草根研究|劉徽割圓術(shù)中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想初探

我心飛揚(yáng)695 2015-12-10

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最近在教圓面積和圓周長(zhǎng)時(shí)看了些資料，對(duì)于中國古代的割圓術(shù)頗感興趣，做了些研究，在此談一些自己的看法，但畢竟自己學(xué)識(shí)不高，若有說地不當(dāng)之處望各位讀者、專家指正

所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法

阿基米德的雙側(cè)逼近法

古希臘科學(xué)家阿基米德在《論球和圓柱》一書中利用窮竭法建立起這樣的命題：只要邊數(shù)足夠多，圓外切正多邊形的面積與內(nèi)接正多邊形的面積之差可以任意小

舉例說明

① 如果是正六邊形？

② 如果是正十二邊形？

我們發(fā)現(xiàn)隨著邊數(shù)的增加，確實(shí)圓外切正多邊形的面積與圓內(nèi)接正多邊形面積的差值在減小，如果邊數(shù)繼續(xù)增加，那么這樣的差值就趨近于0。

在此運(yùn)算過程中體現(xiàn)的是：

深邃的極限思想與高明的逼近方法

注：用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果。如果要問：“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科”。

劉徽的割圓術(shù)

割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣

（劉徽注《九章算術(shù)》）

劉徽將內(nèi)接正多邊形的面積，稱之為“冪”，同時(shí)提出了“差冪”的概念?！安顑纭?是后一次與前一次割圓的差值，可以用圖中陰影部分三角形的面積來表示。

同時(shí)，它與兩個(gè)小紅三角形的面積和相等。

劉徽指出，在用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的過程中，圓半徑在正多邊形與圓之間有一段余徑。以余徑乘正多邊形的邊長(zhǎng)，即2倍的“差冪”，加到這個(gè)正多邊形上，其面積則大于圓面積。這是圓面積的一個(gè)上界序列。

在此劉徽運(yùn)用的是出入相補(bǔ)原理：

出入相補(bǔ)是古中國數(shù)學(xué)中一條用于推證幾何圖形的面積或體積的基本原理。

其內(nèi)容有四：

一、一個(gè)幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積或體積維持不變=所有小圖形面積或體積之和。

二、一個(gè)幾何圖形，可以任意旋轉(zhuǎn)，倒置、移動(dòng)、復(fù)制，面積或體積不變。

三、多個(gè)幾何圖形，可以任意拼合，總面積或總體積不變。

四、幾何圖形與其復(fù)制圖形拼合，總面積或總體加倍。

注：“出入相補(bǔ)”最早也是劉徽提出的

我們把外圍的四邊形稱之為“破缺外切正多邊形”，圓的面積應(yīng)該在內(nèi)接正多邊形面積與破缺外切正多邊形之間。

劉徽的割圓術(shù)比阿基米德的雙側(cè)逼近法牛在哪里？

更精確

以正六邊形為例

更好算

根據(jù)劉徽的割圓術(shù)，我們知道圓面積是在以下的區(qū)間內(nèi)

相比阿基米德的雙側(cè)逼近法只需計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形的面積即可，不用再計(jì)算圓外切正多邊形，工作量減少一半

按照這樣的思路，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和 3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值。這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確的數(shù)據(jù)。劉徽對(duì)自己創(chuàng)造的這個(gè)“割圓術(shù)”新方法非常自信，把它推廣到有關(guān)圓形計(jì)算的各個(gè)方面，從而使?jié)h代以來的數(shù)學(xué)發(fā)展大大向前推進(jìn)了一步。以后到了南北朝時(shí)期，祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力，終于使圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)以后的第七位。在西方，這個(gè)成績(jī)是由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)于1593年取得的,比祖沖之要晚了一千一百多年。

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來自：我心飛揚(yáng)695 > 《教育學(xué)習(xí)》

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