第7講   函數(shù)模型及其應(yīng)用

一．【課標(biāo)要求】

1．利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義；

2．收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。

二．【命題走向】

函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，高考對(duì)應(yīng)用題的考察即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢(shì)。高考中重視對(duì)環(huán)境保護(hù)及數(shù)學(xué)課外的的綜合性應(yīng)用題等的考察。出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置問(wèn)題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考察，加大函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開(kāi)放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動(dòng)和靈活。

三．【要點(diǎn)精講】

1．解決實(shí)際問(wèn)題的解題過(guò)程

（1）對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括：研究實(shí)際問(wèn)題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并用x、y分別表示問(wèn)題中的變量；

（2）建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；

（3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問(wèn)題的解.

這些步驟用框圖表示：

2．解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)著重培養(yǎng)下面一些能力：

（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過(guò)分析、畫(huà)圖、列表、歸類(lèi)等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；

（2）建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問(wèn)題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過(guò)程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；

（3）求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（?。┲担?jì)算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用

四．【典例解析】

題型1：正比例、反比例和一次函數(shù)型

例（1）(2009山東卷理)（本小題滿分12分）

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065.

（1）將y表示成x的函數(shù)；

（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說(shuō)明理由。

解法一:（1）如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當(dāng)時(shí)，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數(shù)為

（2）,,令得,所以,即,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí), 函數(shù)有最小值.

解法二: （1）同上.

（2）設(shè),

則,,所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.

下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).

設(shè)0<m₁<m₂<160,則

,

因?yàn)?/span>0<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).

同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m₁<m₂<400,則

因?yàn)?/span>1600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).

所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,

所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小.

【命題立意】:本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的 能力和運(yùn)用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題.

（2）．某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬(wàn)公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進(jìn)行了連續(xù)5年的觀測(cè)，并將每年年底的觀測(cè)結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進(jìn)行預(yù)測(cè)：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f(wàn)公頃；（2）如果從2000年底后采取植樹(shù)造林等措施，每年改造0.6萬(wàn)公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃？

解析：（1）由表觀察知，沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關(guān)系圖象近似地為一次函數(shù)y=kx+b的圖象

將x=1，y=0.2與x=2，y=0.4，代入y=kx+b，

求得k=0.2，b=0，

所以y=0.2x（x∈N）。

因?yàn)樵猩衬娣e為95萬(wàn)公頃，則到2010年底沙漠面積大約為

95+0.5×15=98（萬(wàn)公頃）。

（2）設(shè)從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬(wàn)公頃，由題意得

95+0.2x－0.6(x－5)=90，

解得x=20（年）。

故到2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃。

點(diǎn)評(píng)：初中我們學(xué)習(xí)過(guò)的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本性質(zhì)，我們要牢固掌握。特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例”、“成反比例”等條件要應(yīng)用好

例2．(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬(wàn)元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬(wàn)元。

  （Ⅰ）試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

  （Ⅱ）當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最?。?/span>

解 （Ⅰ）設(shè)需要新建個(gè)橋墩，

所以  

  （Ⅱ）  由（Ⅰ）知，

   令，得，所以=64      

    當(dāng)0<<64時(shí)<0，  在區(qū)間（0，64）內(nèi)為減函數(shù)；          

當(dāng)時(shí)，>0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，

所以在=64處取得最小值，此時(shí)，

故需新建9個(gè)橋墩才能使最小

題型2：二次函數(shù)型

例3．一輛中型客車(chē)的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（x∈N）的變化關(guān)系如表所示，則客車(chē)的運(yùn)輸年數(shù)為（）時(shí)該客車(chē)的年平均利潤(rùn)最大

（A）4    （B）5    （C）6    （D）7

解析：表中已給出了二次函數(shù)模型

，

由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點(diǎn)（4，7），（6，11），（8，7），則

。

解得a=－1，b=12，c=-25，

即。

而取“=”的條件為，

即x=5，故選（B）。

點(diǎn)評(píng)：一元二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中最重要的一個(gè)模型，解決此類(lèi)問(wèn)題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)，解決好實(shí)際問(wèn)題。

例4．（2009福州八中）某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3700x+45x²-10x³（單位：萬(wàn)元），成本函數(shù)為C(x)=460x+5000（單位：萬(wàn)元），又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x)。

（Ⅰ）求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；（提示：利潤(rùn)=產(chǎn)值成本）

（Ⅱ）問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？

（Ⅲ）求邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)單調(diào)遞減時(shí)x的取值范圍，并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？

解  （Ⅰ）P(x)=R(x)-C(x)=-10x³+45x²+3240x-5000,(xN^*,且1≤x≤20);      MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3275，(xN^*,且1≤x≤19)

（Ⅱ）.

∴當(dāng)0＜x＜12時(shí)＞0,當(dāng)x＜12時(shí)，＜0.      

∴x=12，P（x）有最大值.                             

即年造船量安排12 艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大．   

（Ⅲ）∵MP（x）=-30x²+60x+3275=-30(x-1)²+3305,             

所以，當(dāng)x≥1時(shí)，MP（x）單調(diào)遞減，x的取值范圍為[1,19]，且xN^*     

是減函數(shù)的實(shí)際意義：隨著產(chǎn)量的增加，每艘船的利潤(rùn)在減少．

例5．（2008湖南理21．）

已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)

（I）證明：；

（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。

解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn),

所以有三個(gè)互異的實(shí)根.

        設(shè)則

        當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù);

        當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù);

        當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù);

       所以函數(shù)在時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值.

       當(dāng)或時(shí),最多只有兩個(gè)不同實(shí)根.

       因?yàn)?/span>有三個(gè)不同實(shí)根, 所以且.

       即,且,

解得且故.

    （II）由（I）的證明可知，當(dāng)時(shí), 有三個(gè)極值點(diǎn).

         不妨設(shè)為（），則

         所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,

         若在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則, 或,

  若,則.由（I）知，,于是

  若,則且.由（I）知，

         又當(dāng)時(shí)，;

         當(dāng)時(shí)，.

         因此, 當(dāng)時(shí)，所以且

即故或反之, 當(dāng)或時(shí)，

總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

綜上所述, 的取值范圍是.

題型3：分段函數(shù)型

例6．（2009福建省）已知某企業(yè)原有員工2000人,每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利潤(rùn)3.5萬(wàn)元.為應(yīng)對(duì)國(guó)際金融危機(jī)給企業(yè)帶來(lái)的不利影響,該企業(yè)實(shí)施“優(yōu)化重組,分流增效”的策略,分流出一部分員工待崗.為維護(hù)生產(chǎn)穩(wěn)定,該企業(yè)決定待崗人數(shù)不超過(guò)原有員工的5％,并且每年給每位待崗員工發(fā)放生活補(bǔ)貼O.5萬(wàn)元.據(jù)評(píng)估,當(dāng)待崗員工人數(shù)x不超過(guò)原有員工1％時(shí),留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤(rùn)(1-)萬(wàn)元；當(dāng)待崗員工人數(shù)x超過(guò)原有員工1％時(shí),留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤(rùn)O.9595萬(wàn)元.為使企業(yè)年利潤(rùn)最大,應(yīng)安排多少員工待崗?

解  設(shè)重組后,該企業(yè)年利潤(rùn)為y萬(wàn)元.

∵2000×1%=20,∴當(dāng)0<x≤20且x∈N時(shí),

y=(2000-x)(3.5+1-)-0.5x=-5(x+)+9000.81.

∵x≤2000×5%   ∴x≤100,∴當(dāng)20<x≤100且x∈N時(shí),

y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. 

∴  

當(dāng)0<x≤20時(shí),有

y=-5(x+)+9000.81≤-5×2+9000.81=8820.81,

當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=18時(shí)取等號(hào),此時(shí)y取得最大值.

當(dāng)20<x≤100時(shí),函數(shù)y=-4.9595x+8919為減函數(shù),

所以y<-4.9595×20+8919=8819.81.

綜上所述x=18時(shí),y有最大值8820.81萬(wàn)元.

即要使企業(yè)年利潤(rùn)最大,應(yīng)安排18名員工待崗.

例7．（2008廣東，17）

（本小題滿分12分）

某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝）

【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則

      ,     令  得  

     當(dāng)  時(shí)，  ；當(dāng) 時(shí)，

因此 當(dāng)時(shí)，f（x）取最小值；

答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問(wèn)題.考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

題型4：三角函數(shù)型

例8．某港口水的深度y(m)是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，記作y=f(t)。下面是某日水深的數(shù)據(jù)：

經(jīng)長(zhǎng)期觀察，y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)y=Asinωt+b的圖象。（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出函數(shù)y=f(t)的近似表達(dá)式；（2）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離為5m或5m以上時(shí)認(rèn)為是安全的（船舶?？繒r(shí)，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，請(qǐng)問(wèn)，它最多能在港內(nèi)停留多少時(shí)間（忽進(jìn)出港所需的時(shí)間）？

解析：題中直接給出了具體的數(shù)學(xué)模型，因此可直接采用表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行解答

（1）由表中數(shù)據(jù)易得，周期T=12，，b=10，

所以。

（2）由題意，該船進(jìn)出港時(shí)，水深應(yīng)不小于

5+6.5=11.5（m），

所以，

化為，

應(yīng)有，

解得12k+1≤t≤12k+5  （k∈Z）。

在同一天內(nèi)取k=0或1，

所以1≤t≤5或13≤t≤17，

所以該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港，最晚在下午17時(shí)出港，在港口內(nèi)最多停留16個(gè)小時(shí)。

點(diǎn)評(píng)：三角型函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要以三角函數(shù)的性質(zhì)為先，通過(guò)其單調(diào)性、周期性等性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。特別是與物理知識(shí)中的電壓、電流、簡(jiǎn)諧振動(dòng)等知識(shí)結(jié)合到到一塊來(lái)出題，為此我們要對(duì)這些物理模型做到深入了解

題型5：不等式型

例9．（2009年上海卷理）有時(shí)可用函數(shù)    

描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)（），表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)。

（1）證明  當(dāng)時(shí)，掌握程度的增加量總是下降；

（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為

,,。當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科。

證明 （1）當(dāng)

而當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，且>0……..3分

故單調(diào)遞減 

當(dāng)，掌握程度的增長(zhǎng)量總是下降……………..6分

（2）由題意可知0.1+15ln=0.85……………….9分

整理得

解得…….13分

由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科……………..14分    

例10．（2008湖北，文、理19）

（本不題滿分12分）

    如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm^2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最??？

解法1：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000.                       ①

廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.

廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b

≥18500+2=18500+

當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b=,代入①式得a=120，從而b=75.

即當(dāng)a=120，b=75時(shí),S取得最小值24500.

故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.

解法2：設(shè)廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25

兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=

廣告的面積S=xy=x()＝x,

整理得S=

因?yàn)?/span>x－20＞0，所以S≥2

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)有(x－20)²＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，

即當(dāng)x=140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500，

故當(dāng)廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。以及函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式證明的基本方法。

題型6：指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)

例11．有一個(gè)湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合

用，表示某一時(shí)刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)（我們稱(chēng)其湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)），表示湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；

（2）分析時(shí)，湖水的污染程度如何。

解析： （1）設(shè)，

因?yàn)?/span>為常數(shù)，，即，

則；

（2）設(shè)，

=

因?yàn)?/span>，，。污染越來(lái)越嚴(yán)重。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實(shí)際問(wèn)題。我們要掌握底數(shù)兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問(wèn)題。譬如向題目中出現(xiàn)的“污染越來(lái)越嚴(yán)重”還是“污染越來(lái)越輕”

例12．現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過(guò)個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：）.

解析：現(xiàn)有細(xì)胞100個(gè)，先考慮經(jīng)過(guò)1、2、3、4個(gè)小時(shí)后的細(xì)胞總數(shù)，

   1小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；

2小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；

3小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；

4小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；

可見(jiàn)，細(xì)胞總數(shù)與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：  ，

由，得，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得，

∴，

∵，

∴. 

答：經(jīng)過(guò)46小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)超過(guò)個(gè)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)要熟練應(yīng)用近似計(jì)算的知識(shí)，來(lái)對(duì)事件進(jìn)行合理的解析。

（2008廣東文17）

（本小題滿分12分）

某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝）

【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則

      ,     令  得  

     當(dāng)  時(shí)，  ；當(dāng) 時(shí)，

因此 當(dāng)時(shí)，f（x）取最小值；

答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。

五．【思維總結(jié)】

1．將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義。

2．怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問(wèn)題

數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題形式多樣，解法靈活。在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類(lèi)題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。解答此類(lèi)題型主要有如下三種方法：

（1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問(wèn)題即可獲解；

（2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問(wèn)題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進(jìn)行比較；

（3）描點(diǎn)觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖，然后觀察這些點(diǎn)的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題即可順利解決。下面舉例進(jìn)行說(shuō)

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

www.