2015年MBA管理類聯(lián)考聯(lián)-綜合能力真題-數(shù)學部分

一、問題求解：第1～15小題，每小題3分，共45分。下列每題給出的A、B、C、D、E五個選項中，只有一項是符合試題要求的。請在答題卡上將所選項的字母涂黑。

2221. 若實數(shù)a,b,c滿足a:b:c?1:2:5，且a?b?c?24，則a?b?c?（）

A.30    B.90    C.120    D.240    E.270

解析：（E）解法1：

1?a?24??3?1?2?5??a:b:c?1:2:5?2?b?24??6?a2?b2?c2?32?62?152?270 ??1?2?5?a?b?c?24?5?c?24??15?1?2?5?

解法2：因為a:b:c?1:2:5，所以設a,b,c分別為k,2k,5k，代入a?b?c?24 得

k?3，所以a2?b2?c2?k2?(2k)2?(5k)2?30k2?270

2.  某公司共有甲、乙兩個部門，如果從甲部門調(diào)10人到乙部門，那么乙部門的人數(shù)是甲

部門的2倍；如果把乙部門員工的

的總?cè)藬?shù)為（）

A.150    B.180    C.200    D.240    E.250

解析：（D）設該公司甲、乙兩部門人數(shù)分別為x,y，則由題意得： 1調(diào)到甲部門，那么兩個部門的人數(shù)相等，則該公司5

y?10?2(x?10)?x?90???x?y?240 1?4?y?x?y?y?150?5?5

3.  設m,n是小于20的質(zhì)數(shù)，滿足條件m?n?2的?m,n?共有（）

A.2組    B.3組    C.4組    D.5組    E.6組

解析：（C）20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19，其中相差為2的質(zhì)數(shù)共有4組，分別是

3,5?,?5,7?,?11,13?,?17,19?。

注：本題所求?m,n?有多少組，默認m,n是無序的。如果本題改為求：?m,n?這樣的點共

有多少個，則此時應該考慮m,n的順序，共有8個不同的點。

04.  如圖1，BC是半圓的直徑，且BC?4，?ABC?30，則圖中陰影部分的面積為（）

A. 42?42??

B. ??

C. ?

E. 2??

D. 3333

D?AB于D，OC?2?ABC?60解析：（A）如下圖，O為圓心，連接OA，作O則?A0，

1OD?OB?1（300所對直角邊等于斜邊的一半）

，BD??，

此時2

AB?2BD?。所以

S陰影?S扇形OAB?S?OAB?12014??22??1??? 36023

5.  某人駕車從A地趕往B地，前一半路程比計劃多用了45分鐘，平均速度只有計劃的80%，

若后一半路程平均速度為120千米/小時，此人還能按原定時間到達B地，則A,B兩地距離為（）

A.450千米    B.480千米    C.520千米    D.540千米    E.600千米

解析：（D）設A,B兩地距離為2S，原計劃的平均速度為v，則根據(jù)題意有：

S45?S????0.8vv60?S?270?? ??v?90?S?S?45

v12060

所以A,B兩地距離為2S?540千米。

6.  在某次考試中，甲、乙、丙三個班的平均成績?yōu)?0,81和81.5，三個班的學生分數(shù)之和

為6952，三個班共有學生（）

A.85    B.86    C.87    D.88    E.90

解析：（B）顯然有80?三個班的平均分?81.5，所以有：

85.3?69526952?86.9 ?三個班總?cè)藬?shù)?8081.5

即三個班總?cè)藬?shù)只能為86.

7.  有一根圓柱形鐵管，管壁厚度為0.1m，內(nèi)徑為1.8m，長度為2m。若將該鐵管融化后澆

3鑄成長方體，則該長方體的體積為（）（單位：m，??3.14）

A.0.38    B.0.59    C.1.19    D.5.09    E.6.28

解析：（C）該圓柱形鐵管為一個空心圓柱體，底面為一個環(huán)形，內(nèi)圓半徑r?0.9，外圓半

徑R?0.9?0.1?1，高度h?2，所以

V管?V外?V內(nèi)??R2h??r2h??h?R2?r2??3.14?2??12?0.92??1.19

8.  如圖2，梯形ABCD的上底與下底分別為5,7。E為AC與BD的交點，MN過點E且

平行于AD，則MN?（）

A. 2611353640    B.     C.     D.     E.  52767

解析：（C）AD//BC??ADE?BCE?AEDEAD5AEDE5??????， ECEBBC7ACDB12

MEAE5????AME?ABC?5?BCAC12???ME?EN?BC，又有MN//BC??12??DEN?DBC?EN?DE?5

BCDB12

所以MN?ME?EN?2?535BC?。 126

注：本題可以推廣到任意的一個梯形，如果其上底和下底分別為a,b，那么過其對角線交點

且與兩底平行的線段（本題的中MN）長為2ab。 a?b

2229.  已知x1,x2是方程x?ax?1?0的兩個實根，則x1?x2?（）

2222    A. a?2    B. a?1    C. a?1    D. a?2    E. a?2

解析：（A）由韋達定理得：??x1?x2??a22?x12?x2??x1?x2??2x1x2?a2?2。 ?x1x2??1

10. 一件工作，甲、乙合作需要2天，人工費2900元，乙、丙兩個人合作需要4

天，人工

費2600元，甲、丙兩人合作2天完成全部工作量的5，人工費2400元，則甲單獨完成6

這件工作需要的時間與人工費分別為（）

A.3天，3000元 B.3天，2580元 C.3天，2700元 D.4天，3000元 E.4天，2900元 解析：（A）設甲、乙、丙單獨完成該工作所需時間分別為x,y,z，甲、乙、丙每天的人工費

111?11????x?3xy2??x?3??111?11????????y?6 分別為a,b,c元，根據(jù)題意有：??yz4?y6?z?12???11?5?11?2????????xz?6?z12

2(a?b)?2900?a?1000??     又有：?4(b?c)?2600??b?450，所以甲的總?cè)斯べM為3?1000?3000

2(a?c)?2400?c?200??

注：本題實際考察的是兩個二元一次方程組，將工作量和人工費分開來算是本題的關鍵。

211. 若直線y?ax與圓(x?a)2?y2?1相切，則a?（）

A. 11

B. 1?

C.

D. 1?

E.  22232

解析：（E）直線y?ax與圓(x?a)2?y2?1相切，則圓心?a,0?到直線y?ax?0的距離

等于半徑。即d?a?t2?1??

a2??a2?1????t?t?1?0?t?t?0221

2

所以a?t?21?（負根舍去）。 2

注：直線和圓的位置關系一般有兩種表征方法：幾何法和代數(shù)法。本題所用的解法即為幾何

法，用圓心到直線的距離和半徑比較。而代數(shù)法是將直線和圓的方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化方程組解的個數(shù)問題。本題也可以用代數(shù)法解，因為直線和圓相切，所以聯(lián)立后的方程組有唯一解，所以其判別式等于0。讀者不妨嘗試一下（比較麻煩）。

筆者推薦使用幾何法。

)0?x?1)，則以x,y為兩邊的矩12. 設點A(0,2)和B(1,0)，在線段AB上取一點M(x,y（

形面積的最大值為（）

A. 51311    B.     C.     D.     E.  82848

解析：（B）過A(0,2)和B(1,0)兩點的直線方程為：xy??1（截距式）?2x?y?2 12

本題所求的是以x,y為兩邊的矩形面積S?xy，在條件2x?y?2?0?x?1?下的最

大值。方法1：S?xy?x(2?2x)??2x?2x?0?x?1?，當x??2b1?時取最大2a2

111?1?值（滿足0??1）。所以Smax??2????2??。 222?2?

方法2

：由均值不等式得，2?2x?y??1?2?xy?1 2

211?2x?y?1    方法3：均值不等式（和定積大）得，S?xy??2xy????? 22?2?2

13. 某新興產(chǎn)業(yè)在2005年末至2009年末產(chǎn)值的年平均增長率為q。在2009年末至2013年

末產(chǎn)值的年平均增長率比前四年下降了40%。2013年的產(chǎn)值約為2005年產(chǎn)值的14.46（?1.95）倍，則q約為（）

A.30%    B.35%    C.40%    D.45%    E.50%

解析：（E）設2005年產(chǎn)值為1，則2009年的產(chǎn)值為1??1?q?，所以2013年產(chǎn)值為44

1??1?q??1?0.6q?，有題意知：1??1?q??1?0.6q??1?14.46?1.954，即 4444

(1?q)(1?0.6q)?1.95??2q?1??6q?19??0?q?0.5（負根舍去）

14. 某次網(wǎng)球比賽的四強對陣為甲對乙，丙對丁，兩場比賽的勝者將爭奪冠軍。選手之間相

互獲勝的概率如下表，則甲獲得冠軍的概率為（）

間的比賽有兩種結(jié)果。所以總共分為兩種情況：

（1） 甲勝乙，丙勝丁，然后甲再勝丙，其概率P1?0.3?0.5?0.3?0.045

（2） 甲勝乙，丁勝丙，然后甲再勝丁，其概率P2?0.3?0.5?0.8?0.12

所以甲獲得冠軍的概率P?P1?P2?0.165。

注：本題每種情況中的計算都屬于分步，所以用乘法；總共兩種情況屬于分類，所以最后用

加法。

15. 平面上有5條平行直線，與另一組n條平行線垂直，若兩組平行線共構成280個矩形，則n?（）

A.5    B.6    C.7    D.8    E.9

解析：（D）每組平行線各取兩條，恰好可以構成一個矩形，所以兩組平行線構成矩形的總個數(shù)280?C5Cn?10?

去）。

二、條件充分性判斷：第16~25小題，每小題3分，共30分。要求判斷每題給出的條件

（1）和條件（2）能否充分支持題干所陳述的結(jié)論。A、B、C、D、E五個選項為判斷結(jié)果，請選擇一項符合試題要求的判斷，在答題卡上將所選項的字母涂黑。

（A）條件（1）充分，但條件（2）不充分.

（B）條件（2）充分，但條件（1）不充分.

（C）條件（1）和（2）單獨都不充分，但條件（1）和條件（2）聯(lián)合起來充分.

（D）條件（1）充分，條件（2）也充分.

（E）條件（1）和（2）單獨都不充分，條件（1）和條件（2）聯(lián)合起來也不充分.

16. 信封中裝有10張獎券，只有一張有獎。從信封中同時抽取2張，中獎概率為P；從信

封中每次抽取1張獎券后放回，如此重復抽取n次，中獎概率為Q，則P?Q。

（1）n?2            （2）n?3

11C1C9?0.2；有放回的重復抽取n次獎券，每次中獎的概率都為解析：（B）有題干可知P?2C1022n(n?1)?n2?n?56?0?(n?8)(n?7)?0?n?8（負根舍2

0.1，此為n重獨立可重復試驗。n次抽獎至少一次中獎即為中獎，其反面為n次抽獎一次都不中獎。所以有Q?1?(1?0.1)n?1?0.9n。

（1）Q?1?0.92?0.19?P，不充分。

（2）Q?1?0.93?0.271?P，充分。

17. 已知p,q為非零實數(shù)，則能確定p的值。 q(p?1)

11??1 pq

ppp，因為p值???2q(p?1)(1?p)(p?1)(p?1)    （1）p?q?1            （2）解析：（B）（1）p?q?1?q?1?p?

不確定，所以不充分。

（2）11p?qppp??1??1?p?pq?q????1，充分。 pqpqq(p?1)pq?qp

18. 已知a,b為實數(shù)，則a?2或b?2

（1）a?b?4            （2）ab?4

解析：（A）（1）a?b?4?a?b?2，所以a,b之中至少有一個?2，充分； 2

另解：反證法，如果a?2且b?2（題干的反面），則有a?b?4，與條件（1）矛盾。所以條件（1）成立，則必然有題干成立。

（2）反例：a?b??5。不充分。

19. 圓盤x2?y2?2(x?y)被直線L分成面積相等的兩部分。

（1）L:x?y?2            （2）L:2x?y?1

解析：（D）圓盤x2?y2?2(x?y)?(x?1)2?(y?1)2?2，所以該圓盤為圓

(x?1)2?(y?1)2?2的內(nèi)部。若直線L要將其面積分為相等的兩部分?直線L經(jīng)過圓心?1,1?，顯然條件（1）（2）都經(jīng)過圓心，所以兩條件都充分。

20. 已知?an?是公差大于零的等差數(shù)列，Sn是?an?的前n項和，則Sn?S10,n?1,2,

（1）a10?0            （2）a11a10?0

解析：（D）等差數(shù)列前n項和Sn最小的充要條件為a1?a2? ?an?0?an?1?

a10?0?a1?a2?    （1）?d?0?

（2）??a10?0?a11?，充分。 ?a11a10?0?a10?0???a1?a2??d?0?a11?0?a10?0?a11?，充分。

21. 幾個朋友外出游玩，購買了一些瓶裝水，則能確定購買的瓶裝水數(shù)量

（1）若每人分三瓶，則剩余30瓶

（2）若每人分10瓶，則只有1人不夠

解析：（C）設有x人，購買了y瓶瓶裝水。此時條件（1）（2）如下：

（1）y?3x?30

（2）y?10(x?1)?r,(1?r?9)

x?30?10(x?1)??7    顯然條件（1）（2）單獨不充分，聯(lián)合條件（1）（2）有r?3

所以有1??7x?40?9?x?403139?x??x?5（x為正整數(shù)）。此時y?45，充分。 77

22. 已知M??a1?a2?

則M?N。 ?an?1??a2?a3??an?，N??a1?a2??an??a2?a3??an?1?，

（1）a1?0            （2）a1an?0

解析：（B）本題考查的技巧為整體處理法，可設a2?a3??an?1?x，則有

M??a1?x??x?an??a1an?a1x?anx?x2

M?N?a1an，所以 ?2N?(a1?x?an)x?a1x?anx?x?

M?N?M?N?0?a1an?0，所以條件（2）充分，條件（1）不充分。 注：本題也可設a1?a2??an?x，或a1?a2??an?1?x，或a2?a3??an?x等

都可以，讀者不妨嘗試一下。

23. 設?an?是等差數(shù)列，則能確定數(shù)列?an?

（1）a1?a6?0            （2）a1a6??1

解析：（E）等差數(shù)列的通項公式有兩個參數(shù)（a1和d），所以需要兩個條件來確定，顯然條

件（1）（2）單獨不充分。所以聯(lián)合條件（1）（2）有：??a1?a6?0?a1?1?a??1 ??,or,?1

a1a6??1?a6??1?a6?1

該方程組有兩組解，因此可以得到兩個不同的等差數(shù)列，故無法確定數(shù)列?an?，聯(lián)合

也不充分。

24. 已知x1,x2,x3都為實數(shù)，為x1,x2,x3的平均數(shù)，則xk?x?1,k?1,2,3

（1）xk?1,k?1,2,3            （2）x1?0

解析：（C）（1）反例：x1?x2?1,x3??1，此時?41，而x3???1，不充分。 33

（2）顯然不充分，反例：x1?x2?0,x3?9，此時x?3，xk??1,k?1,2,3。     聯(lián)合（1）（2）有：??xk?1,k?1,2,3??1?x2?10?x2?x322?????x??。 333x1?0??1?x3?1?

x?x2x?x221?1，x2?x?x2?23?23?x2?x3?1 33333

x2?x32x?x21?32?x3?x2?1，所以聯(lián)合充分。 3333此時，x1?x?x?同理，x3??x3?

25. 底面半徑為r，高為h的圓柱體表面積記為S1，半徑為R的球體表面積記為S2，則

S1?S2。

（1）R?2h?rr?h            （2）R? 32

解析：（C）由題干得：S1?2?r2?2?rh,S2?4?R2，所以題干

r2rhS1?S2?2?r?2?rh?4?R?R??， 22222

此時觀察兩個條件，發(fā)現(xiàn)條件（2）不等號的方向與題干要推的相反，顯然不充分。

2222?r?h?r?h?2rhrhr?h由條件（1）可得：R?? ????424?2?22

rhr2?h2r2rh要使條件（1）能推出題干，則必須有????r?h，但r,h的大小2422

關系不確定，所以條件（1）單獨也不充分。

聯(lián)合條件（1）（2）r?h2h?rr?h2h?r?R????r?h，再結(jié)合條件（1）2323

可推出題干，所以聯(lián)合充分。

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