題目  已知橢圓,直線,是上一點,射線交橢圓于點,又點在上,且滿足,當點在上移動時,求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.

這是1985年高考的一道解析幾何題,文[1]的兩個解法較繁運算量較大,本文筆者運用新課標教材知識內(nèi)容從極坐標和向量兩個角度切入給出兩個優(yōu)美解與大家分享.

優(yōu)美解1(極坐標法)如圖,依題意設三點的極坐標分別為.因點在橢圓上, 故有,所以①.

又點在直線上,所以有,即②.又由得③ .由①②③得,即,所以,化為直角坐標方程得.又點不能是坐標原點,所以不同時為零,故點的軌跡方程是(),即,其軌跡是中心為焦點在直線上的橢圓(坐標原點除外).

優(yōu)美解2(向量方法)依題意設,設,則,因點在直線上,故有即①.又點在橢圓上,所以有即②. 又由得即③.由①②③得,即,下同法1略.

問題是數(shù)學的心臟,問題解決是數(shù)學的核心和目標,簡單優(yōu)美是數(shù)學的更高追求,根據(jù)問題特點靈活選擇恰當?shù)姆椒ㄊ箚栴}得以輕松解決,可從中可體驗創(chuàng)造美、發(fā)現(xiàn)美、欣賞美的愉悅和成功.

參考文獻:

喬家瑞..特級教師點拔高考數(shù)學卷[M]..北京學苑出版社,1998年8月第二版.