三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]已知曲線及點，求過點的曲線的切線方程.

錯解：，過點的切線斜率，過點的曲線的切線方程為.

錯因：曲線在某點處的切線斜率是該曲線對應(yīng)的函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在此題中，點湊巧在曲線上，求過點的切線方程，卻并非說切點就是點，上述解法對求過點的切線方程和求曲線在點處的切線方程，認(rèn)識不到位，發(fā)生了混淆.

正解：設(shè)過點的切線與曲線切于點，則過點的曲線的切線斜率

，又，。①點在曲線上，

②，②代入①得

化簡，得，或.若，則，過點的切線方程為；若，則，過點的切線方程為過點的曲線的切線方程為或

[例2]已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍.

錯解：在上是減函數(shù)，在上恒成立，

對一切恒成立，，即，.

正解:，在上是減函數(shù)，在上恒成立，且，即且，.

[例3]當(dāng) ，證明不等式.

證明：，，則，當(dāng)時。在內(nèi)是增函數(shù)，，即，又，當(dāng)時，，在內(nèi)是減函數(shù)，，即，因此，當(dāng)時，不等式成立.

點評：由題意構(gòu)造出兩個函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而導(dǎo)出及是解決本題的關(guān)鍵.

[例4]設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運貨到工廠A所需運費最省?

解 ： 設(shè)BD之間的距離為km,則|AD|=,|CD|=.如果公路運費為元/km,那么鐵路運費為元/km.故從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運費為:+,().對該式求導(dǎo),得=+=,令,即得25=9(),解之得

=15,=-15(不符合實際意義,舍去).且=15是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點,所以=15是函數(shù)的極小值點,而且也是函數(shù)的最小值點.由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時,運費最省.

點評： 這是一道實際生活中的優(yōu)化問題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù),用過去的知識求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運用導(dǎo)數(shù)知識,求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡單.一般情況下,對于實際生活中的優(yōu)化問題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項式函數(shù)、簡單的分式函數(shù)簡單的無理函數(shù)、簡單的指數(shù)、對數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見,導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識在實際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.

[例5]函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）對滿足－1≤≤1的一切的值，都有＜0，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)＝－，當(dāng)實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)＝的圖象與直線＝3只有一個公共點.

解：（1）由題意

         令，

對，恒有，即

∴  即

解得

故時，對滿足－1≤≤1的一切的值，都有.

（2）

①當(dāng)時，的圖象與直線只有一個公共點

②當(dāng)時，列表：

∴

又∵的值域是，且在上單調(diào)遞增

∴當(dāng)時函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點.

當(dāng)時，恒有

由題意得

即

解得

綜上，的取值范圍是.

 [例6]若電燈B可在桌面上一點O的垂線上移動，桌面上有與點O距離為的另一點A，問電燈與點0的距離怎樣，可使點A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）

分析：如圖，由光學(xué)知識，照度與成正比，與成反比，

即（是與燈光強度有關(guān)的常數(shù)）要想點處有最

大的照度，只需求的極值就可以了.

解：設(shè)到的距離為，則，

于是，.

當(dāng)時，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在點取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與點距離為時，點的照度為最大. 

點評：在有關(guān)極值應(yīng)用的問題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點使得=0且在該點兩側(cè)，的符號各異，一般稱為單峰問題，此時，該點就是極值點，也是最大（?。┲迭c.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1．已知函數(shù)，若是的一個極值點，則值為      （  ）

A．2            B.-2             C.           D.4

2.已知函數(shù)在處有極值為10，則=        .

3．給出下列三對函數(shù)：①②， 

③，；其中有且只有一對函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同是各自定義域上的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是                   ，                     .

4．已知函數(shù)有極大值和極小值，求的取值范圍.

5．已知拋物線，過其上一點引拋物線的切線，使與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.

6．設(shè)在上的最大值為，，

（1）求的表達式；（2）求的最大值.

§10.3定積分與微積分基本定理

一、知識導(dǎo)學(xué)

1．可微：若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)（是常數(shù)）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函數(shù)在點可微，（1）中的稱為函數(shù)在點的微分，記作或.函數(shù)在點可微的充要條件是函數(shù)在可導(dǎo)，這時（1）式中的等于.若函數(shù)在區(qū)間上每點都可微，則稱為上的可微函數(shù).函數(shù)在上的微分記作.

2．微積分基本定理：如果，且在上可積.則

.其中叫做的一個原函數(shù).

由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù).

二、疑難知識導(dǎo)析

1 .定積分的定義過程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個步驟，這里包含著很重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應(yīng)用.

1）一般情況下，對于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長度才能都趨近于0，但有的時候為了解題的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.

2）對每個小區(qū)間內(nèi)的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點或是右端點.

3）求極限的時候，不是，而是.

2．在微積分基本定理中，原函數(shù)不是唯一的，但我們只要選取其中的一個就可以了，一般情況下選那個不帶常數(shù)的。因為.

3．利用定積分來求面積時，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然后求兩部分的代數(shù)和.

三 、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積S.

錯解：分兩部分，在，在，因此所求面積為      2+（-2）=0。

分析：面積應(yīng)為各部分積分的代數(shù)和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數(shù)。所以不應(yīng)該將兩部分直接相加。

正解：

[例2]用微積分基本定理證明

（）

分析：即尋找的原函數(shù)代入進行運算。

解；設(shè)，則

= =

由微積分基本定理的逆運用可知：上式

所以原式成立，即證。

注：該式可用來求分布在軸兩側(cè)的圖形的積分。

[例3]根據(jù)等式求常數(shù)的值。

1）                2）

分析：利用微積分基本定理，求出原函數(shù)代入求解

解：1）

2）

[例4]某產(chǎn)品生產(chǎn)x個單位時的邊際收入　　

（１）   求生產(chǎn)了50個單位時的總收入。

（２）   如果已生產(chǎn)了100個單位時，求再生產(chǎn)100個單位時的總收入。

分析：總收入為邊際收入的積分和，求總收入既為求邊際收入在規(guī)定時間內(nèi)的定積分。由收入函數(shù)和邊際收入的關(guān)系可得

（1）生產(chǎn)50個單位時的總收入為 

= =99875

（2）已生產(chǎn)了100個單位時后，再生產(chǎn)100個單位時的總收入為

答：生產(chǎn)50個單位時的總收入為99875；生產(chǎn)了100個單位時后，再生產(chǎn)100個單位時的總收入為19850.

[例5]一個帶電量為的電荷放在軸上原點處，形成電場，求單位正電荷在電場力作用下沿軸方向從處移動到處時電場力對它所作的功。

分析：變力做功的問題就是定積分問題在物理方面的應(yīng)用。

解：單位正電荷放在電場中，距原點處，電荷對它的作用力為

在單位電荷移動的過程中，電場對它的作用力為變力。則根據(jù)課本對變力做功的分析可知

答：電場力對它做的功為。

[例6]一質(zhì)點以速度沿直線運動。求在時間間隔上的位移。

分析：變速求位移和變力求功一樣都可以用定積分解決。

解：

答：位移為。

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1. (   )

A.        B.     C.      D.

2．（   ）

A．0            B.2              C.-2             D.4

3．，則           。

4．利用概念求極限：

5．求下列定積分；

（1）       （2）   

6．寫出下面函數(shù)在給定區(qū)間上的總和及的表達式