光盤、磁盤和磁帶一類的數(shù)據(jù)記錄媒體一樣，由于盤的制作材料的性能、盤制造生產(chǎn)技術(shù)水平的限制、驅(qū)動器的性能以及使用不當(dāng)?shù)戎T多原因，從盤上讀出的數(shù)據(jù)不可能完全正確。據(jù)有關(guān)廠家的測試和統(tǒng)計，一片未使用過的只讀光盤，某原始誤碼率約為3×10^－4；沾有指紋的盤的誤碼率約為6×10^－4；有傷痕的盤的誤碼率約為5×10^－３。針對這種情況，激光盤存儲器采用了功能強大的錯誤碼檢測和糾正措施。采用的具體對策歸納起來有三種：
　　(1) 錯誤檢測：采用CRC(Cyclic Redundancy Code)檢測讀出數(shù)據(jù)是否有錯。
　　(2) 錯誤校正碼： 采用里德－索洛蒙碼(Reed－Solomon Code)，簡稱為RS碼，進行糾錯。RS碼被認為是性能很好的糾錯碼。
　　(3) 交叉交插里德－索洛蒙碼CIRC(Cross Interleaved Reed－Solomon Code), 這個碼的含義可理解為在用RS編譯碼前后，對數(shù)據(jù)進行交插處理和交叉處理。
　　對這些碼的理論分析和計算有許多專著作了詳盡的深入論述，對不需要開發(fā)糾錯技術(shù)的讀者僅需要了解錯誤檢測和校正的一些基本概念即可。

13.1 CRC錯誤檢測原理

　　在糾錯編碼代數(shù)中，把以二進制數(shù)字表示的一個數(shù)據(jù)系列看成一個多項式。例如，二進制數(shù)字序列10101111，用多項式可以表示成：
　　　　M(x) = a₇x⁷ + a₆x⁶ + a₅x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x¹ + a₀x⁰
　　　　　　 = x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x¹ + 1
式中的xⁱ表示代碼的位置，或某個二進制數(shù)位的位置，xⁱ前面的系數(shù)a_i表示碼的值。若a_i是一位二進制代碼，則取值是0或1。M(x)稱為信息代碼多項式。
　　在模2多項式代數(shù)運算中定義的運算規(guī)則有：
　　　　1xⁱ + 1xⁱ = 0
　　　　-1xⁱ = 1xⁱ
　　例如，模2多項式的加法和減法：
　　　　
　　從這兩個例子中可以看到，對于模2運算來說，代碼多項式的加法和減法運算所得的結(jié)果相同。所以在做代碼多項式的減法時，可用做加法來代替做減法。
　　代碼多項式的除法可按長除法做。例如：
　　　　

　　如果一個k位的二進制信息代碼多項式為 M(x)，再增加(n－k)位的校驗碼，那么增加(n－k)位之后，信息代碼多項式在新的數(shù)據(jù)塊中就表示成 x^n-kM(x) ，如圖13-01所示。

圖13-01 信息代碼結(jié)構(gòu)

如果用一個校驗碼生成多項式 G(x) 去除代碼多項式 x^n-kM(x)，得到的商假定為 Q(x) ，余式為 R(x)　，則可寫成
　　　
　　　x^n-kM(x) = Q(x)G(x) + R(x)
　　因為模2多項式的加法和減法運算結(jié)果相同，所以又可把上式寫成：
　　　x^n-kM(x) + R(x) = Q(x)G(x)
 G(x) 稱為校驗碼生成多項式。從該式中可以看到，代表新的代碼多項式 x^n-kM(x) + R(x) 是能夠被校驗碼生成多項式 G(x) 除盡的，即它的余項為0。
　　例如，CD盤中的q通道和軟磁盤存儲器中使用的CRC校驗碼生成多項式是
　　　G(x) = x¹⁶ + x¹² + x⁵ + 1
　　若用二進制表示，則為
　　　G(x) = 100010000000100001(B) = 11021(H)
　　假定要寫到盤上的信息代碼 M(x) 為
　　　M(x) = 4D6F746F (H)
　　由于增加了2個字節(jié)共16位的校驗碼，所以信息代碼變成 x¹⁶M(x): 4D6F746F0000(H)。 CRC檢驗碼計算如下：

　　兩數(shù)相除的結(jié)果，其商可不必關(guān)心，其余數(shù)為B994(H)就是CRC校驗碼。把信息代碼寫到盤上時，將原來的信息代碼和CRC碼一起寫到盤上。在這個例子中，寫到盤上的信息代碼和CRC碼是4D6F746FB994,

　　這個碼是能被11021(H)除盡的。
　　從盤上把這塊數(shù)據(jù)讀出時，用同樣的CRC碼生成多項式去除這塊數(shù)據(jù)，相除后得到的兩種可能結(jié)果是：　?、儆鄶?shù)為0，表示讀出沒有出現(xiàn)錯誤；
　?、谟鄶?shù)不為0，表示讀出有錯。
　　CD-ROM中也采用了相同的CRC檢錯。CD-ROM扇區(qū)方式01中，有一個4字節(jié)共32位的EDC字域，它就是用來存放CRC碼。不過，CD-ROM采用的CRC校驗碼生成多項式與軟磁盤采用的生成多項式不同，它是一個32階的多項式,
　　　P(x) = (x¹⁶ + x¹⁵ + x² + 1)(x¹⁶ + x² + x + 1) 
　　計算CRC碼時用的數(shù)據(jù)塊是從扇區(qū)的開頭到用戶數(shù)據(jù)區(qū)結(jié)束為止的數(shù)據(jù)字節(jié)，即字節(jié)0～2063共2064個字節(jié)。在EDC中存放的CRC碼的次序如下：

13.2 RS編碼和糾錯算法

13.2.1. GF(2^m)域

　　RS(Reed-Solomon)碼在伽羅華域(Galois Field，GF)中運算的，因此在介紹RS碼之前先簡要介紹一下伽羅華域。
　　　CD-ROM中的數(shù)據(jù)、地址、校驗碼等都可以看成是屬于GF(2^m) = GF(2⁸)中的元素或稱符號。GF(2⁸)表示域中有256個元素，除0，1之外的254個元素由本原多項式P(x)生成。本原多項式P(x)的特性是，得到的余式等于0。CD-ROM用來構(gòu)造GF(2⁸) 域的P(x)是
　　　　P(x) = x⁸ + x⁴ +x³ + x² + 1 (13－1)
　　　而GF(2⁸)域中的本原元素為
　　　　α = (0 0 0 0 0 0 1 0)
　　　下面以一個較簡單例子說明域的構(gòu)造。
　　　[例13.1] 構(gòu)造GF(2³)域的本原多項式P(x)假定為
　　　　P(x) = x³ + x + 1
　　　　α定義為P(x) = 0的根，即
　　　　α³＋α＋1 = 0
　　　　和 α³ = α＋1
　　　GF(2³)中的元素可計算如下：

　　用二進制數(shù)表示域元素得到表13-01所示的對照表

表13-01 GF(2³)域中與二進制代碼對照表,P(x) =  

　　這樣一來就建立了GF(2³)域中的元素與3位二進制數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。用同樣的方法可建立GF(2⁸)域中的256個元素與8位二進制數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。在糾錯編碼運算過程中，加、減、乘和除的運算是在伽羅華域中進行?，F(xiàn)仍以GF(2³)域中運算為例：
　　　加法例：α⁰＋α³ = 001＋011 = 010 = α¹
　　　減法例：與加法相同
　　　乘法例：α⁵·α⁴ = α^{(5＋4) mod7} = α²
　　　除法例：α⁵/α³ = α²
　　　　　　　α³/α⁵ = α^-2 = α^(－2＋7) = α⁵
　　　取對數(shù)：log(α⁵) = 5
　　　這些運算的結(jié)果仍然在GF(2³)域中。

13.2.2 RS的編碼算法

　　RS的編碼就是計算信息碼符多項式M(x)除以校驗碼生成多項式之后的余數(shù)。
　　在介紹之前需要說明一些符號。在GF(2^m)域中，符號(n，k)RS的含義如下：
　　m　　　　　　表示符號的大小，如m = 8表示符號由8位二進制數(shù)組成
　　n　　　　　　表示碼塊長度
　　k　　　　　　表示碼塊中的信息長度
　　K=n－k = 2t　表示校驗碼的符號數(shù)
　　t　　　　　　表示能夠糾正的錯誤數(shù)目

　　例如，(28，24)RS碼表示碼塊長度共28個符號，其中信息代碼的長度為24，檢驗碼有4個檢驗符號。在這個由28個符號組成的碼塊中，可以糾正在這個碼塊中出現(xiàn)的2個分散的或者2個連續(xù)的符號錯誤，但不能糾正3個或者3個以上的符號錯誤。
　　對一個信息碼符多項式M(x)，RS校驗碼生成多項式的一般形式為
　　　 (13－2)
式中，m₀是偏移量，通常取K₀ = 0或K₀= 1，而(n-k)≥2t　(t為要校正的錯誤符號數(shù))。
　　下面用兩個例子來說明RS碼的編碼原理。
　　[例13.2] 設(shè)在GF(2³)域中的元素對應(yīng)表如表13-01所示。假設(shè)(6，4)RS碼中的4個信息符號為，信息碼符多項式M(x)為
　　　M(x) = m₃x³ + m₂x^２ + m₁x + m₀　(13－3)
　　并假設(shè)RS校驗碼的2個符號為Q₁和Q₀，的剩余多項式R(x)為
　　　R(x) = Q₁(x) + Q₀
　　這個多項式的階次比G(x)的階次少一階。
　　如果K₀ = 1，t = 1，由式(13－2)導(dǎo)出的RS校驗碼生成多項式就為
　　　 = (x－α)(x－α²)　(13－4)
　　根據(jù)多項式的運算，由式(13－3)和式(13－4)可以得到
　　　m₃x⁵＋m₂x⁴＋m₁x³＋m₀x²＋Q₁x＋Q₀ = (x－α)(x－α²)Q(x)
　　當(dāng)用x = α和x = α²代入上式時，得到下面的方程組，
　　　
　　經(jīng)過整理可以得到用矩陣表示的(6，4)RS碼的校驗方程：
　　　
　　求解方程組就可得到校驗符號：
　　　
　　在讀出時的校正子可按下式計算：
　　　
　　[例13.3] 在例13.2中，如果K₀ = 0，t = 1，由式(13－2)導(dǎo)出的RS校驗碼生成多項式就為
　　　 = (x－α⁰)(x－α¹) (13－5)
　　根據(jù)多項式的運算，由(13－3)和(13－5)可以得到下面的方程組：
　　　
　　方程中的αⁱ也可看成符號的位置，此處i = 0，1，…，5。
　　求解方程組可以得到RS校驗碼的2個符號為Q₁和Q₀，
　　　 (13－6)
　　假定m_i為下列值：

　　代入(13－6)式可求得校驗符號：
　　Q₁ = α⁶ = 101
　　Q₀ = α⁴ = 110

13.2.3 RS碼的糾錯算法

　　RS碼的錯誤糾正過程分三步： (1)計算校正子(syndrome)，(2)計算錯誤位置，(3)計算錯誤值?，F(xiàn)以例13.3為例介紹RS碼的糾錯算法。
　　校正子使用下面的方程組來計算：
　　　
　　為簡單起見，假定存入光盤的信息符號m₃、m₂、m₁、m₀和由此產(chǎn)生的檢驗符號Q₁、Q₀均為0，讀出的符號為m₃′、m₂′、m₁′、m₀′、Q₁′和Q₀′。
　　如果計算得到的s₀和s₁不全為0，則說明有差錯，但不知道有多少個錯，也不知道錯在什么位置和錯誤值。如果只有一個錯誤，則問題比較簡單。假設(shè)錯誤的位置為α_x，錯誤值為m_x，那么可通過求解下面的方程組：
　　
　　得知錯誤的位置和錯誤值。
　　如果計算得到s₀ = α²和s₁ = α⁵，可求得α_x= α³和m_x = α²，說明m₁出了錯，它的錯誤值是α²。校正后的m₁= m₁′＋m_x ，本例中m₁=0。
　　如果計算得到s₀ = 0，而s₁≠0，那基本可斷定至少有兩個錯誤，當(dāng)然出現(xiàn)兩個以上的錯誤不一定都是s₀ = 0和s₁≠0。如果出現(xiàn)兩個錯誤，而又能設(shè)法找到出錯的位置，那么這兩個錯誤也可以糾正。如已知兩個錯誤m_x1和m_x2的位置α_x1和α_x2，那么求解方程組：
　　　
　　就可知道這兩個錯誤值。
　　CD-ROM中的錯誤校正編碼CIRC和里德-索洛蒙乘積碼(Reed Solomon Product－like Code，RSPC)就是采用上述方法導(dǎo)出的。

13.3 CIRC糾錯技術(shù)

　　光盤存儲器和其它的存儲器一樣，經(jīng)常遇到的錯誤有兩種。一種是由于隨機干擾造成的錯誤，這種錯誤稱隨機錯誤。它的特點是隨機的、孤立的，干擾過后再讀一次光盤，錯誤就可能消失。另一種錯誤是連續(xù)多位出錯，或連續(xù)多個符號出錯，如盤片的劃傷、沾污或盤本身的缺陷都可能出現(xiàn)這種錯誤，一錯就錯一大片。這種錯誤稱為突發(fā)錯誤。CIRC(Cross Interleaved Reed Solomon)糾錯碼綜合了交插、延時交插、交叉交插等技術(shù)，不僅能糾隨機錯誤，而且對糾突發(fā)錯誤特別有效。

13.3.1 交插技術(shù)

　　對糾錯來說，分散的錯誤比較容易得到糾正，但出現(xiàn)一長串的錯誤時，就較麻煩。正如我們讀書看報，如果文中在個別地方出錯，根據(jù)前后文就容易判斷是什么錯。如果連續(xù)錯好多字，就很難判斷該處寫的是什么。
　　例如，用X表示出現(xiàn)的錯字，一種錯誤形式為“獨在異鄉(xiāng)XXX，每逢佳節(jié)倍思親”，這是連續(xù)出現(xiàn)的錯誤，另一種錯誤形式為“獨在異鄉(xiāng)X異客，每X佳節(jié)倍思X”，這是分散出現(xiàn)的錯誤。這兩種錯誤形式相比，同樣是3個錯誤，但人們更容易更正后一種形式的錯誤，更正之后為“獨在異鄉(xiāng)為異客，每逢佳節(jié)倍思親”。
　　這個道理很簡單，把這種思想用在數(shù)字記錄系統(tǒng)中對突發(fā)錯誤的更正非常有效。在光盤上記錄數(shù)據(jù)時，如果把本該連續(xù)存放的數(shù)據(jù)錯開放，那么當(dāng)出現(xiàn)一片錯誤時，這些錯誤就分散到各處，錯誤就容易得到糾正，這種技術(shù)就稱為交插(interleaving)技術(shù)。例如，
　　3個(5，3)碼塊： B₁ = (a_2，a₁，a₀，P₁，P₀)
　　　　　　　　　　B₂ = (b₂，b₁，b₀，Q₁，Q₀)
　　　　　　　　　　B₃ = (c₂，c₁，c₀，R₁，R₀)

　　排成3行：
　　　a₂ a₁ a₀ P₁ P₀
　　　b₂ b₁ b₀ Q₁ Q₀
　　　c₂ c₁ c₀ R₁ R₀

　　從這個例子中可以看到，對連續(xù)排列，每個碼塊中只能出現(xiàn)一個錯誤才能糾正。而交插記錄后，讀出的3個連續(xù)錯誤經(jīng)還原后可把它們分散到3個碼塊中，每個碼塊可以糾正1個錯誤，總計可以糾正3個連續(xù)的錯誤。
　　一般來說，如果有r個(n，k)碼，排成r×n矩陣，按列交插后存儲或傳送，讀出或接收時恢復(fù)成原來的排列，若(n，k)碼能糾正t個錯誤，那么這樣交插后就可以糾正rt個突發(fā)錯誤。

13.3.2 交叉交插技術(shù)

　　交叉交插(cross－interleaving)編碼是交插的一種變型。在實際應(yīng)用中，也是一種重要的技術(shù)。現(xiàn)仍以簡單的例子說明這種技術(shù)思想。
　　(1) 用(5，3)碼編碼器C₂生成的4個碼塊為:
　　　B₁=(a₂ a₁ a₀ P₁ P₀)
　　　B₂=(b₂ b₁ b₀ Q₁ Q₀)
　　　B₃=(c₂ c₁ c₀ R₁ R₀)
　　　B₄=(d₂ d₁ d₀ S₁ S₀)
　　(2) 交插后再用(6，4)碼編碼器C₁生成5個碼塊為:
　　　a₂ b₂ c₂ d₂ T₁ T₀
　　　a₁ b₁ c₁ d₁ U₁ U₀
　　　a₀ b₀ c₀ d₀ V₁ V₀
　　　P₁ Q₁ R₁ S₁ W₁ W₀
　　　P₀ Q₀ R₀ S₀ X₁ X₀
　　(3) 再交插，交插的碼塊數(shù)可以是2、3、4或5。以交插2個碼塊為例：
　　　a₂ a₁ b₂ b₁ c₂ c₁ d₂ d₁ T₁ U₁ T₀ U₀ a₀ P₁ b₀ Q₁ c₀ R₁ d₀ S₁ …
　　(4) 最后一個碼塊不配對，可以和下一個碼塊配對。
　　這種編碼技術(shù)用了兩個編碼器C₂和C₁。C₂對原碼塊進行編碼得到(5，3)碼塊，交插后生成由4個符號組成的碼塊，碼塊中的符號是交叉存放的，然后再用(6，4)編碼器C₁去編碼。
　　有關(guān)CIRC詳細的實現(xiàn)方法請參看文獻[7]。
　　CIRC首先應(yīng)用在激光唱盤系統(tǒng)中。音頻信號的采樣率為44.1 kHz，而每次采樣有兩個16比特的樣本，一個來自左聲道，一個來自右聲道，每個樣本用兩個GF(2⁸)域中的符號表示，因此每次采樣共有4個符號。
　　為了糾正可能出現(xiàn)的錯誤，每6次采樣共24個符號構(gòu)成1幀，稱為F₁幀(F₁－Frame)。用一個稱為C₂的編碼器對這24個符號產(chǎn)生4個Q校驗符號： Q₀，Q₁，Q₂和Q₃。24個聲音數(shù)據(jù)加上4個Q校驗符號共28個符號，用稱為C₁編碼器對這28個符號產(chǎn)生4個P校驗符號： P₀，P₁，P₂和P₃。28個符號加上4個P校驗符號共32個符號構(gòu)成的幀稱為F₂幀(F₂－Frame)。F₂幀加上1個字節(jié)(即1個符號)的子碼共33個符號構(gòu)成的幀稱為F₃幀(F₃－Frame)。
　　在實際應(yīng)用中可對前面介紹的交插技術(shù)略加修改，執(zhí)行交插時不是交插包含有k個校驗符的碼塊，而是交插一個連續(xù)系列中的碼符，這種交插技術(shù)稱為延時交插。延時交插之后還可用交叉技術(shù)，稱為延時交叉交插技術(shù)。CD存儲器中的CIRC編碼器采用了4×F₁幀的延時交插方案。1幀延時交插可糾正連續(xù)4×F₁幀的突發(fā)錯誤。4×F₂幀的延時交插可糾正連續(xù)16×F₁幀突發(fā)錯誤，相當(dāng)于大約14×F₃幀的突發(fā)錯誤。1×F₃幀經(jīng)過EFM編碼后產(chǎn)生588位通道位。1位通道位的長度折合成0.277μm的光道長度。14×F₃幀突發(fā)錯誤長度相當(dāng)于
　?。?16×(24＋4))/33］×588×0.277≈2.2 mm
換句話說，CIRC能糾正在2.2 mm光道上連續(xù)存放的448個錯誤符號!相當(dāng)于連續(xù)224個漢字錯誤可以得到糾正。

13.4 RSPC碼

　　按ISO/IEC10149的規(guī)定，CD-ROM扇區(qū)中的ECC碼采用GF(2⁸)域上的RSPC碼產(chǎn)生172個字節(jié)的P校驗符號和104個字節(jié)的Q校驗符號。RS碼采用本原多項式
　　　P(x) = x⁸ + x⁴ +x³ + x² + 1
和本原元
　　　α = (00000010)
構(gòu)造GF(2⁸)域，這已經(jīng)在上節(jié)作了介紹。
　　第12章已經(jīng)介紹了CD-ROM的扇區(qū)結(jié)構(gòu)。在每個扇區(qū)中，字節(jié)12～2075和ECC域中的字節(jié)2076到2351共2340個字節(jié)組成1170個字(word)。每個字s(n)由兩個字節(jié)B組成，一個稱為最高有效位字節(jié)MSB，另一個叫做最低有效位字節(jié)LSB。第n個字由下面的字節(jié)組成，
　　s(n) = MSB[B(2n + 13)] + LSB[B(2n + 12)]
其中n = 0，1，2，…，1169。
　　從字節(jié)12開始到字節(jié)2075共2064個字節(jié)組成的數(shù)據(jù)塊排列成24×43的矩陣，如圖13-02所示。

圖13－02 RSPC碼計算用數(shù)據(jù)陣列

　　矩陣中的元素是字。這個矩陣要把它想象成兩個獨立的矩陣才比較好理解和分析，一個是由MSB字節(jié)組成的24×43矩陣，另一個是由LSB字節(jié)組成的24×43矩陣。
　　(1) P校驗符號用(26，24)RS碼產(chǎn)生
　　43列的每一列用矢量表示，記為V_p。每列有24個字節(jié)的數(shù)據(jù)再加2個字節(jié)的P校驗字節(jié)，用下式表示：
　　　
其中：
　　　N_p =  0，1，2，……，42
　　　M_p =  0，1，2，……，25
　　　s(43*24+N_p)和s(43*25+N_p)是P校驗字節(jié)
　　對這列字節(jié)計算得到的是兩個P校驗字節(jié)，稱為P校驗符號。兩個P校驗字節(jié)加到24行和25行的對應(yīng)列上，這樣構(gòu)成了一個26×43的矩陣，并且滿足方程
　　　H_p × V_p = 0
　　其中H_P校驗矩陣為
　　　
　　(2) Q校驗符號用(45，43)RS碼產(chǎn)生
　　增加P校驗字節(jié)之后得到了一個26×43矩陣，該矩陣的對角線元素重新排列后得到一個新的矩陣，其結(jié)構(gòu)如圖13-03所示。

(ISO/IEC 10149∶1989)
圖13-03 Q校驗符號計算用數(shù)據(jù)陣列

　　每條對角線上的43個MSB字節(jié)和LSB字節(jié)組成的矢量記為V_Q。V_Q在26×43矩陣中變成行矢量。第N_Q行上的V_Q矢量包含的字節(jié)如下：
　　　　
其中：
　　　N_Q = 0，1，2，…，25
　　　M_Q = 0，1，2，…，42
　　s(43*26+N_q)和s(44*25+N_q)和是Q校驗字節(jié)
　　V_Q中的(44*M_Q＋43*N_Q)字節(jié)號運算結(jié)果要做mod(1118)運算。用(45，43)RS碼產(chǎn)生的兩個Q校驗字節(jié)放到對應(yīng)V_Q矢量的末端，并且滿足下面的方程：
　　　H_Q × V_Q = 0
其中H_Q校驗矩陣為
　　　
　　(26，24)RS碼和(45，43)RS碼可以糾正出現(xiàn)在任何一行和任何一列上的一個錯誤，并且能相當(dāng)可靠地檢測出行、列中的多重錯誤。如果在一個陣列中出現(xiàn)多重錯誤，Reference Technology公司提供有一種名叫Layered ECC的算法，它可以取消多重錯誤。它的核心思想是交替執(zhí)行行糾錯和列糾錯。
　　例如，假設(shè)錯誤分布如圖13-04所示。ECC算法首先計算MSB矩陣和LSB矩陣中每一行的校正子S_ri(i = 0，1，…，25)，以及每一列的校正子S_cj(j = 0，1，…，44)。因為用(45，43)RS碼，所以每一個S_ri和每一個S_cj都有兩個校正子分量。如果S_ri = 0，則說明第i行無錯；如S_cj = 0，說明第j行無錯。

圖13-04 錯碼分布舉例

　　ECC算法首先糾正行1、3、17、19和22上分別只有一個的錯誤。這些錯誤取消后就糾正列5、9、15和35上分別只有一個的錯誤。經(jīng)過一次行列交替糾錯后，只剩下C_4，25、C_7，20、C_7，25和C_9，20這四個錯誤。再進行一次行列交替糾錯后，就可以消除全部錯誤。
　　對于象下面這樣分布的錯誤，ECC算法也可以糾正。
　　　
　　因為RS碼糾錯算法本身包含找錯誤的位置和錯誤值，而錯誤位置已經(jīng)由校正子S_r(i－k)、S_ri、S_r(i＋m)和S_cj、S_c(j＋l)確定，所以只剩下求錯誤值的問題。這個問題在討論RS碼時已經(jīng)解決。
　　對CD-ROM存儲器的數(shù)據(jù)，經(jīng)CIRC校正后可以使以字節(jié)做單位的誤碼率小于10^-9，再經(jīng)RSPC進行糾錯后，字節(jié)誤碼率可以小于10^-13，這樣就滿足了計算機要求誤碼率小于10^-12的要求。

練習(xí)與思考題

1. CRC用于檢測錯誤還是校正錯誤？
2. 用自己的語言說明錯誤檢測的思想。
3. 什么叫做突發(fā)錯誤？
4. 碼塊長度為n，碼塊中的信息長度為k，問(n，k)RS碼本身能糾正多少個錯誤？
5. 要糾正1個符號的錯誤，至少需要附加多少個校驗符？
6. 目前CD存儲器中使用的CIRC編碼技術(shù)能夠糾正突發(fā)錯誤的最大長度是多少(按漢字字符數(shù)估算)？

• ISO/IEC 908. Compact Disc Digital Audio System. 1987.
• ISO 9660. Volume and File structure of CD-ROM for Information Interchange. 1988.
• ISO/IEC 10149. Data Interchange on Read Only 120 mm Optical Data Disks(CD-ROM). 1989
• Scott A.Vanstone and Paul C. van Oorcshot. An Introducton Error Correcting Codes with Application. Kluwer, Academic Publishers, 1989
• Philips and Sony. System Description CD-ROM XA Compact Disk Read Only Memory extended Architecture. May, 1991
• Philips and Sony Corporation. CD-I Full Functional Specification. 1993.
• 林福宗, 陸 達. 多媒體與CD-ROM. 北京：清華大學(xué)出版社, 1995.3.