1.（文19）設f（x）= 2 x³ + ax ² + bx + 1的導數為f ′（x） ，若函數y = f ′（x）的圖象關于直線x = - 對稱，且f ′（1）= 0.

（1）求實數a、b的值；

（2）求函數f（x）的極值.

【參考答案】

（1）因為f（x）= 2 x³ + ax ² + bx + 1，故f ′（x）= 6x² + 2ax + b.

從而f ′（x）= 6 ，即f ′（x）關于直線x = -對稱，

從而由題設條件知 -= -，解得a = 3.

又由于f ′（1）= 0，即6 + 2a + b = 0，解得b = - 12.

（2）由（1）知f（x）= 2 x³ + 3x ² - 12x + 1，f（x）= 6 x² + 6x -12 = 6（x + 2）（x - 1）.

     令f ′（x）= 0，即6（x + 1）（x - 2）= 0，解得x₁ = -2，x₂ = 1.

     當x∈（-∞，-2）時，f ′（x）＞0，故f（x）在（-∞，-2）上為增函數；

     當x∈（-2,1）時，f ′（x）＜0. 故f（x）在（-2，1）上為減函數；

當x∈（1, +∞）時，f ′（x）＞0，故f（x）在（1, +∞）上為增函數.

從而函數f（x）在x₁ = -2處取得極大值f（-2）= 21，在x₂ = 1處取得極小值f（1）= -6.

·巧思·

① 利用“曲線y = f ′（x）關于直線x += 0對稱”“f ′（x）中x ² 與x的系數相同”，以及“f ′（1）= 0”

“f ′（x）含有因式（x -1）”，立即可得a、b的值。

② 將f（x）化為2（x - c）²（x - d）+ m的形式，根據極值的定義可知，若c＜d，則f（c）= m為f（x）的極大值；若c＞d，則f（c）= m為f（x）的極小值。

·妙解·

（1）題設f ′（x）= 6x² + 2ax + b = 6（x² + x -2）a = 3, b = -12.

（2）f（x）= 2 x³ + 3x² - 12x + 1 =（x + 2）²（2x - 5）+ 21 =（x -1）²（2x + 7）- 6

 f（x）_max =  f（-2）= 21，f（x）_min = f（1）= - 6.

【評注】

① 先將f ′（x）由一般式化為“頂點式”，后與題設條件對照，是“由簡變繁”；而改為先將f ′（x）由條件決定的“頂點式”還原成一般式,，后與原式對照，則是“化繁為簡”，且縮減不少過程。

② 利用定義解題，是“返璞歸真、回歸自然”，可使學生進一步理解“極值”的含義。

③ 將f（x）變形的方法： 2 x³ + 3x² - 12x + 1 =（x - c）²（2x - d）+ m =2x ³ -（4c + d）x ² +（2cd + 2c²）x + n

  4c + d = -3，2cd + 2c² = -12c = - 2，d = 5, m = 21或c = 1， d = - 7，m = - 6。

2.（理20）橢圓的中心為原點O，離心率e =,一條準線的方程為x = 2.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設動點P滿足： ,其中M, N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為 -，問：是否存在兩個定點F₁、F₂，使得∣PF₁∣+∣PF₂∣為定值？若存在，求F₁、F₂的坐標；若不存在，說明理由.

【參考答案】

（1）…….

（2）設P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由得

（x，y）=（x₁，y₁）+ 2（x₂，y₂）=（x₁ + 2x₂，y₁ + 2y₂），即x = x₁ + 2x₂，y = y₁ + 2 y₂.

因為點M, N在橢圓x² + 2y² = 4上，所以+ 2= 4，+ 2= 4,

故x² + 2y² =（+ 4+ 4 x₁ x₂）+ 2（+ 4+ 4 y₁ y₂）

=（+ 2）+ 4（+ 2）+ 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）= 20 + 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）.

設k_OM、k_ON分別是直線OM、ON的斜率，由題設條件知

k_OM·k_ON = = -，因此x₁ x₂ + 2 y₁ y₂ = 0，所以x² + 2y² = 20.

所以P點是橢圓上的點.

設該橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，則由橢圓的定義知∣PF₁∣+∣PF₂∣為定值.

又因為c =，因此兩焦點的坐標為F₁（-，0），F₂（，0）.

·巧思·

① 將對x² + 2y²的表達式進行變形（得到20），改為對x²的表達式進行變形（得到20 - 2y²），更加自然。

② 將式子k_OM·k_ON = = -的出現放在前面，便顯得證明過程似“順流直下”，而不是“停停頓頓”。

·妙解·

設P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則題設+ 2 = + 2 = 4,

k_OM·k_ON = = -，且（x₀，y₀）=（x₁ + 2x₂，y₁ + 2y₂）

  =（x₁ + 2x₂）² =+ 4x₁ x₂ + 4 =（4 - 2）- 8 y₁ y₂ +（4 - 2）

= 20 -2（y₁ + 2 y₂）² = 20 - 2點P在橢圓上

存在點F₁（-，0），F₂（，0）滿足要求.

【評注】

① 正如在橢圓問題中，a、b、c就表示橢圓的半長軸、半短軸和半焦距，而無須另加說明，同樣，k_OM、k_ON就已表示直線OM、ON的斜率，也無須再“設k_OM、k_ON分別是直線OM、ON的斜率”。

②“參考答案”實際是“標準答案”，是為以后的教師教學和考生解題做示范的。因此，“參考答案”就應當考慮到考生的考試時間非常有限的問題，用盡可能簡潔的語句、作盡可能簡短的表述。

3.（文21）橢圓的中心為原點O，離心率e =,一條準線的方程為x = 2.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設動點P滿足： ,其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為 -，問：是否存在定點F，使得∣PF∣與點P到直線l：x=2的距離之比為定值？若存在，求F的坐標；若不存在，說明理由.

【參考答案】

（1）…….

（2）設P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由得

（x，y）=（x₁，y₁）+ 2（x₂，y₂）=（x₁ + 2x₂，y₁ + 2y₂），即x = x₁ + 2x₂，y = y₁ + 2 y₂.

因為點M, N在橢圓x² + 2y² = 4上，所以+ 2= 4,+ 2= 4,

故x² + 2y² =（+ 4+ 4 x₁ x₂）+ 2（+ 4+ 4 y₁ y₂）

=（+ 2）+ 4（+ 2）+ 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）= 20 + 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）.

設k_OM、k_ON分別是直線OM、ON的斜率，由題設條件知

k_OM·k_ON = = -，因此x₁ x₂ + 2 y₁ y₂ = 0，所以x² + 2y² = 20.

所以P點是橢圓上的點. 該橢圓的右焦點為F（，0），

離心率e =,直線l：x=2是該橢圓的右準線. 故根據橢圓的第二定義，

存在點F（，0），使得∣PF∣與點P到直線l：x = 2的距離之比為定值.

·巧思·

① 將對x² + 2y²的表達式進行變形（得到20），改為對x²的表達式進行變形（得到20 - 2y²），更加自然。

② 將式子k_OM·k_ON = = -的出現放在前面，便顯得證明過程“順流直下”，而不是“停停頓頓”。

·妙解·

設P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則題設+ 2 = + 2 = 4,

k_OM·k_ON = = -,且（x₀，y₀）=（x₁ + 2x₂，y₁ + 2y₂）

  =（x₁ + 2x₂）² =+ 4x₁ x₂ + 4 =（4 - 2）- 8 y₁ y₂ +（4 - 2）

= 20 -2（y₁ + 2 y₂）² = 20 -2點P在橢圓上，

直線l是該橢圓的右準線，而右焦點F（，0）滿足要求.

【評注】

① 正如在橢圓問題中，a、b、c就表示橢圓的半長軸、半短軸和半焦距，而無須另加說明，同樣，k_OM、k_ON就已表示直線OM、ON的斜率，也無須再“設k_OM、k_ON分別是直線OM、ON的斜率”。

②“參考答案”實際是“標準答案”，是為以后的教師教學和考生解題做示范的。因此，“參考答案”就應當考慮到考生的考試時間非常有限的問題，要用盡可能簡潔的語句，作盡可能簡短的表述。

4.（理21）設實數數列｛a_n｝的前n項和S_n滿足S_{n + 1} = a_{n + 1}S_n（n∈N﹡）.

（1）若a₁ ，S₂ ，-2a₂成等比數列，求S₂和a₃ ；

（2）求證：對k≥3有0≤a_{k + 1}≤a_k ≤.

【參考答案】

（1）…… S₂ = -2 … a₃ = .

（2）證法1：由題設條件有S_n + a_{n + 1} = a_{n + 1} S_n ，故

S_n ≠1，a_{n + 1}≠1，且a_{n + 1} = ，S_n =，從而對k≥3有

a_k ====.①

因- a_{k - 1} + 1 =+ ＞0且≥0，故由①得a_k≥0.

要證a_k ≤，由①只要證≤，即證3≤4（- a_{k - 1} + 1），

即（ - 2）²≥0，此式明顯成立.因此a_k ≤（k≥3）.

最后證a_{k + 1}≤a_k .若不然，a_{k + 1} =＞a_k ，又因a_k≥0 ，

故＞1，即（a_k -1）²＜0，矛盾. 因此a_{k + 1}≤a_k（k≥3）.

證法2：由題設知S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1} = a_{n + 1}S_n ，

故方程x² - S_{n + 1} x + S_{n + 1} = 0有根S_n 和 a_{n + 1}（可能相同）.

因此判別式⊿ =-4S_{n + 1}≥0.

又由S_{n + 2} = S_{n + 1} + a_{n + 2} = a_{n + 2} S_{n + 1}得a_{n + 2}≠1且S_{n + 1} =.

因此 - ≥0，即3- 4a_{n + 2}≤0,

解得0≤a_{n + 2}≤，因此0≤a_k≤（k≥3）.由a_k =≥0（k≥3）得

a_{k + 1} - a_k =- a_k = a_k= a_k

= -= -≤0，因此a_{k + 1}≤a_k（k≥3）.

·巧思·

① 將S_{n + 1} = a_{n + 1}S_n 中的a_{n + 1}代換成S_{n + 1} - S_n ，便得S_{n + 1} 與S_n 的兩種形式的關系式：（S_n -1）S_{n +1}= S_n²和（s_{n + 1} - 1）（S_n - 1）= S_n² - S_n + 1，便減少了分式的出現，更避免了繁分式的出現。

② 將化為，便知0≤a_k ≤。如此，則不僅將證明a_k ≥0和證明a_k ≤“兩步合為一步”，避免了出現繁分數，而且使得的“產生”顯得“自然而然”。

③ 利用“a_{n + 1}≥0S_n≤S_{n + 1}”,“（s_{n + 1} - 1）（S_n - 1）= S_n² - S_n + 1＞0”,“a_{n + 1} - 1 =”，以及一個常用經驗不等式“xy＞0, x≥y≤”，便可證明“a_{n + 3}≤a_{n + 2}”，且書寫較簡潔。

·妙解·

a_{n + 1} + S_n = S_{n + 1} = a_{n + 1}S_n =（S_{n + 1} - S_n ）S_n S_n ≠1，a_{n + 1} =，（S_n -1）S_{n +1}= S_n² ，

且4（s_{n + 1} - 1）（S_n - 1）= 4（S_n² - S_n + 1）= 3S_n² +（S_n - 2）² ＞0

a_{n + 2} =  ==0≤a_{n + 2}≤S_{n + 1}≤S_{n +}

S_{n + 1}-1≤S_{n + 2}-1a_{n + 3} -1 =≤ = a_{n + 2} k≥3時，0≤a_{k + 1}≤a_k ≤.

【評注】

① S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1}、S_n = S_{n + 1} - a_{n + 1}、a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n三個關系式是等價的，應熟練掌握、靈活運用。

② 繁分數、繁分式書寫麻煩且“很不美觀”，解題過程中應盡量少使用，能避免出現則盡量避免出現。

③ 除了基本公式和基本平均不等式外，掌握一些經驗公式和經驗不等式，可為解題帶來很大的方便。

【小結】

① 數學是美的，“簡潔美”是其中之一，也是主要的數學美，解決數學問題應當——力求簡明、簡便、簡潔、簡單，力求創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新、盡善盡美。亦即：應當努力——探求盡可能簡明的思路、盡可能簡便的解法，探求盡可能簡潔的語句、盡可能簡單的表述。

② 如果某個問題的解答過程較復雜、步驟較冗長，我們就要思考：這個解法算得上“較好”嗎？“很好”嗎？“極好”嗎？還能夠“改變”嗎？“改造”嗎？“改進”嗎？亦即：教師傳給學生的知識，不僅應當確保是“正品”，而且還應當是“精品”、“極品”。

③ 如同長跑比賽不僅比耐力、而且比速度一樣，數學高考不僅測驗“會不會”，而且測驗“好不好”、“快不快”：看你能否在很短時間內順利地完成答卷。因此，探求“巧思妙解”就不僅僅是理論上的需要，而且還更是實際實在的需要、迫切急切的需要。

④“數學是思維的科學”（單墫）。思緒明朗、思路開闊、思想活躍、思維科學了，問題就能迎刃而解；反之則猶豫不決、迷惑不解。因此，數學教育者先教育思維的拓展，數學學習者先學習思維的拓展，就當然是“十分必要、極其重要、非常緊要”的。

注：作者系退休機關干部、中學數學教師.