作者： 阮一峰

　　大多數(shù)人在高中，或者大學(xué)低年級(jí)，都上過一門課《線性代數(shù)》。這門課其實(shí)是教矩陣。

　　剛學(xué)的時(shí)候，還蠻簡(jiǎn)單的，矩陣加法就是相同位置的數(shù)字加一下。

　　矩陣減法也類似。

　　矩陣乘以一個(gè)常數(shù)，就是所有位置都乘以這個(gè)數(shù)。

　　但是，等到矩陣乘以矩陣的時(shí)候，一切就不一樣了。

　　這個(gè)結(jié)果是怎么算出來的？

　　教科書告訴你，計(jì)算規(guī)則是，第一個(gè)矩陣第一行的每個(gè)數(shù)字（2 和1），各自乘以第二個(gè)矩陣第一列對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字（1 和1），然后將乘積相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到結(jié)果矩陣左上角的那個(gè)值3。

　　也就是說，結(jié)果矩陣第m行與第n列交叉位置的那個(gè)值，等于第一個(gè)矩陣第m行與第二個(gè)矩陣第n列，對(duì)應(yīng)位置的每個(gè)值的乘積之和。

　　怎么會(huì)有這么奇怪的規(guī)則？

　　我一直沒理解這個(gè)規(guī)則的含義，導(dǎo)致《線性代數(shù)》這門課就沒學(xué)懂。研究生時(shí)發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)是向量計(jì)算的基礎(chǔ)，很多重要的數(shù)學(xué)模型都要用到向量計(jì)算，所以我做不了復(fù)雜模型。這一直讓我有點(diǎn)傷心。

　　前些日子，受到一篇文章的啟發(fā)，我終于想通了，矩陣乘法到底是什么東西。關(guān)鍵就是一句話，矩陣的本質(zhì)就是線性方程式，兩者是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。如果從線性方程式的角度，理解矩陣乘法就毫無(wú)難度。

　　下面是一組線性方程式。

　　矩陣的最初目的，只是為線性方程組提供一個(gè)簡(jiǎn)寫形式。

　　老實(shí)說，從上面這種寫法，已經(jīng)能看出矩陣乘法的規(guī)則了：系數(shù)矩陣第一行的 2 和1，各自與 x 和 y 的乘積之和，等于3。不過，這不算嚴(yán)格的證明，只是線性方程式轉(zhuǎn)為矩陣的書寫規(guī)則。

　　下面才是嚴(yán)格的證明。有三組未知數(shù) x、y 和 t，其中 x 和 y 的關(guān)系如下。

　　x 和 t 的關(guān)系如下。

　　有了這兩組方程式，就可以求 y 和 t 的關(guān)系。從矩陣來看，很顯然，只要把第二個(gè)矩陣代入第一個(gè)矩陣即可。

　　從方程式來看，也可以把第二個(gè)方程組代入第一個(gè)方程組。

　　上面的方程組可以整理成下面的形式。

　　最后那個(gè)矩陣等式，與前面的矩陣等式一對(duì)照，就會(huì)得到下面的關(guān)系。

　　矩陣乘法的計(jì)算規(guī)則，從而得到證明。