楊正家老師《數(shù)學(xué)思想方法基礎(chǔ)探究》

我心飛揚(yáng)695 2015-09-02

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數(shù)學(xué)的概念、定義、定理等等都包含著數(shù)學(xué)的思想方法，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在很大程度上就是思想方法的學(xué)習(xí),是思考的學(xué)習(xí)。

我們的課程，就是對數(shù)學(xué)思想方法中一些問題展開分析思考，糾正一些思維的偏差，加強(qiáng)一些思維的深度，拓寬一些思維的聯(lián)系，通過這門課程的學(xué)習(xí)，希望能夠有助數(shù)學(xué)教師于更加透徹理解教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，更加透徹理解數(shù)學(xué)本身的規(guī)律，進(jìn)一步有助于數(shù)學(xué)教學(xué)的改進(jìn)。

我們的課程形式是以問題的形式來顯示，沒有系統(tǒng)性。但是我非常希望有啟發(fā)性，通過我們課程里面的一些問題的思考、改進(jìn)，啟發(fā)大家進(jìn)一步思考，發(fā)現(xiàn)問題，深入研究，提高認(rèn)識。改進(jìn)教學(xué)——楊正家老師寄語

問題七、方程的根有幾個?

我們知道當(dāng)判別式的值非負(fù)時，一元二次方程的根有兩個。這里其實(shí)包含著一個人為的約定，就是判別式為零時，重根的個數(shù)按照重?cái)?shù)計(jì)算。事實(shí)上判別式的值為負(fù)時，一元二次方程的根也是兩個，只是這兩個根是虛數(shù)。

那么為什么一元二次方程的重根的個數(shù)要按重?cái)?shù)計(jì)算呢？

我們經(jīng)常被問一元高次方程的根有幾個？

方程組的解有幾個？

怎樣的方程重根的個數(shù)要按重?cái)?shù)來計(jì)算呢？

分式方程、無理方程的根有幾個？等等。

為什么一元二次方程的判別式為 0 時要說方程有兩個根？

這就要回溯代數(shù)基本定理。

代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元 n 次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根(n≥1)?；蛘呖梢赃@樣敘述：任何復(fù)系數(shù)一元 n 次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有 n 個根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。

代數(shù)基本定理在代數(shù)乃至整個數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)性的作用。據(jù)說，關(guān)于代數(shù)學(xué)基本定理的證明，現(xiàn)有 200 多種證法。

這里我們就明白了一個道理，重根按重?cái)?shù)來計(jì)算的方法只是對一元整式方程有意義。是對一元 n 次整式方程根的個數(shù)情況的遷就，是為了符合代數(shù)基本定理的一種約定。

對于其他方程，一般說來，由于不再有代數(shù)基本定理的約束，重根沒有必要按重?cái)?shù)計(jì)算了，就按照一個根來計(jì)算，因?yàn)檫@個時候重根再按重?cái)?shù)計(jì)算就沒什么意義、沒什么必要了。

分析：先化為一元二次方程，然后討論這個一元二次方程根的情況，第一，判別式為零，但是根不為 0，也不為 2；第二，判別式大于 0，有一個根為 0，且另一根不為 2；第三，判別式大于 0，有一個根為 2，且另一根不為 0。

對于方程組、對于無理方程的解的個數(shù)，以及對于冪、指、對方程，也都沒有必要按重?cái)?shù)計(jì)算了。

根據(jù)曲線與方程的關(guān)系，研究解的個數(shù)相當(dāng)于研究曲線公共點(diǎn)的個數(shù)，實(shí)際上，當(dāng)我們研究公共點(diǎn)的個數(shù)的時候，我們是不區(qū)分這一公共點(diǎn)到底是交點(diǎn)還是切點(diǎn)，換句話說，切點(diǎn)也被認(rèn)定是一個公共點(diǎn)的。這樣就和我們剛才的代數(shù)方法的解釋一致了。

問題八、分式方程、無理方程増根的原因是什么？

關(guān)于增根問題，我們主要討論兩件事情：一是增根產(chǎn)生的原因。二是人為要求增根問題的價值。

首先討論増根的原因。

對于無理方程、分式方程，我們都發(fā)現(xiàn)會產(chǎn)生増根。

我們研究一下増根產(chǎn)生的原因。

教材是這樣說的：

分式方程去分母之后，化為整式方程，未知數(shù)的范圍被擴(kuò)大了，所以可能產(chǎn)生増根。

無理方程有理化之后，化為整式方程，未知數(shù)的范圍被擴(kuò)大了，所以可能產(chǎn)生増根。

這樣的說法是不是正確呢？

到底是什么原因?qū)е聼o理方程的増根呢？

說明：

1、直覺解法：將-√(2x+8)項(xiàng)移項(xiàng)后平方，比較學(xué)生所采用的不同解法的優(yōu)劣。

2、探索改進(jìn)。從移項(xiàng)來說，三種方法，有一種最簡便。

3、找到系數(shù)規(guī)律：盡量尋求含未知數(shù)項(xiàng)能夠相互抵消的方法。

4、檢驗(yàn)的時候發(fā)現(xiàn)，當(dāng) x2=-7時，方程的被開方數(shù)成為負(fù)數(shù)，必須舍去。

本題印證了教材的増根原因的說法。

說明：

1.直接平方比較麻煩，可以把一個根式移到右邊后再平方，減少一些運(yùn)算量。

2.但是不管移項(xiàng)不移項(xiàng)，都會產(chǎn)生一個增根。當(dāng) x2=22時，方程兩邊不相等了。

3.那么怎么產(chǎn)生增根的呢。仔細(xì)審查求解的每一步，可以發(fā)現(xiàn)其他方程√(3x-2)-√(x+3)=3的解被混進(jìn)來了，當(dāng)然要剔除掉的。

其次討論人為要求增根問題的價值。

現(xiàn)在我們來反思這一解法。

看來，方程的増根的產(chǎn)生是與解法有關(guān)系的。

從這個意義上說，可以得出五個結(jié)論，一是，増根與解法有關(guān)；二是，使得分母為零的未知數(shù)的值都可以成為増根；三是，參數(shù)（比如 k）取任何實(shí)數(shù)，原方程都會有増根；四是，實(shí)際上，對于任何分式方程，如果兩邊同乘以 x-p，而且 x=p時分母不為零。一定可以求出一個根 x=p ，這個根可能就是增根，所以，不使得分母為零也有可能是分式方程的增根；五是，以后這樣人為要有増根，反求參數(shù)的題目最好不要再出了。這樣的問題其實(shí)是沒有意義的。

現(xiàn)在我們再來討論一下無理方程的増根問題。

對于“當(dāng) k為何值時，無理方程有増根”這樣的問題，我們可以分析如下，設(shè) f (x)=0 是無理方程，為了解這個方程，我們可以兩邊同乘以x-a，得

（x-a) f (x)=0，進(jìn)而可以解出 x=a，由于我們沒有遵照方程同解原理求解，所以，對于無理方程，我們可以得出兩個結(jié)論，第一，k 取任何實(shí)數(shù)時方程都會有増根；第二，k 取任何實(shí)數(shù)時，可以讓任何實(shí)數(shù) a（不是原方程的根）成為任何無理方程的増根。面對這樣的結(jié)論，我們?nèi)藶橹圃靿埜膯栴}也沒有什么研究的意義了。

最后，談?wù)剦埜c方程同解原理的關(guān)系。 我們一直認(rèn)為整式方程不要驗(yàn)根，分式方程、無理方程要驗(yàn)根，事實(shí)上，問題的核心不在這里，即使一元二次方程（x-1)(x-2)=0，我也可以兩邊乘以 x+1，得到，(x +1)(x-1)(x-2)=0，從而解得 x=-1這個増根的。問題的關(guān)鍵是，方程的求解過程如果能夠根據(jù)方程同解原

理求解，那么就不會產(chǎn)生増根，不需要驗(yàn)根，整式方程就做得到，所以整式方程根據(jù)同解原理求解就不需要驗(yàn)根，如果沒有按照通解原理求解，也要驗(yàn)根，而且驗(yàn)根時還會遭遇增根還是失根的問題。而分式方程、無理方程如果能夠根據(jù)同解原理求解，也不需要驗(yàn)根，遺憾的是，我們做不到，所以可能產(chǎn)生増根，所以要驗(yàn)根。

歸根到底兩句話，有沒有増根很大程度上是基于解法的。不產(chǎn)生増根是基于同解原理的。產(chǎn)生増根很大程度上是由于不能基于方程同解原理，因此不基于同解原理的不同解法會導(dǎo)致不同的増根，但是有些方程，不管用什么方法都避不了有増根。

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