中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一常用的數(shù)學(xué)思想和方法 北師大版
一、常用的數(shù)學(xué)思想（數(shù)學(xué)中的四大思想）
1.函數(shù)與方程的思想
用變量和函數(shù)來(lái)思考問(wèn)題的方法就是函數(shù)思想，函數(shù)思想是函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)等知識(shí)更高層次的提煉和概括，是在知識(shí)和方法反復(fù)學(xué)習(xí)中抽象出的帶有觀念的指導(dǎo)方法。
深刻理解函數(shù)的圖象和性質(zhì)是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ)，運(yùn)用方程思想解題可歸納為三個(gè)步驟：①將所面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題；②解這個(gè)方程或討論這個(gè)方程，得出相關(guān)的結(jié)論；③將所得出的結(jié)論再返回到原問(wèn)題中去。
2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
在中學(xué)數(shù)學(xué)里，我們不可能把“數(shù)”和“形”完全孤立地割裂開(kāi)，也就是說(shuō)，代數(shù)問(wèn)題可以幾何化，幾何問(wèn)題也可以代數(shù)化，“數(shù)”和“形 ”在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透。
3．分類討論思想
在數(shù)學(xué)中，我們常常需要根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異。分各種不同情況予以考察，這是一種重要數(shù)學(xué)思想方法和重要的解題策略 ，引起分類討論的因素較多，歸納起來(lái)主要有以下幾個(gè)方面：（1）由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論；（2）由數(shù)學(xué)變形所需要的限制條件所引起的分類討論；（3）由于圖形的不確定性引起的討論；（4）由于題目含有字母而引起的討論。
分類討論的解題步驟一般是：（1）確定討論的對(duì)象以及被討論對(duì)象的全體；（2）合理分類，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，做到既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù) ；（3）逐步討論，分級(jí)進(jìn)行；（4）歸納總結(jié)作出整個(gè)題目的結(jié)論。
4.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想
等價(jià)轉(zhuǎn)化是指同一命題的等價(jià)形式.可以通過(guò)變量問(wèn)題的條件和結(jié)論，或通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷵Q轉(zhuǎn)化問(wèn)題的形式，或利用互為逆否命題的等價(jià)關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)。
常用的轉(zhuǎn)化策略有：已知與未知的轉(zhuǎn)化；正向與反向的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；一般于特殊的轉(zhuǎn)化；復(fù)雜與簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化。
二、常用的數(shù)學(xué)方法
主要有換元法、配方法和待定系數(shù)法三種。
三、例題解析
【例1】（2004年北京市東城區(qū)）解方程：x+1-3x+1=2．
解：設(shè)x＋1＝y(tǒng)，則原方程化為y-3y=2
去分母，得y2-2y-3=0．
解這個(gè)方程，得y1=-1,y2=3．
當(dāng)y＝－1時(shí)，x＋1＝－1，所以x＝－2；
當(dāng)y＝3時(shí)，x＋1＝3，所以x＝2．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2和x＝－2均為原方程的解．
〖點(diǎn)撥〗解分式方程通常是采用去分母或還元法化為整式方程，并特別要注意驗(yàn)根。
【例2】已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4）和點(diǎn)（5，0），則該拋物線的解析式為 。
〖解析〗∵函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2,∴b=-4a …①將點(diǎn)（1，4）、（5，0）的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4…② 25a+5b+c=0③.解①②③得a=-12,b=2,c=52.故拋物線的解析式為y=-12x2+2x+52.
〖點(diǎn)撥〗利用待定系數(shù)法可求函數(shù)的解析式、代數(shù)式及多項(xiàng)式的因式分解等符合題設(shè)條件的數(shù)學(xué)式。
【例3】（05年長(zhǎng)沙市）某通訊器材公司銷售一種市場(chǎng)需求較大的新型通訊產(chǎn)品．已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元，每年銷售該種產(chǎn)品的總開(kāi)支（不含進(jìn)價(jià)）總計(jì)120 萬(wàn)元．在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之問(wèn)存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
?、徘髖關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
?、圃噷懗鲈摴句N售該種產(chǎn)品的年獲利z（萬(wàn)元）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式（年獲利＝年銷售額一年銷售產(chǎn)品總進(jìn)價(jià)一年總開(kāi)支）．當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí)，年獲利最大？并求這個(gè)最大值；
?、侨艄鞠Ｍ摲N產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬(wàn)元，借助⑵中函數(shù)的圖象，請(qǐng)你幫助該公司確定銷售單價(jià)的范圍．在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
〖解〗：⑴設(shè)y=kx+b ，它過(guò)點(diǎn)(60，5)，(80，4)
∴5=60k+b4=80k+b 解得k=-120b=8
∴y=-120x+8,
⑵z=yx-40y-120=（-120x+8）（x-40）-120=-120x2＋10x-440;
∴當(dāng)x=100元時(shí)，最大年獲得為60萬(wàn)元．
?、橇顉=40，得40=-120x2＋10x-440，整理得：
x2-200x＋9600=0
解得：x1=80,x2=120，
由圖象可知，要使年獲利不低于40萬(wàn)元，銷售單價(jià)應(yīng)在80元到120元之間．…(8分)又因?yàn)殇N售單價(jià)越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬(wàn)元，銷售單價(jià)應(yīng)定為80元．
〖點(diǎn)撥〗解此類問(wèn)題，要仔細(xì)閱讀題目，理清思路，從而建立數(shù)學(xué)模型（函數(shù)模型）
【例4】（2007年福建漳州）如圖，已知矩形ABCD，AB=3，BC=3，在BC上取兩點(diǎn)E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點(diǎn)P在AD上，PE、PF分別交AC于點(diǎn)G、H．
?。?）求△PEF的邊長(zhǎng)；
?。?）在不添加輔助線的情況下，當(dāng)F與C不重合時(shí)，從圖中找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由；
（3）若△PEF的邊EF在線段BC上移動(dòng)．試猜想：PH與BE有何數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論．
[解] （1）過(guò)P作PQ⊥BC于Q
矩形ABCD
∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC
∴PQ=AB=3
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