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幾何五大模型 一、五大模型簡介 （1）等積變換模型 1、等底等高的兩個三角形面積相等； 2、兩個三角形高相等，面積之比等于底之比，如圖①所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、兩個三角形底相等，面積在之比等于高之比，如圖②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一組平行線之間的等積變形，如圖③所示，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]， 則可知直線AB平行于CD。 
例、如圖，三角形ABC的面積是24，D、E、F分別是BC、AC、AD的中點，求三角形DEF的面積。 
（2）鳥頭（共角）定理模型 1、兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面積之比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比。 如圖下圖三角形ABC中，D、E分別是AB、AC上或AB、AC延長線上的點 
則有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE） 我們現(xiàn)在以互補為例來簡單證明一下共角定理！ 
如圖連接BE，根據(jù)等積變化模型知，S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如圖在ΔABC中，D在BA的延長線上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面積為12平方厘米，求ΔABC的面積。 
（3）蝴蝶模型 1、梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”) 
例、如圖，梯形ABCD，AB與CD平行，對角線AC、BD交于點O，已知△AOB、△BOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面積。 
2、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)： 
例、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，如果三角形ABD的面積等于三角形BCD面積的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的長度是DO長度的幾倍。 
蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑，通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。 （4）相似模型 1、相似三角形：形狀相同,大小不相等的兩個三角形相似； 2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相 交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 3、相似三角形性質(zhì)： ①相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)邊）的比等于相似比； ②相似三角形周長的比等于相似比； ③相似三角形面積的比等于相似比的平方。 相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對平行線！ 
例、如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的長度是多少？ 
（5）燕尾模型
由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴，所以在數(shù)學上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性質(zhì)： S[sub]△ABG[/sub]：S[sub]△ACG[/sub]=S[sub]△BGE[/sub]：S[sub]△CGE[/sub]=BE：CE S[sub]△BGA[/sub]：S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△GAF[/sub]：S[sub]△GCF[/sub]=AF：CF S[sub]△AGC[/sub]：S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△AGD[/sub]：S[sub]△BGD[/sub]=AD：BD 例、如圖，E、D分別在AC、BC上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD與BE交于點F，四邊形DFEC的面積等于22平方厘米，求三角形ABC的面積。
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