整數(shù)開平方算法

molei 2015-04-03

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本算法只采用移位、加減法、判斷和循環(huán)實現(xiàn)，因為它不需要浮點運算，也不需要乘除運算，因此可以很方便地運用到各種芯片上去。

我們先來看看10進制下是如何手工計算開方的。
先看下面兩個算式，

x = 10*p + q (1)

公式(1)左右平方之后得：

x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)

現(xiàn)在假設(shè)我們知道x^2和p，希望求出q來，求出了q也就求出了x^2的開方x了。
我們把公式(2)改寫為如下格式：

q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)

這個算式左右都有q，因此無法直接計算出q來，因此手工的開方算法和手工除法算法一樣有一步需要猜值。

我們來一個手工計算的例子：計算1234567890的開方

首先我們把這個數(shù)兩位兩位一組分開，計算出最高位為3。也就是(3)中的p，最下面一行的334為余數(shù)，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值

       3
    ---------------
    | 12 34 56 78 90
       9
    ---------------
    |  3 34

下面我們要找到一個0-9的數(shù)q使它最接近滿足公式(3)。我們先把p乘以20寫在334左邊：

       3  q
    ---------------
    | 12 34 56 78 90
       9
    ---------------
  6q|  3 34

我們看到q為5時(60+q*q)的值最接近334，而且不超過334。于是我們得到：

       3  5
    ---------------
    | 12 34 56 78 90
       9
    ---------------
  65|  3 34
    |  3 25
    ---------------
          9 56

接下來就是重復(fù)上面的步驟了，這里就不再啰嗦了。

這個手工算法其實和10進制關(guān)系不大，因此我們可以很容易的把它改為二進制，改為二進制之后，公式(3)就變成了：

q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)

我們來看一個例子，計算100(二進制1100100)的開方：

      1  0  1  0
    ---------------
    | 1 10 01 00
      1
    ---------------
 100| 0 10 
    | 0 00 
    ---------------
    |   10 01
1001|   10 01
    ---------------
            0 00

這里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移兩位，而由于q的值只能為0或者1，所以我們只需要判斷余數(shù)(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小關(guān)系，如果余數(shù)大于等于(4*p+q)那么該上一個1，否則該上一個0。

下面給出完成的C語言程序，其中root表示p，rem表示每步計算之后的余數(shù)，divisor表示(4*p+1)，通過a>>30取a的最高 2位，通過a<<=2將計算后的最高2位剔除。其中root的兩次<<1相當(dāng)于4*p。程序完全是按照手工計算改寫的，應(yīng)該不難理解。

unsigned short sqrt(unsigned long a){
  unsigned long rem = 0;
  unsigned long root = 0;
  unsigned long divisor = 0;
  for(int i=0; i<16; i++){
    root <<= 1;
    rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
    a <<= 2;
    divisor = (root<<1) + 1;
    if(divisor <= rem){
      rem -= divisor;
      root++;
    }
  }
  return (unsigned short)(root);
}