面積用s表示，體積用v表示.

s側=ch

s表=s側+2s底 

v=sh

圓錐的高用h表示，底面積用s表示， 體積用v表示.

v=sh/3

3 用字母表示數(shù)的寫法 

數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“.”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。 

當“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。 

在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。 

用含有字母的式子表示問題的答案時，除數(shù)一般寫成分母，如果式子中有加號或者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。 

4將數(shù)值代入式子求值 

* 把具體的數(shù)代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。 

* 同一個式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。 

二、簡易方程 

（一）方程和方程的解 

1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。  

 注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。 

方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是一個等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運算，并且只有當未知數(shù)為特定的數(shù)值時，方程才成立。 

2 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。 

三、解方程 

解方程，求方程的解的過程叫做解方程。 

四、列方程解應用題 

1 列方程解應用題的意義 

* 用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。 

2 列方程解答應用題的步驟 

* 弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示； 

* 找出題中的數(shù)量之間的相等關系； 

* 列方程，解方程； 

* 檢查或驗算，寫出答案。 

3列方程解應用題的方法 

* 綜合法：先把應用題中已知數(shù)（量）和所設未知數(shù)（量）列成有關的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方向是從已知到未知。 

* 分析法：先找出等量關系，再根據(jù)具體建立等量關系的需要，把應用題中已知數(shù)（量）和所設的未知數(shù)（量）列成有關的代數(shù)式進而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知。 

4列方程解應用題的范圍 

小學范圍內常用方程解的應用題： 

a一般應用題； 

b和倍、差倍問題； 

c幾何形體的周長、面積、體積計算；

d 分數(shù)、百分數(shù)應用題； 

e 比和比例應用題。 

五  比和比例 

1比的意義和性質 

（1）比的意義 

兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。 

“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。 

同除法比較，比的前項相當于被除數(shù)，后項相當于除數(shù)，比值相當于商。 

比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時也可能是整數(shù)。 

比的后項不能是零。 

根據(jù)分數(shù)與除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數(shù)值。 

（2）比的性質 

比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質。 

（3）  求比值和化簡比 

求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分數(shù)。 

根據(jù)比的基本性質可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的結果必須是一個最簡比，即前、后項是互質的數(shù)。 

（4）比例尺 

圖上距離：實際距離=比例尺 

要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。 

線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。 

（5）按比例分配 

在農業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。 

方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。 

2 比例的意義和性質 

（1）比例的意義 

表示兩個比相等的式子叫做比例。 

組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。 

兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。 

（2）比例的性質 

在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。這叫做比例的基本性質。 

（3）解比例 

根據(jù)比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。 

3 正比例和反比例 

（1）成正比例的量 

兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。 

用字母表示y/x=k(一定） 

（2）成反比例的量 

兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。 

用字母表示x×y=k(一定)

第四章幾何的初步知識

一線和角

（1）線 

* 直線 

直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數(shù)條，過兩點只能畫一條直線。 

*  射線 

射線只有一個端點；長度無限。 

* 線段 

線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。 

* 平行線 

在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。 

兩條平行線之間的垂線長度都相等。 

* 垂線  

兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。 

從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。 

（2）角 

（1）從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。 

（2）角的分類 

銳角：小于90°的角叫做銳角。 

直角：等于90°的角叫做直角。 

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。 

平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。 

  周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合。周角是360°。 

二平面圖形 

1長方形 

（1）特征 

對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。 

（2）計算公式 

c=2(a+b)

s=ab

2正方形

（1）特征： 

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。

（2）計算公式 

c=4a

s=a2

3三角形

（1）特征 

由三條線段圍成的圖形。內角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。 

（2）計算公式 

s=ah/2

（3）分類 

按角分 

銳角三角形：三個角都是銳角。 

直角三角形：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。 

鈍角三角形：有一個角是鈍角。 

按邊分 

不等邊三角形：三條邊長度不相等。 

等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。 

等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內角都是60度；有三條對稱軸。 

4平行四邊形 

（1）  特征 

兩組對邊分別平行的四邊形。 

相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。 

（2）計算公式 

s=ah

5 梯形 

（1）特征 

只有一組對邊平行的四邊形。 

中位線等于上下底和的一半。 

等腰梯形有一條對稱軸。 

（2）公式 

s=(a+b)h/2=mh

6 圓 

 （1）圓的認識 

平面上的一種曲線圖形。 

圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。 

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。 

在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。 

通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。 

同一個圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。 

同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。 

圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓有無數(shù)條對稱軸。 

（2）圓的畫法 

把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）； 

把有針尖的一只腳固定在一點（即圓心）上； 

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉一周，就畫出一個圓。 

（3）圓的周長 

圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。 

把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。 

（4）圓的面積 

圓所占平面的大小叫做圓的面積。 

（5）計算公式 

d=2r

r=d/2

c=∏d

c=2∏r 

s=∏r2

7扇形 

 （1）  扇形的認識 

一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。 

圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。 

  頂點在圓心的角叫做圓心角。 

在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關。 

扇形有一條對稱軸。 

(2)  計算公式 

s=n∏r2/360

8環(huán)形 

  (1) 特征 

由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數(shù)條對稱軸。 

(2)  計算公式 

s=∏(R2-r2） 

9軸對稱圖形 

  (1)  特征 

如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

正方形有4條對稱軸， 長方形有2條對稱軸。

等腰三角形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸。

等腰梯形有一條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

菱形有4條對稱軸，扇形有一條對稱軸。

三立體圖形

（一）長方體 

1 特征 

六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。 

相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。 

有8個頂點。 

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。

兩個面相交的邊叫做棱。 

三條棱相交的點叫做頂點。 

把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。 

長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。 

2 計算公式 

s=2(ab+ah+bh)

V=sh

V=abh 

（二）正方體

 1 特征 

六個面都是正方形 

六個面的面積相等 

12條棱，棱長都相等 

有8個頂點 

正方體可以看作特殊的長方體 

2 計算公式 

S表=6a2

v=a3

（三）圓柱 

 1圓柱的認識 

圓柱的上下兩個面叫做底面。 

圓柱有一個曲面叫做側面。 

圓柱兩個底面之間的距離叫做高。 

進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結果多一些，因此，要保留數(shù)的時候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進1。這種取近似值的方法叫做進一法。

2計算公式 

s側=ch

s表=s側+s底×2

v=sh/3

（四）圓錐 

1 圓錐的認識 

圓錐的底面是個圓，圓錐的側面是個曲面。 

從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。 

測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。 

把圓錐的側面展開得到一個扇形。 2計算公式 

v= sh/3

（五）球 

1 認識 

球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。 

球和圓類似，也有一個球心，用O表示。 

從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。 

通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長度等于半徑的2倍，即d=2r。 

2 計算公式  

-              d=2r

-               

-第五章簡單的統(tǒng)計

一  統(tǒng)計表 

（一）意義 

  * 把統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫在一定格式的表格內，用來反映情況、說明問題，這樣的表格就叫做統(tǒng)計表。 

（二）組成部分

  * 一般分為表格外和表格內兩部分。表格外部分包括標的名稱，單位說明和制表日期；表格內部包括表頭、橫標目、縱標目和數(shù)據(jù)四個方面。 

（三）種類 

  * 單式統(tǒng)計表：只含有一個項目的統(tǒng)計表。 

* 復式統(tǒng)計表：含有兩個或兩個以上統(tǒng)計項目的統(tǒng)計表。 

* 百分數(shù)統(tǒng)計表：不僅表明各統(tǒng)計項目的具體數(shù)量，而且表明比較量相當于標準量的百分比的統(tǒng)計表。 

（四）制作步驟 

1搜集數(shù)據(jù) 

2整理數(shù)據(jù)： 

要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計的內容，對數(shù)據(jù)進行分類。 

3設計草表： 

要根據(jù)統(tǒng)計的目的和內容設計分欄格內容、分欄格畫法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長度。 

4 正式制表： 

把核對過的數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表要求，用簡單、明確的語言寫上統(tǒng)計表的名稱和制表日期。 

二  統(tǒng)計圖

（一）意義 

  * 用點線面積等來表示相關的量之間的數(shù)量關系的圖形叫做統(tǒng)計圖。 

（二）分類 

  1 條形統(tǒng)計圖 

用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條，然后把這些直線按照一定的順序排列起來。 

優(yōu)點：很容易看出各種數(shù)量的多少。 

注意：畫條形統(tǒng)計圖時，直條的寬窄必須相同。 

取一個單位長度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定； 

復式條形統(tǒng)計圖中表示不同項目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開，并在制圖日期下面注明圖例。

制作條形統(tǒng)計圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。

（2）在水平射線上，適當分配條形的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量。 

2 折線統(tǒng)計圖 

用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來。 

優(yōu)點：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。 

注意：折線統(tǒng)計圖的橫軸表示不同的年份、月份等時間時，不同時間之間的距離要根據(jù)年份或月份的間隔來確定。 

制作折線統(tǒng)計圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。

（2）在水平射線上，適當分配折線的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小描出各點，再用線段順次連接起來，并注明數(shù)量。

3扇形統(tǒng)計圖 

用整個圓的面積表示總數(shù)，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分數(shù)。 

優(yōu)點：很清楚地表示出各部分同總數(shù)之間的關系。

制扇形統(tǒng)計圖的一般步驟：

（1）先算出各部分數(shù)量占總量的百分之幾。

（2）再算出表示各部分數(shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。

（3）取適當?shù)陌霃疆嬕粋€圓，并按照上面算出的圓心角的度數(shù)，在圓里畫出各個扇形。

（4）在每個扇形中標明所表示的各部分數(shù)量名稱和所占的百分數(shù)，并用不同顏色或條紋把各個扇形區(qū)別開。