第36計(jì) 思想開門 人數(shù)靈通

●計(jì)名釋義

為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？難道僅僅是為了那幾個(gè)公式、那幾項(xiàng)法則、那幾條定理？學(xué)過數(shù)學(xué)的人，到后來多數(shù)把那些具體的公式、法則和定理忘得一干二凈，這豈不是說，他們的數(shù)學(xué)白白學(xué)了？

所謂“數(shù)學(xué)使人聰明”，就是學(xué)過數(shù)學(xué)的人們，看待問題和解決問題時(shí)有一種優(yōu)質(zhì)的、高品位的思想. 這種思想，它來自數(shù)學(xué)公式、法則和定理的學(xué)習(xí)過程，但它一旦形成了思想，就可以與形成它的數(shù)學(xué)具體的知識(shí)相對(duì)分離. 而與人的靈性結(jié)合，形成人的自覺行為活動(dòng).  中學(xué)數(shù)學(xué)可以形成的思想（方法），公認(rèn)的有七種，這七種思想首先要與人的靈性融合，反過來，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，又能使數(shù)學(xué)問題也具有靈性，從而達(dá)到人與數(shù)的溝通、實(shí)現(xiàn)“人數(shù)合一”的思想境界.

●典例示范

【例1】   有一個(gè)任意的三角形

ABC（材料），計(jì)劃拿它制造一個(gè)

直三棱柱形的盒子（有盒蓋）

，怎樣設(shè)計(jì)尺寸（用虛線表示），

才能不浪費(fèi)材料（圖右上）？                                例1圖

【思考】   “任意”三角形屬一般情況，

它的對(duì)立面是“特殊”的三角形.

我們先從正三角形考慮起.

假設(shè)這個(gè)尺寸如圖（1）所示.

（1）三棱柱的底面A₁B₁C₁的

中心G為原三角形的中心.

（2）柱體的三側(cè)面是三個(gè)矩形，

矩形的長(zhǎng)與底面△A₁B₁C₁的邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等.

（3）柱體的上底面（盒蓋）由

三個(gè)四邊形拼合，拼成后的三角形與A₁B₁C₁全等.          例1題解圖（1）

經(jīng)過以上思考，底面小三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，如C₁，它應(yīng)滿足兩個(gè)條件：其一，C₁是GC的中點(diǎn)；其二，C₁到∠C兩邊的距離相等，

因此它在∠C的平分線上.于是在一般的情況下，點(diǎn)G應(yīng)是△ABC的內(nèi)心.

【解答】   作△ABC的∠A和∠B的

平分線相交于內(nèi)心G，如圖（2）所示.

分別作GA、GB、GC的中點(diǎn)A₁、B₁、C₁.

△A₁B₁C₁為直三棱柱的一個(gè)底面.

過A₁，B₁，C₁三點(diǎn)分別作對(duì)應(yīng)邊

的垂線（段），所得矩形為柱體的三個(gè)側(cè)面.

經(jīng)過以上截取后，原△ABC三個(gè)頂點(diǎn)

處所余下的三個(gè)四邊形拼在一起，

作為柱體的另一個(gè)底面（盒蓋）.                         例1題解圖（2）

【點(diǎn)評(píng)】   本題的設(shè)問，只要求講出“設(shè)計(jì)操作”，形式上“不講道理”.實(shí)質(zhì)上，人的操作是受思想支配的，因此，本質(zhì)上是在考“思想”.本解法在探索過程中為找到三角形的內(nèi)心，運(yùn)用的就是數(shù)學(xué)上七大基本思想之一——特殊一般思想.

【例2】   校明星籃球隊(duì)就要組建了，需要在各班選拔預(yù)備隊(duì)員，規(guī)定投籃成績(jī)A級(jí)的可作為入圍選手.選拔過程中每人最多投籃5次，若投中了3次則確定為B級(jí)，若投中4次以上則可確定為A級(jí)，已知高三（1）班阿明每次投籃投中的概率是.

(1)求阿明投籃4次才被確定為B級(jí)的概率；

（2）若連續(xù)兩次投籃不中則停止投籃，求阿明不能入圍的概率.

【解答】   (1)求阿明投籃4次才被確定為B級(jí)的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率為P=C²₃·（）²··=.

(2)若連續(xù)兩次投籃不中則停止投籃，阿明不能入圍，該事件可分為下列幾類：

①5次投中3次，有C²₄種可能投球方式，其概率為：P（3）=C²₄·（）⁵=；

②投中2次，其分別有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4類投球方式，其概率為：P（2）=（）⁴+3·（）⁵=；

③投中1次，其分別有“中否否”、“否中否否”2類投球方式，

其概率為：P（1）=（）³+（）⁴=；

④投中0次，其僅有“否否”一種投球方式，其概率為：P（1）=（）²=，

∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)=+++ =.

【點(diǎn)評(píng)】   本題是以考生喜聞樂見的體育運(yùn)動(dòng)為背景的一種概率應(yīng)用題，考查或然和必然的思想.

●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練(來源http:///0AShZy)

1.函數(shù)y=lg的定義域是：                                     (      )

A.{x|x<0}          B.{x|x>1}            C.{x|0<x<1}         D.{x|x<0或x>1}

2.下面的數(shù)表

                          1=1

                         3+5=8

                     7+9+11=27

                13+15+17+19=64

           21+23+25+27+29=125

所暗示的一般規(guī)律是                                                .

●參考答案

1.D   利用特殊值.x= -1，2時(shí)，函數(shù)有意義，排除A、B，x=時(shí)，函數(shù)無意義，排除C.

2.（n²-n+1)+(n²-n+3)+…+［n²-n+(2n-1)］= n³

設(shè)第n行左邊第一個(gè)數(shù)為a_n，則a₁=1，a₂=3，a_n+1=a_n+2n. 疊加得a_n=n²-n+1，而第n行等式左邊是n個(gè)奇數(shù)的和，故第n行所暗示的一般規(guī)律是

（n²-n+1)+(n²-n+3)+…+［n²-n+(2n-1)］=n³.

【點(diǎn)評(píng)】   數(shù)表問題由來已久，常作為高考數(shù)列開放性探索題.由高中的數(shù)學(xué)競(jìng)賽到高考中的楊輝三角問題研究，此類問題走勢(shì)也在增強(qiáng).由已知的有限條件探討到無限的規(guī)律中去.