圖1. 光滑曲面及其離散逼近。

陳省身先生曾經(jīng)說過，基本的幾何規(guī)律具有很強(qiáng)的普適性，它們在光滑流形和離散流形上都成立，例如高斯-博內(nèi)定理，流形光滑性條件是否本質(zhì)上必要，這一點(diǎn)值得商榷。

數(shù)十年后，依隨三維掃描技術(shù)的蓬勃發(fā)展，離散幾何理論有了巨大的突破。幾何逼近論日益成熟，使得我們可以用連續(xù)的高斯-博內(nèi)定理來證明離散的定理，反之亦然。這里，我們介紹法叢理論，它將連續(xù)和離散的曲面幾何有機(jī)地統(tǒng)一起來，在同一個(gè)理論框架下討論曲率測度，從而給出曲面陳類的離散幾何證明。

通過以前的討論【黎曼幾何的發(fā)軔-淺談高斯絕妙定理】，我們知道曲面切叢的陳類可以表示為二階微分式，或者等價(jià)地，陳類在曲面上的積分給出歐拉示性數(shù)

，

這就是著名的高斯-博內(nèi)定理。歷史上，陳省身先生首先給出了內(nèi)蘊(yùn)證明，證明依賴于活動(dòng)標(biāo)架法和外微分工具。一個(gè)自然的問題在于，我們能否找到更為初等的方法來證明高斯-博內(nèi)定理。這篇文章首先給出一個(gè)簡單的離散曲面上高斯-博內(nèi)定理證明，然后證明任何光滑曲面都可以由離散曲面來逼近，這種逼近保證曲率測度收斂，因而我們可以從離散高斯-博內(nèi)定理推出光滑曲面的高斯-博內(nèi)定理。

圖2.三維掃描得到的曲面

近些年來，三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學(xué)科。數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物。在計(jì)算機(jī)上，所有的幾何數(shù)據(jù)都由離散的三角剖分來表示。如圖1所示。將經(jīng)典微分幾何的定理推廣到離散曲面情形一直是這些年數(shù)字幾何發(fā)展的主旋律。這里我們考察最為根本的高斯-博內(nèi)定理。

離散曲面

一個(gè)自然的問題是如何用離散的曲面去有效地逼近連續(xù)曲面。這里，離散曲面的建構(gòu)分兩步，給定一張光滑曲面，嵌在空間中，第一步是在光滑曲面上采樣，得到稠密點(diǎn)云；第二步是將點(diǎn)云三角剖分，從而得到分片線性多面體網(wǎng)格，記為。

離散曲率 應(yīng)用離散高斯映射，或者平行移動(dòng)，我們可以將離散曲面上的高斯曲率定義為角欠。給定一個(gè)內(nèi)頂點(diǎn)，考察和相鄰的三角形內(nèi)角之和，其高斯曲率是周角和內(nèi)角和之差；對于邊界頂點(diǎn)，其高斯曲率是平角和內(nèi)角和之差；

，

圖3. 離散曲率。

類似的，每條邊離散平均曲率定義為邊長和其上二面角之積：

。

離散高斯-博納定理 離散曲面的高斯-博內(nèi)定理和連續(xù)情形一致，總曲率等于歐拉示性數(shù)和之積：

。

其證明非常簡單：假設(shè)M封閉，每個(gè)面都是歐式三角形，內(nèi)角和為，同時(shí)每條邊與兩個(gè)面相鄰，每個(gè)面有三條邊，因此 ，

，

這里是三角形里，頂點(diǎn)處的內(nèi)角。展開上式，我們得到

因此，總曲率為。如果曲面有邊界，證明非常類似。

和連續(xù)情形高斯-博內(nèi)定理的證明相比，離散情形的證明極其地初等。那么，我們能否用離散的高斯-博內(nèi)來證明連續(xù)情形呢？如果，我們能夠用離散曲面逼近光滑曲面，并且保證逼近過程中曲率測度收斂，那么我們就能夠達(dá)到這一點(diǎn)。在過去的二十年間，尋找曲率測度收斂的逼近序列一直是數(shù)字幾何領(lǐng)域的中心議題之一。下面，我們用法叢理論來給出構(gòu)造性證明。

幾何逼近問題

假設(shè)給定一張光滑曲面，嵌在空間中，我們在光滑曲面上采樣，得到稠密點(diǎn)云；然后將點(diǎn)云三角剖分，從而離散曲面。

最近點(diǎn)映射 對于離散曲面上的任意一點(diǎn)，我們可以找到光滑曲面上的最近點(diǎn)，這樣，我們得到所謂最近點(diǎn)映射，記為，

這里是空間中的歐式距離。

給定光滑曲面，我們構(gòu)造一系列離散曲面。令為中最大三角形邊長，并且，相應(yīng)的最近點(diǎn)映射記為 。我們可以從不同的方面考察光滑曲面和離散曲面間的距離。最為常見的是豪斯道夫距離（Hausdorff Distance）:

。

另外是離散曲面上每點(diǎn)和其最近點(diǎn)的法向量之間的距離，被稱為法距離（Normal Distance）,

。

同時(shí)，我們可以考察曲率測度的相似程度。令是光滑曲面上的區(qū)域，是離散曲面上相應(yīng)的區(qū)域,。面積測度距離為：

，

這里是三角形面片。高斯曲率測度距離為:

，

平均曲率測度距離為:

。

那么，自然地問題就是什么樣的離散曲面序列能夠保證豪斯道夫收斂性

和曲率測度收斂性，

。

另外豪斯道夫收斂性能否保證曲率測度收斂性。不幸的是，豪斯道夫收斂無法保證曲率測度的收斂。

許瓦茨的燈籠（Schwartz Lantern）

早在1880年，數(shù)學(xué)家 Hermann Schwartz 構(gòu)造了一個(gè)著名的反例，后來被世人成為 許瓦茨的燈籠，如下圖所示。

圖4.許瓦茨的燈籠。

給定一個(gè)光滑圓柱面，底圓為單位圓，高為一。我們在圓柱面上均勻采樣，并連接采樣點(diǎn)，得到離散的曲面，作為燈籠。采樣和三角剖分的模式如下圖所示，假設(shè)在第步，我們得到行和列采樣點(diǎn)。我們詳細(xì)計(jì)算燈籠的面積。

燈籠的總面積等于

當(dāng)時(shí)，燈籠的總面積趨向于

。

如果，則燈籠和光滑圓柱面的豪斯道夫距離收斂到0，并且燈籠的面積收斂到光滑圓柱面的面積。否則，豪斯道夫距離收斂，離散曲面的面積并不收斂到光滑曲面的面積。那么，如何才能保證離散曲面的面積收斂到光滑曲面的面積呢？更一般的，如何才能保證離散曲率測度收斂到光滑曲率測度呢？

工程師的觀察

在過去的二十年間，在機(jī)械制造領(lǐng)域，數(shù)字媒體領(lǐng)域，醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域，無數(shù)的工程師和科技人員都曾遇到了幾何逼近問題。經(jīng)過大量的實(shí)踐，人們逐漸認(rèn)識(shí)到離散曲面豪斯道夫距離收斂的條件無法保證曲率收斂。如果，光滑曲面上的采樣點(diǎn)愈來愈稠密，但是三角剖分具有愈來愈狹長的三角形，則離散曲面的曲率測度并不收斂。如果我們保證所有三角形的內(nèi)角下有界，則稠密采樣蘊(yùn)含面積收斂，曲率收斂。這意味著離散曲面三角形最長邊長趨于0并不充分，但是，如果離散曲面三角形外接圓的最長半徑也趨于0，則離散曲面的曲率收斂。這一點(diǎn)，迅速在工業(yè)界和學(xué)術(shù)界達(dá)成共識(shí)，并且大量應(yīng)用于各種商用軟件。

但是，如何發(fā)展出一套數(shù)學(xué)方法，將這一觀察嚴(yán)密化，卻依然充滿挑戰(zhàn)性。這里，人們面臨著抉擇：一方面是被事實(shí)無數(shù)次驗(yàn)證過的原理，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域，無時(shí)不刻不在發(fā)揮著作用；另一方面，這一方法缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明，人們對它的信賴根植于日積月累的經(jīng)驗(yàn)，如果建立其理論基礎(chǔ)需要艱苦的創(chuàng)造。那么，是否真的有必要來勞心費(fèi)力地證明這一“不證自明”的理論呢？

東西方思想體系的差異正是在這里！中國數(shù)千年的歷史產(chǎn)生了璀璨的技術(shù)文明，無數(shù)精巧的技術(shù)方法層出不窮，但是卻沒有發(fā)展出系統(tǒng)的理論，從而許多技術(shù)最終失傳，或毀于戰(zhàn)火，或湮沒在歷史長河之中。如果理論有所傳承，技術(shù)失傳后還會(huì)再被發(fā)明出來；如果沒有理論支撐，技術(shù)失傳后就永遠(yuǎn)地失去了。古希臘的理論傳統(tǒng)，被阿拉伯人保存，文藝復(fù)興之后又傳回歐洲，直至今日，終于造就今天科學(xué)昌明的局面。

這一次，數(shù)學(xué)家們自然也沒有滿足于經(jīng)驗(yàn)性的規(guī)律，新穎嚴(yán)格的理論很快就被建立起來。

離散法叢理論

為幾何逼近論建立的各種數(shù)學(xué)理論中，相對簡潔并具有一般性的是離散法叢理論（Normal Cycle Theory）。給定一張光滑曲面，其法叢是一張光滑曲面，嵌入在中，

，

這里是在點(diǎn)的法向量。令是光滑曲面上的波萊爾集合，我們用來表示法叢在上的限制。

在背景空間中，有三個(gè)全局定義的2階微分形式，我們稱之為曲率微分形式，它們在理論中起到舉足輕重的作用。假設(shè)背景空間的坐標(biāo)是，則面積微分式：

，

高斯曲率微分式：

，

平均曲率微分式：

奇妙的是，曲率微分在法叢上的積分等于曲率測度，

，

，

。

我們知道高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)的，通過法叢和曲率微分形式，我們將其轉(zhuǎn)換為外蘊(yùn)。

然后，我們需要定義離散曲面的離散法叢。構(gòu)造方法也是非常直觀。假設(shè)是一個(gè)四面體，其上任意一點(diǎn)，過p的平面被稱為支撐平面，如果整個(gè)四面體在的一側(cè)。點(diǎn)p處所有支撐平面的法向量集合被稱為點(diǎn)的法錐，記為

，

那么，四面體的離散法叢定義為

。

我們可以將四面體替換為中任意的凸集合，例如三角形，線段，甚至離散點(diǎn)。

圖5.包含-去除公式

給定一個(gè)封閉離散曲面（多面體），我們將的內(nèi)部三角剖分，得到四面體網(wǎng)格，其四面體集合記為。我們利用如下的包含-去除法則來定義離散曲面的離散法叢，：

，

圖5是包含-去除公式的示意圖。

我們令為離散曲面上的任意波萊爾集合，和光滑情況相似，則曲率微分形式在離散法叢上的積分等于離散曲率測度，

，

，

。

為了證明光滑的曲率測度和離散的曲率測度相近，我們需要證明對一切，其最近點(diǎn)映射的像為，離散法叢和光滑法叢在中接近。換言之，如果我們能夠用離散法叢來逼近光滑法叢，則離散曲率測度必然收斂到光滑曲率測度。

假設(shè)我們在光滑曲面上稠密采樣，然后三角剖分得到離散曲面。利用初等微分幾何，我們可以證明如果離散曲面的三角形邊長為，最小三角形內(nèi)角下有界，或等價(jià)地，所有三角形外接圓半徑小于，這里k是一個(gè)不依賴于三角剖分的常數(shù)，則如下斷言成立：

1. 對于離散曲面上的一切點(diǎn)，，

2. 對于離散曲面上的一切點(diǎn)，

3. 對于離散曲面上的一切區(qū)域，離散法叢和光滑法叢在空間上所圍成的柱體體積為，這里常數(shù)和的面積和周長有關(guān)。

   
   

由曲率測度-法叢積分公式，我們得到：

進(jìn)一步估計(jì)，我們得到高斯曲率測度間的距離為

因?yàn)?/span>有界，體積為，因此離散曲率測度和連續(xù)曲率測度之差為。同理可證，離散曲面面積和連續(xù)曲面面積之差為。

從而離散曲率測度收斂到連續(xù)曲率測度，面積收斂精度為，高斯曲率和平均曲率收斂精度為。

計(jì)算方法

圖6. 基于黎曼映照和Delaunay加細(xì)算法的Remeshing方法，這種方法得到的離散曲面保證曲率測度收斂。

在數(shù)字幾何中，如何三角剖分一張給定的光滑曲面使得逼近精度足夠高，一直是中心問題之一。如上圖所示，左幀的三角剖分有很多狹長的三角形，在曲面上用有限元方法解橢圓形偏微分方程，數(shù)值解可能不收斂到光滑解，同時(shí)數(shù)值系統(tǒng)的穩(wěn)定性較差。右?guī)娜瞧史仲|(zhì)量很高，足以保證數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性。計(jì)算方法是以離散法叢理論為指導(dǎo)。我們知道，為了保證曲率收斂，我們需要兩個(gè)條件，第一個(gè)是三角形的變成足夠小，第二個(gè)是三角形的內(nèi)角下有界。我們首先解決平面情形，然后推廣到曲面情形。

圖7.Delaunay三角剖分

給定平面點(diǎn)集，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角剖分不唯一。其中有一種剖分最為奇特，被稱為Delaunay三角剖分。如上圖所示，每一個(gè)三角形的外接圓內(nèi)不包含第四個(gè)點(diǎn)。可以證明，Delauay三角剖分最大化最小內(nèi)角。令為平面上的凸區(qū)域，我們沿著邊界采樣，使得任意兩個(gè)采樣點(diǎn)之間的距離為。計(jì)算Delaunay三角剖分，如果有一個(gè)三角形其外接圓半徑大于，則將其外心加入到采樣點(diǎn)集合中，重新計(jì)算Delaunay三角剖分。重復(fù)如上步驟，直至所有三角形其外接圓半徑都不大于時(shí)停止。可以證明，在此過程中，最短邊長一直不小于，算法停止后，所有三角形其外接圓半徑都不大于，所有三角形邊長不大于2，因此最小角大于30度。這一類算法被統(tǒng)稱為Delaunay細(xì)化算法，它滿足了曲率收斂的兩個(gè)條件。

給定單聯(lián)通曲面，我們首先用保角變換將其映到平面的單位圓盤上，然后在其平面像上用Delaunay細(xì)化算法得到三角剖分，由保角變換將平面三角剖分拉回到曲面上。因?yàn)橛成浔３纸嵌炔蛔?，同時(shí)面積變換有界，曲面上的三角剖分依然滿足兩個(gè)條件：邊長足夠小，內(nèi)角有界，因此曲率收斂性得以保障。

圖8.曲面單值化定理。

對于拓?fù)鋸?fù)雜的曲面，我們可以保角地把它們映到三種空間中的一種，球面，平面或者雙曲圓盤，如圖8所示。我們可以在這三種標(biāo)準(zhǔn)空中施行Delaunay細(xì)化算法得到三角剖分，再拉回到曲面上，因?yàn)橛成浔＝?，而Delaunay三角剖分最大化最小角，如果三角剖分足夠精細(xì)，則拉回剖分依然是Delaunay三角剖分。由此，我們證明了存在光滑曲面的離散化方法，保證離散曲率測度收斂到連續(xù)曲率測度。從而，我們從離散高斯-博內(nèi)定理推出了連續(xù)高斯-博內(nèi)定理，實(shí)現(xiàn)了陳省身先生的預(yù)言！

討論

這里，我們只對二維曲面進(jìn)行了討論。高斯-博內(nèi)定理和法叢理論都可以推廣到高維空間，因此原則上，這篇文章的方法和結(jié)論在高維空間也是成立的。著重考慮之處在于，Delaunay細(xì)化算法在高維空間中能否保證外接球半徑一致收斂。

陳省身先生關(guān)于幾何基本規(guī)律和光滑性無關(guān)的真知灼見為數(shù)字幾何的發(fā)展指引了方向。目前，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛躍發(fā)展，對離散幾何理論提出了空前的要求。許多幾何學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家正在聯(lián)手，試圖將基本的幾何定理推廣到離散流形上面。后面，我們會(huì)仔細(xì)介紹離散曲面Ricci曲率流和離散曲面單值化定理。

【1】Huibin Li， Wei Zeng, Jean-Marie Morvan, Limin Chen.Surface Meshing with Curvature Convergence. IEEE Transaction on Visualization and Computer Graphics, 20(6):919-934 (2014).

來源：科學(xué)網(wǎng)顧險(xiǎn)峰博客