用23年糾正亞里士多德的錯(cuò)誤

宗傳明突破希爾伯特第十八問(wèn)題

一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題

2000多年前，古希臘人就發(fā)現(xiàn)了五種正規(guī)多面體——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。柏拉圖 “四古典元素”其形狀如正多面體中的其中四個(gè)：火的熱令人感到尖銳和刺痛，好像小小的正四面體；空氣是用正八面體制的，可以粗略感受到，它極細(xì)小的結(jié)合體十分順滑；當(dāng)水放到人的手上，它會(huì)自然流出，那它就應(yīng)該是由很多小球所組成，好像正二十面體；土與其他的元素相異，因?yàn)樗梢员欢褩?，正如立方體。

剩下沒(méi)有用的正多面體——正十二面體，柏拉圖以不清晰的語(yǔ)調(diào)寫(xiě)：“神使用正十二面體以整理整個(gè)天空旳星座。”柏拉圖的學(xué)生亞里士多德添加了第五個(gè)元素——以太（希臘文：Αιθ?ρ，拉丁轉(zhuǎn)寫(xiě)：aithêr；拉丁文：aether），并認(rèn)為天空是用此組成，但他沒(méi)有將以太和正十二面體聯(lián)系。開(kāi)普勒依隨文藝復(fù)興建立數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)，將五個(gè)正多面體對(duì)應(yīng)五個(gè)行星——水星、金星、火星、木星和土星，同時(shí)它們本身亦對(duì)應(yīng)了五個(gè)古典元素。

公元前三世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家、科學(xué)家和教育家亞里士多德斷言，在這五種正規(guī)多面體中，正四面體和立方體都能砌滿(mǎn)整個(gè)空間。換句話(huà)說(shuō)，他認(rèn)為用大小一樣的正四面體形狀的磚彼此無(wú)縫地相接起來(lái)，就能裝滿(mǎn)整個(gè)空間。

在隨后的1800年中，亞里士多德的這一斷言曾多次受到著名學(xué)者的質(zhì)疑。但是，對(duì)其錯(cuò)誤的嚴(yán)格論證直到十六世紀(jì)才出現(xiàn)。

人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)幾個(gè)正四面體沿著一條棱圍成一圈時(shí)一定會(huì)產(chǎn)生縫隙。用專(zhuān)業(yè)的話(huà)說(shuō)，正四面體的最大堆積密度是小于1的。

若將一個(gè)容積很大的容器，以大量體積很小且體積彼此相等的小球給填充(顯然不可能完全填滿(mǎn)，一定會(huì)有些空隙留下)，那其密度就是指所有小球體積的總和對(duì)容器空間的比值。若欲使該容器中能放入盡可能多的小球，就必須尋找密度最高的排列法，也就是使這些被裝填的小球彼此間能盡可能緊密地排在一起。

有人做過(guò)實(shí)驗(yàn)，并發(fā)現(xiàn)隨機(jī)裝填的密度大約有65%，然而小心地排列球的位置，可達(dá)致更高的密度。若在第一層，先將球以六角形的方式排列(即每個(gè)球四周?chē)@六顆球)，然后下一層的球放在“于上一層球之上能讓球中心位置最低的點(diǎn)”上，然后其余層以此類(lèi)推。這就是在市場(chǎng)水果攤上橘子堆棧的方式。每個(gè)階段對(duì)于下一層該如何擺放，都有著兩種選擇，故若一直重復(fù)此法，到了最后，會(huì)有無(wú)限多的、密度相同的球的堆棧存在，此法最為人知的兩種形式，即是面心立方和六方最密堆積這兩種方法(這兩種方法的平均密度相同)，此法的平均密度大約74%，即74%左右的空間為球所占據(jù)。

開(kāi)普勒猜想說(shuō)，這是所有可能的裝球排列法所能達(dá)到的最高密度，沒(méi)有更高的了。

1900年在法國(guó)巴黎召開(kāi)的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在演講中提出新世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，費(fèi)馬猜想、哥德巴赫猜想均在此列。

而基于亞里士多德的錯(cuò)誤和開(kāi)普勒關(guān)于堆球的猜想，希爾伯特將“確定一個(gè)給定幾何體（例如球或者正四面體）的最大堆積（或定向堆積）密度”列入他的第18個(gè)問(wèn)題的一部分。

問(wèn)題的解

2006年，美國(guó)普林斯頓大學(xué)與密歇根大學(xué)的兩組科學(xué)家借助計(jì)算機(jī)對(duì)正四面體的堆積密度展開(kāi)競(jìng)賽式研究。而材料學(xué)家也開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，基本單元為正四面體的納米材料可能具有十分特殊的物理性質(zhì)，其有望在應(yīng)用領(lǐng)域大展拳腳。

2012年8月，北京大學(xué)教授宗傳明在這一著名問(wèn)題上獲得突破性進(jìn)展。他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)巧妙的方法證明正四面體的最大平移堆積密度介于0.367346……和0.384061……之間，這是人們對(duì)這一問(wèn)題所取得的第一個(gè)上界。

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)達(dá)一年半的時(shí)間，論文終于通過(guò)了嚴(yán)苛的審稿而公開(kāi)發(fā)表。德國(guó)著名數(shù)學(xué)家漢克評(píng)價(jià)稱(chēng)：“必須承認(rèn)，我被其中異常復(fù)雜的運(yùn)算和構(gòu)造嚇壞了——非常讓人敬佩！”

宗傳明在Springer-Verlag 和Cambridge University Press出版專(zhuān)著三部，在Bull. Amer. Math. Soc. 上發(fā)表兩篇綜述文章。Bull. Amer. Math. Soc.是最著名的數(shù)學(xué)雜志之一，每年約稿發(fā)表十余篇這類(lèi)評(píng)述學(xué)科進(jìn)展的文章。這是該雜志歷史上首次由國(guó)內(nèi)作者發(fā)表的綜述文章。 Cambridge Tracts in Mathematics 是最著名的數(shù)學(xué)叢書(shū)之一，已有一百多年的歷史，至今出版了185部。宗傳明在該叢書(shū)出版的專(zhuān)著 The Cube: A Window to Convex and Discrete Geometry 是該叢書(shū)歷史上第一部由國(guó)內(nèi)作者出版的著作。

宗傳明

宗傳明教授曾榮獲中國(guó)科學(xué)院十大杰出青年稱(chēng)號(hào) (1998)，茅以升青年科技獎(jiǎng) (1999)，國(guó)家杰出青年基金 (2002)，中國(guó)青年科技獎(jiǎng) (2004)，教育部自然科學(xué)一等獎(jiǎng) (2005)，入選國(guó)家新世紀(jì)百千萬(wàn)人才 (2006)，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)(2007)，獲von Prechtl獎(jiǎng)?wù)?/span> (2008，奧地利)，教育部長(zhǎng)江特聘教授 (2009)，國(guó)家自然科學(xué)二等獎(jiǎng) (2009)，入選國(guó)家萬(wàn)人計(jì)劃--領(lǐng)軍人才（2013）。

宗傳明曾應(yīng)邀在中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)2011年會(huì)作大會(huì)報(bào)告，在世界密碼協(xié)會(huì)2012亞洲會(huì)議(Asiacrypt2012)作一小時(shí)大會(huì)報(bào)告，是世界密碼協(xié)會(huì)亞洲會(huì)議歷史上第一位來(lái)自中國(guó)大陸的大會(huì)報(bào)告人（該系列會(huì)議自1990年開(kāi)始，此前的華裔大會(huì)報(bào)告人有姚期智等）。

2007年間，宗傳明曾被“愛(ài)貓”人士抨擊，記得當(dāng)時(shí)的檄文標(biāo)題是《強(qiáng)烈譴責(zé)北大數(shù)院宗傳明教授的虐貓暴行》。