【昨天趙老師命“談?wù)勄鸪赏保?/font>正好丘老師新寫了一本The Shape of the Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions, Basic Books, 2010，講他自己的發(fā)現(xiàn)，特別是Calabi-Yau空間和超弦理論。這兒選幾段他談“幾何分析”的文字（原書第三章），這些自述文字也許能為當(dāng)代數(shù)學(xué)史添加幾分趣味。（隨看隨譯的，省略號是刪節(jié)的地方；一定有不少錯(cuò)誤或疏忽，請批判。）】
盡管幾何學(xué)歷史悠久，成果輝煌，我們也別忘了它不是一成不變的，而是演進(jìn)的，在不斷地自我更新。其中，新近的一個(gè)變革已經(jīng)在弦理論初露鋒芒，它叫幾何分析，是近幾十年才大行其道的方法。大致說來，這方法的目標(biāo)是，發(fā)揮數(shù)學(xué)分析（微積分的高等形式）方法的威力來認(rèn)識幾何現(xiàn)象，反過來也憑借幾何的直覺來理解分析。這當(dāng)然不會是幾何的最后變革——像我們說的其他革命一樣——幾何分析已然取得了很多令人難忘的成功。
我本人從1969年進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域的，那是在伯克利讀研究生的第一學(xué)期。我想在圣誕假期讀一本書，我沒選什么Portnoy’s Complaint，The Godfather,，The Love Machine，或The Andromeda Strain——它們是當(dāng)年的暢銷書，而是找了本不太通俗的《莫爾斯理論》，是美國數(shù)學(xué)家Milnor的講義。我特別感興趣的是Milnor關(guān)于拓?fù)浜颓实恼鹿?jié)，它發(fā)掘了局域曲率會極大影響幾何和拓?fù)涞乃枷?。那是我一直探求的問題，因?yàn)榍娴木钟蚯适峭ㄟ^曲面的導(dǎo)數(shù)來確定，這等于說它就是以分析為基礎(chǔ)的。于是，曲率如何影響幾何，就成了幾何分析的核心問題。
那時(shí)候我沒有辦公室，幾乎就住在伯克利的數(shù)學(xué)圖書館。有人說我剛到美國做的頭一件事情就是去那個(gè)圖書館，而不像其他人那樣去逛舊金山。四十年過去了，我自己都記不清做了什么，所以也沒理由懷疑那個(gè)傳說。我像往常一樣，徜徉在圖書館，閱讀能拿到的每一本雜志。寒假時(shí)，我在參考書部找書，偶然看見了Milnor1968年的一篇文章，那時(shí)還在讀他那本講義。文章提到Alexandre Preissman定理，又引起了我的興趣。因?yàn)闊o事可做（很多人都出去度假了），我就想看看自己能不能試著證明Preissman定理的一些東西。Preissman考察了給定曲面上的兩個(gè)非平凡圈A和B。圈就是一條曲線，從曲面某一點(diǎn)出發(fā)，以某種方式纏繞曲面，然后回到起點(diǎn)?！胺瞧椒病笔钦f那個(gè)圈不能在曲面上收縮到一點(diǎn)。
…… ……
我的定理比Preissman的更普遍些，它適用于曲率為非正（即可以為負(fù)，在某些地方也可以為零）的空間。為證明這種更一般的情形，我需要用群論，以前它與拓?fù)浜臀⒎謳缀芜€沒發(fā)生聯(lián)系?！?/font>考慮的群（即大家知道的基本群）的元素由曲面上的圈組成，如前面提到的A圈和B圈。具有非平凡圈的空間，也有非平凡的基本群（反過來說，假如每個(gè)圈都能收縮到一點(diǎn)，我們就說空間有一個(gè)平凡的基本群。）我證明，如果兩個(gè)元素是交換的，A× B = B ×A，那么在曲面內(nèi)部必然存在一個(gè)低維的“子曲面”——特別是一個(gè)環(huán)面……
在我的定理（基于Preissman的工作）的情形，那兩個(gè)圓由圈A和B代表。Preissman和我的工作都是技術(shù)性很強(qiáng)的，可能顯得晦澀。但重要的是，我們兩個(gè)的論證都說明了曲面的整體拓?fù)鋾绾斡绊懰恼w幾何，而不僅是局域的幾何。之所以如此，是因?yàn)槿υ谶@個(gè)例子中決定了基本群，而基本群是空間的整體而非局域的特征。為說明一個(gè)圈可以連續(xù)變形為另一個(gè)圈，我們必須在整個(gè)曲面上移動，這就使它成為空間的整體性質(zhì)。實(shí)際上，這正是當(dāng)今幾何學(xué)的一個(gè)主要課題——探究給定的拓?fù)淠苤С质裁搭愋偷恼w幾何結(jié)構(gòu)。
……我發(fā)現(xiàn)，答案可能就在我上的一門非線性偏微分方程的課程里。講課的Charles Morrey教授給我留下了深刻印象。他的課，主題一點(diǎn)兒不新鮮，要求卻很高，是從他本人寫的一本教科書中選取的，根本就讀不下去。不久以后，別人都逃課了，只有我一個(gè)人留下。很多同學(xué)都跑出去抗議轟炸柬埔寨。不過，Morrey還是堅(jiān)持講他的課，而且顯然為備課付出了大量心血，即使課堂上只有一個(gè)學(xué)生。Morrey是偏微分方程的大師，他發(fā)展的技術(shù)十分深刻。坦白說，Morrey的課為我后來的數(shù)學(xué)生涯打下了良好的基礎(chǔ)。
……幾何也需要微分方程。我們用這種方程來度量物體的曲率及其變化方式。這使得幾何也成為物理學(xué)的基本需求。舉一個(gè)簡單的例子：滾動的球是否加速——即速度是否隨時(shí)間變化——完全取決于球的軌跡的曲率。因?yàn)檫@一點(diǎn)，曲率才與物理學(xué)那么密切相關(guān)；也因?yàn)檫@一點(diǎn)，幾何——關(guān)于曲率的“空間的科學(xué)”——才會在那么多的物理學(xué)領(lǐng)域有用武之地。物理學(xué)的基本定律是局域的，意思是它們可以描述特殊區(qū)域（局域化）的行為，而不能同時(shí)描述不同地方的行為。即使對試圖描述整個(gè)時(shí)空曲率的廣義相對論，也是如此。畢竟，描述曲率的微分方程都是對單個(gè)點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)。這就給物理學(xué)帶來一個(gè)問題?！八?，你用局域的如曲率之類的信息去判斷整個(gè)事物的結(jié)構(gòu)，”洛杉磯加州大學(xué)的數(shù)學(xué)家Robert Greene說，“問題在于怎么做?！?
……“曲率主宰拓?fù)洹笔俏覀儙缀螌W(xué)家信奉的基本口號，而我們借以實(shí)現(xiàn)那個(gè)目標(biāo)的工具就是微分方程。幾何分析——這是相對新近的發(fā)展，我們馬上就會說它——將這一思想推得更遠(yuǎn)，但在幾何里融入微分方程的一般方法已經(jīng)發(fā)展幾百年了，幾乎可以追溯到微積分的起源。十八世紀(jì)的瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉就是這個(gè)領(lǐng)域的最早開拓者之一。
歐拉的眾多成就之一，就是將偏微分方程用于三維空間曲率的系統(tǒng)研究。200多年過去了，我們今天在很多方面都還沿著歐拉的腳步走。實(shí)際上，歐拉是第一個(gè)考察非線性方程的，而那些方程是今天幾何分析的核心。非線性方程很難求解，部分是因?yàn)樗鼈兠枋龅那樾翁珡?fù)雜。一方面，非線性系統(tǒng)本來就比線性系統(tǒng)更難預(yù)測——天氣就是大家熟悉的例子——因?yàn)槌跏紬l件的細(xì)微變化可能導(dǎo)致迥然不同的結(jié)果。也許最有名的說法就是混沌理論的所謂蝴蝶效應(yīng)，它夢幻地指出，蝴蝶在世界某個(gè)角落閃動一下翅膀，它產(chǎn)生的氣流就可能令人驚愕地在其他地方引起一場龍卷風(fēng)。
……用線性的數(shù)學(xué)來逼近非線性的世界，是普遍的做法，不過，它當(dāng)然改變不了世界的本質(zhì)是非線性的事實(shí)。為了真正認(rèn)識它的意義，我們需要融通幾何與非線性方程的技術(shù)。那就是我們所說的幾何分析，這種方法有助于弦理論，也將有助于新近的數(shù)學(xué)。我不想讓人覺得幾何分析始于1970年代，當(dāng)時(shí)我在這個(gè)方法上耗費(fèi)了很大心力。在數(shù)學(xué)中，沒有誰能說他從零開始啟動了什么事情。幾何分析的思想，從某種意義說要回溯到十九世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家龐加勒的工作，而他又是站在黎曼和其他前輩們的基礎(chǔ)上。我的很多前輩數(shù)學(xué)家又接著做出了關(guān)鍵性的貢獻(xiàn)，所以到我入場時(shí)，非線性分析領(lǐng)域差不多已經(jīng)瓜熟蒂落了。
二維非線性偏微分方程（這里指我們所說的橢圓型方程）理論已經(jīng)由Morrey, Aleksei Pogorelov等人建立起來了。1950年代，Ennio De Giorgi 和 John Nash為解決更高維（實(shí)際上是任意維）的這類方程鋪平了道路。后來，如Morrey和Louis Nirenberg等人，在高維理論又取得了新進(jìn)展，這就是說，我走進(jìn)這個(gè)領(lǐng)域，趕上了好時(shí)候，正好用這些技術(shù)區(qū)解決幾何問題。雖然我和我的同事們在1970年代用的那種方法不算嶄新的，但我們的重點(diǎn)不同。對Morrey那種興趣的人來說，偏微分方程本身就是基本的——研究它是因?yàn)樗烂睿灰驗(yàn)樗悄硞€(gè)目的的工具。他對幾何發(fā)生興趣，也主要是把它看成有趣的微分方程的源泉，他也這樣看某些物理領(lǐng)域。盡管我們都對這些方程的威力感到敬畏，我們的目標(biāo)卻幾乎是相反的。我不想從幾何汲取非線性方程，而是想用這些方程來解決以前束手無策的幾何問題。
直到1970年代，多數(shù)幾何學(xué)家都一直回避非線性方程，但我們一幫年輕人可不想被嚇倒。我們下決心學(xué)會所有的東西，掌握那些方程，然后以系統(tǒng)的方式發(fā)揮它們的作用。我可以說，也許聽起來不那么謙虛，我們的計(jì)劃成功了，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了我原來的想象。這些年來，我們設(shè)法通過幾何分析解決了很多其他方法無能為力的重大問題。帝國學(xué)院的數(shù)學(xué)家Simon Donaldson指出，“幾何與[偏微分方程]理論的結(jié)合，為過去四分之一世紀(jì)的一大片領(lǐng)域定了基調(diào)。”那么，我們在幾何分析里做了什么呢？從我能想到的一個(gè)最簡單例子說起。假設(shè)你畫一個(gè)圓，然后拿它與周長略小的任意一個(gè)圈或閉合曲線比較——它可以是你不小心丟在桌上的一根橡皮圈兒。兩個(gè)圈顯然不同，形狀也不同。但你可以想象橡皮圈能很容易地變形（或拉伸）成一個(gè)圓——而且可以與你畫的那個(gè)圓一樣。很多辦法都能做到這一點(diǎn)。問題在于，什么辦法最好？有沒有一個(gè)辦法，始終那么好，使曲線不會在變形過程中扭曲或打結(jié)？你能找到一個(gè)系統(tǒng)的方法，無需反復(fù)試驗(yàn)，就能讓不規(guī)則曲線變成圓嗎？
幾何分析可以利用任意曲線（如我們例子中的橡皮筋）的幾何來規(guī)定將曲線變成圓的方式，但那個(gè)過程不應(yīng)該是任意的。圓的幾何應(yīng)該確定一種精確的而且也更令人接受的正則方式來得到一個(gè)圓。（對數(shù)學(xué)家來說，正則是“唯一”的打折扣的說法。有時(shí)“唯一”顯得太強(qiáng)了。假如你想從北極到南極，有很多連接兩點(diǎn)的大圓，每個(gè)大圓都是最短路徑，但都不是唯一的，我們就說它們是正則的。）在高維情形，我們可以提出同樣的問題。這時(shí)我們不用圓和橡皮筋，而是比較光滑的球（如充滿氣的籃球）和泄了氣的凹凸不平的球。辦法還是將那個(gè)泄了氣的球變成圓球。當(dāng)然，我們可以給它打氣，但怎么用數(shù)學(xué)方法做呢？與打氣等價(jià)的數(shù)學(xué)，在幾何分析里就是微分方程，它描述了物體形狀通過微小連續(xù)的變化而變化的動力機(jī)制。只要確定了起點(diǎn)（如泄了氣的皮球），認(rèn)準(zhǔn)了恰當(dāng)?shù)奈⒎址匠?，問題就解決了。
當(dāng)然，困難在于找到正確的微分方程。實(shí)際上，有時(shí)甚至需要確定是否存在滿足任務(wù)的方程。（幸運(yùn)的是，Morrey等人已經(jīng)建立了分析這些方程的工具——那些工具能告訴我們求解的問題是否有解；如果有，那么解是否唯一。）我剛才講的那類問題屬于所謂幾何流的一大類問題。這類問題曾用于解決世紀(jì)難題龐加勒猜想（本章后面講），所以受到了極大的關(guān)注。但我要強(qiáng)調(diào)的是，這類問題只不過是我們現(xiàn)在所說的幾何分析領(lǐng)域的一小塊，整個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用范圍要廣闊得多。俗話說，只要手拿錘子，眼里就盡是釘子了?；镜乃悸肥?，找到適合特定攻擊路線的那些已經(jīng)得到了最好研究的問題。我們能用幾何分析解決的一類重要問題，是那些涉及極小曲面的問題。這些問題都是釘子，而幾何分析有時(shí)就是那把完美的錘子。
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