浮點數(shù)在計算機中的表示

herowuking 2015-06-11

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浮點數(shù)在計算機中的表示

最后編輯于：2010-4-13
計算機中數(shù)字是以0和1二進制保存的，我們熟悉的是整數(shù)的如何在計算機中表示，那么浮點數(shù)是如何表示的呢？

一．    轉(zhuǎn)換
我們先來看看如何將十進制的浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制。
一個十進制的浮點數(shù)，例如：abcd.efg (其中a~g為0..9)，其值用多項式為：
a*10^3 + b*10^2 + c*10^1+d*10^0+e*10^(-1)+f*10^(-1)+g*10^(-3)。

而一個二進制的浮點數(shù)，我們也將其表示成：abcd.efg (其中a~g為0或1)，其值表示為：
a*2^3 + b*2^2 + c*2^1+d*2^0+e*2^(-1)+f*2^(-1)+g*2^(-3)。

我們看到底由十進制時的10換成了二進制時的2了，其它都一樣。所以一個十進制的浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制必須分兩步進行：整數(shù)部分和小數(shù)部分。
1.    對于整數(shù)部分，和以前的整數(shù)轉(zhuǎn)換是一樣的。
2.    對于小數(shù)部分，比較特殊。下面講兩種轉(zhuǎn)換方法。
方法一：依次與2^(-n)作比較（n從1開始），若大于該值則為1，且減去此值，否則為0；然后繼續(xù)下一輪比較。舉例說明：將0.842356轉(zhuǎn)換成二進制：

此時，你會發(fā)現(xiàn)比較將會是無窮無盡的。如果你截取到某位，必須做一些取舍。取舍的標準是：其后一位若為1則進1；后一位為0則不進。 還是以上面為例，若要截取9位，因為第10位為0，故不進位，則最終的結(jié)果為：0.110101111 ；若要截取到8位，因為第9位為1，故要進位，則最終的結(jié)果為：0.110110000 （即0.1101101111 + 0.0000000001）。從這個例子可以看出十進制小數(shù)的轉(zhuǎn)換成二進制時只是一個近似值。其實大部分浮點數(shù)保存在計算機中都只是一個近似值。至于是稍微大于原值還是稍微小于原值，要看截取時有無進位。

方法二：若在計算機中計算方法一的過程，因為2^(-n)本身就是一個浮點數(shù)，而浮點數(shù)之間的比較和計算難免有誤差。所以我想到了下面這個方法：
1）    首先生成首數(shù)字為1、后面0的個數(shù)為小數(shù)位數(shù)的基準數(shù)，比如0.254的基準數(shù)為1000、0.00353的基準數(shù)為100000。
2）    將小數(shù)部分乘以上面的基準數(shù)，這樣得到一個整數(shù)。
3）    對該整數(shù)乘以2，若積大于基準數(shù)，則為1，同時將積減去基準數(shù)后得新的整數(shù)；若積小于基準數(shù)，則為0。
4）    用新的整數(shù)重復(fù)步驟3，直到整數(shù)為0或者到需要的精確位數(shù)，作取舍后結(jié)束。

舉例說明：將0.842356轉(zhuǎn)換成二進制，基準數(shù)為1000000，轉(zhuǎn)換成整數(shù)為842356，

此法可以有效地避免浮點數(shù)的比較，能方便且快捷地獲得對應(yīng)的二進制值。

二．存儲
現(xiàn)在已轉(zhuǎn)換成浮點二進制了，那么如何在計算機中表示呢？這要說到科學(xué)計數(shù)法，這個大家比較熟悉。十進制的科學(xué)計算法可以表示成如下：(-1)^s * M * 10^E ，S表示符號：S為1表示負數(shù)；0為正數(shù)。M成為尾數(shù)，其范圍為1<=M <10 。E被成為冪，也叫指數(shù)。

二進制的科學(xué)計數(shù)法，也是IEEE的浮點數(shù)標準格式，和十進制格式一樣：(-1)^s * M * 2^E 。M的范圍1<= M <2。將一個二進制浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成科學(xué)計算法很簡單，例如：
1）10001.110001 小數(shù)點左移4位后成 (-1)^0 * (1.0001110001) * 2 ^ 4.
2） -0.000010001 小數(shù)點右移4位后成(-1)^1 * (1.0001) * 2 ^ ( – 4)

在計算機中，表示浮點數(shù)由兩種常用的格式：單精度浮點數(shù)和雙精度浮點數(shù)，它們在精度上有所差別，同時所需要的空間也有差別：

1）    當(dāng)為負數(shù)時，符號位為1，否則為0。
2）    指數(shù)有正數(shù)亦有負數(shù)，這里保存時使用了加偏移量的方法：8位指數(shù)位的指數(shù)范圍為-127~128，其偏移量為127；11位指數(shù)范圍為-1023~1024，其偏移量為1023。保存時指數(shù)加上偏移量，可以避免負數(shù)問題；取值時再減去偏移量就行了。
3）    因為尾數(shù)1<=M<2，就是說小數(shù)點前面總是有一個1。為了節(jié)省空間，將此處的1省去，直接將小數(shù)點后面的部分放入到小數(shù)部分（這也是這部分為什么叫“小數(shù)部分”，而不是“尾數(shù)部分”的原因）。

舉一例：將12.842356保存成單精度浮點格式。
1）    首先將它轉(zhuǎn)換成二進制格式：1100.11010111101001001010，后面位直接截去。
2）    轉(zhuǎn)換成科學(xué)計數(shù)法格式：1. 10011010111101001001010。右移3位于是指數(shù)為3+127=130，二進制為10000010。
3）    于是符號位為0，指數(shù)為：10000010，小數(shù)去掉前面的1后為10011010111101001001010。這些二進制就是最終保存在電腦里的格式：0 10000010 10011010111101001001010，十六進制格式為：0x414D7A4A。

三．    SQL SERVER中的浮點數(shù)
SQL SERVER浮點數(shù)有float和real兩種。Float類型定義格式：float [ ( n ) ]。 n 為用于存儲科學(xué)記數(shù)法 float 數(shù)尾數(shù)的位數(shù)，同時指示其精度和存儲大小。n 必須為從 1 到 53 之間的值。
   精度與存儲字節(jié)之間的關(guān)系：

在 SQL Server 中，real 的同義詞為 float(24)。

比起其他的精確數(shù)值類型，浮點數(shù)的優(yōu)點是保存的數(shù)值大。比如單精度由于其指數(shù)為8位，故其最大值約為1.1 * 2^128 = 3.4 * 10^38；雙精度其指數(shù)為11位，故其最大值約為1.1 * 2^1024 = 1.79 * 10^308。

當(dāng)然，浮點數(shù)的最大缺點就是數(shù)據(jù)的近似值保存。就是這個原因，導(dǎo)致了下面的一個小小的問題。
四．    SQL SERVER中浮點數(shù)的一個問題
因為float和real格式只能保存近似值，除非要保存特別大的數(shù)值，否則推薦使用精確數(shù)值類型。下面說說在SQL SERVER中遇到的一個浮點問題，其實這也是為什么寫這篇文章的原因。最近有人問下面這個問題：

Declare @a, @b float
Set @a = 1.465
Set @b = 2.465
Select round(@a, 2), round(@b, 2)

結(jié)果分別為1.47和2.46，這是為什么？
上文中我們說過，大部分浮點數(shù)保存在計算機中都只是一個近似值。小數(shù)部分轉(zhuǎn)化成二進制時，會根據(jù)情況截去或進位。
1.465保存到計算機中時，小數(shù)的最后一位需要進位（結(jié)果為0x3FF770A3D70A3D71），這就造成了保存的值比實際的1.465稍微大一點。0x3FF770A3D70A3D71轉(zhuǎn)換成十進制后值約為1.4650000000000001。
而2.465卻正好相反，它在保存到計算機中時，小數(shù)的最后一位后面直接截掉（結(jié)果為0x4003B851EB851EB8），這就造成了保存的值比實際的2.465稍微小一點。0x4003B851EB851EB8轉(zhuǎn)換成十進制后值約為2.4649999999999999。

Round函數(shù)只是對保存的值進行了四舍五入，沒有任何問題。若選擇使用精確數(shù)值類型，可以有效地避免這種問題的發(fā)生。

五．    參考文獻
1.    http://blog.csdn.net/YUKUILONGQQ/archive/2008/10/27/3157627.aspx
2.    http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c7fa77b01000ai2.html