第26計(jì) 數(shù)列開門 前后跟蹤

●計(jì)名釋義

數(shù)列是特殊的函數(shù)，告訴了自變量是正自然數(shù)的函數(shù)，因此只要我們應(yīng)知道這個(gè)特殊函數(shù)有兩種關(guān)系式，除通項(xiàng)公式外，還有前后跟蹤關(guān)系的遞推式.高考30年來(lái)，數(shù)列的難題幾乎都出現(xiàn)在遞推式中.

●典例示范

【例1】   若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n=+n+a_n-1， n∈N^*，n≥2，求證：a_n=，n∈N^*.

【證明】   在遞推式中，分別令n=2，3，4,…，直到n，得到(n-1)個(gè)等式：

a₂=+2+a₁                            a₃=+3+a₂

a₄=+4+a₃……                       a_n=

將這(n-1)個(gè)等式整體相加得

a_n=++…++2+3+…+n+a₁

=.

當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1,也適合上式，

∴a_n=，n∈N^*

【點(diǎn)評(píng)】   這里a_n與a_n-1的系數(shù)相等（都是1），并且在等號(hào)的兩旁，因此由遞推式得到的（n-1）個(gè)等式相加后，很多項(xiàng)可以消去，進(jìn)而順利求出a_n.

由于數(shù)列可以看作是正整數(shù)n的函數(shù)，因此對(duì)于以遞推關(guān)系式出現(xiàn)的問題，常?？梢詮倪f推關(guān)系式中的n=1，2，3，……入手，得到一系列的等式，通過對(duì)它們進(jìn)行或加、或減、或乘、或除等運(yùn)算，使問題獲得解決.遞推意識(shí)是解數(shù)列問題的一種最基本、最重要的意識(shí).

【例2】   (2006年全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n=a_n-×2ⁿ⁺¹+,n=1，2，3,……（Ⅰ）求首項(xiàng)a₁與通項(xiàng)a_n；

（Ⅱ）設(shè)T_n=，n=1，2，3,……求證：

【解答】   （Ⅰ）a₁=S₁=a₁-，解得a=2.

a_n+1=S_n+1-S_n=a_n+1-a_n-(2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹),∴a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹.

這里a_n的系數(shù)是4，無(wú)法仿照例1直接用遞推法求解.先將已知遞推式的兩邊同除以2ⁿ⁺¹得到

若令b_n=，則有b_n+1=2b_n+1               (*)

(*)式就是我們熟知的線性遞推式，它可以運(yùn)用待定系數(shù)法求解.

設(shè)b_n+1+k=2(b_n+k)，即b_n+1=2b_n+k.        ∴k=1，故=2(n∈N^*)，

即{b_n+1}是以b₁+1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

∴b_n+1=(b₁+1)·2^n-1b_n=2ⁿ-1a_n=4ⁿ-2ⁿ.(n∈N*)

（Ⅱ）S_n=a_n-×2ⁿ⁺¹ +=(4ⁿ-2ⁿ)- ×2ⁿ⁺¹ +=(2ⁿ⁺¹-1)(2ⁿ-1).

T_n=,

∴

【點(diǎn)評(píng)】   這里的遞推式a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹化成b_n+1=2b_n+1后，形如a_n+1=Aa_n+B.

對(duì)于a_n+1=Aa_n+B：當(dāng)A=1時(shí)，a_n+1=a_n+B，     即a_n+1-a_n=B，故通項(xiàng)a_n=a₁+(n-1)B；

當(dāng)A≠1時(shí)，a_n+1+k=Aa_n+B+k=A,

令k=，則(A-1)k=B，即k=,

∴{a_n+k}是以a₁+k=a₁+為首項(xiàng)，公比為A的等比數(shù)列.

于是a_n+k=·A^n-1，∴a_n=·A^n-1 -.

【例3】   (2006年安徽高考題)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=，S_n=n²aⁿ-n(n-1)，n=1,2,……寫出S_n與S_n-1的遞推關(guān)系式(n≥2)，并求S_n關(guān)于n的表達(dá)式.

【解答】   當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1,代入S_n=n²a_n-n(n-1)中，

得S_n=n²(S_n-S_n-1)-n (n-1),       即(n²-1)S_n-n²S_n-1=n(n-1)               (*)

這就是S_n與S_n-1的遞推關(guān)系式.

將(*)式兩邊同除以n(n-1)得S_n-S_n-1=1(n≥2).

構(gòu)造新數(shù)列，它是以2S₁=2a₁=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

于是=1+(n-1)×1=n，即S_n=(n≥2).

顯然，上式當(dāng)n=1時(shí)也成立.∴S_n=，n∈N*.

【點(diǎn)評(píng)】   這里構(gòu)造新數(shù)列，關(guān)鍵在于能將（*）式變形為S_n-S_n-1=1,由此發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系.

高考中許多數(shù)列問題，往往是以等比、等差這兩類基本數(shù)列為背景設(shè)計(jì)而成的.解決這類問題，常常可以通過構(gòu)造新數(shù)列來(lái)實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.強(qiáng)化構(gòu)造意識(shí)，有助于創(chuàng)新能力的提高

●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

1.假定一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后能長(zhǎng)成大兔，再過一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，并此后每一個(gè)月生一對(duì)小兔，如果不發(fā)生死亡，問一對(duì)剛出生的小兔一年可繁殖成多少對(duì)？

2.對(duì)任意函數(shù)f (x)，x∈D,可按圖所示構(gòu)造

一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：

①       輸入數(shù)據(jù)x₀∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器

輸出x₁=f (x₀);

②若x₁D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；

若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，

再輸出x₂=f(x₁)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，

現(xiàn)定義f (x)=

(1)    若輸入x₀=則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n},           第2題圖

請(qǐng)寫出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)；

(2)若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮常數(shù)數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值；

(3)若輸入x₀時(shí)，產(chǎn)生無(wú)窮數(shù)列{x_n}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，均有x_n<x_n+1，求x₀的取值范圍.

3.某公司全年的純利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1至n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位

職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.

(1)設(shè)a_k(1≤k≤n)為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求a₂、a₃,并用k、n和b表示a_k;(不必證明)

(2)證明a_k>a_k+1(k=1,2,…,n-1)，并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義.

(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為P_n(b)，對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求.

●參考答案

1.把第n個(gè)月的兔子總數(shù)記為f (n)，則f (1)=1，f (2)=1，f (3)=2，f (4)=3，f (5)=5，f (6)=8，f (7)=13,…….考查數(shù)列{f (n)}的規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)，從第三項(xiàng)開始，第一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和：f (3)= f (1)+f (2)；f (4)= f (2)+f (3)；f (5)=f (3)+f (4)；f (6)= f (4)+f (5)；f (7)=f (5)+f (6);…，

f (13)= f (11)+f(12)=89+144=233,所以，一對(duì)兔子一年可繁殖成233對(duì).

2.(1)∵   f (x)的定義域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)

∴   數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)：x₁=，x₂=，x₃=-1.

(2)∵   f (x)==x即x²-3x+2=0,                  ∴   x=1或x=2.

即當(dāng)x₀=1或2時(shí)，x_n+1==x_n

故當(dāng)x₀=1時(shí)，x_n=1；當(dāng)x₀=2時(shí)，x_n=2(n∈N)

(2)    解不等式x<,

∴   <0，得x<-1或1<x<2，

要使x₁<x₂，則x₁<-1或1<x₁<2,

對(duì)于函數(shù)f (x)= =,        若x₁<-1，則x₂=f (x₁)>4，x₃= f (x₂)<x₂,

當(dāng)x₁∈(1,2)時(shí)，x₂= f (x₁)>x₁，且1<x₂<2.  依次類推，可得數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)均

滿足x_n+1>x_n(n∈N₊).

綜上所述，x₁∈(1,2)時(shí)，由x₁= f (x₀),得x₀∈(1,2).

點(diǎn)評(píng)   本題主要考查函數(shù)的基本知識(shí)，數(shù)列的基本知識(shí)，解不等式的基本方法，以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和判斷推理能力.本題利用框圖形式把函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)點(diǎn)冶為一爐，形式新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，富于思考.今后仍有可能出現(xiàn)這種富有創(chuàng)新意識(shí)的試題.

3.(1)第1位職工的獎(jiǎng)金a₁=；第2位職工的獎(jiǎng)金a₂=；

第3位職工的獎(jiǎng)金a₃=；……第k位職工的獎(jiǎng)金a_k=.

(2)a_k  - a_k+1=>0.

此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”等原則.

（3）設(shè)f_k(b)表示獎(jiǎng)金發(fā)給第k位職工后所剩余款，則

f₁(b)=，f₂(b)=，…，f_k(b)=.

得   P_n(b)= f_n(b)=，               故   .

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列、不等式、極限的綜合運(yùn)用以及結(jié)合職

工福利的實(shí)際應(yīng)用，這正是近年高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn).