正弦定理、余弦定理

超越夢想之上 2014-09-05

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	學科：數(shù)學
	教學內(nèi)容：正弦定理、余弦定理

【基礎知識精講】

1.正弦定理、三角形面積公式

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，并且都等于該三角形外接圓的直徑，即：===2R.

面積公式：S_△=bcsinA=absinC=acsinB.

2.正弦定理的變形及應用

變形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c

(3)sinA=,sinB=,sinC=.

應用(1)利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題：

a.已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

b.已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.

一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況.

①A為銳角時

②A為直角或鈍角時.

(2)正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀.其主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化.例如：在判斷三角形形狀時，經(jīng)常把a、b、c分別用2RsinA、2RsinB、2RsinC來代替.

3.余弦定理

在△ABC中，有a²=b²+c²-2bccosA;

b²=c²+a²-2accosB；

c²=a²+b²-2abcosC；

變形公式：

cosA=,cosB=,cosC=

在三角形中，我們把三條邊(a、b、c)和三個內(nèi)角(A、B、C)稱為六個基本元素，只要已知其中的三個元素(至少一個是邊)，便可以求出其余的三個未知元素(可能有兩解、一解、無解)，這個過程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.

4.解三角形問題時，須注意的三角關(guān)系式：A+B+C=π

0＜A，B，C＜π

sin=sin=cos

sin(A+B)=sinC

特別地，在銳角三角形中，sinA＜cosB,sinB＜cosC,sinC＜cosA.

【重點難點解析】

掌握正、余弦定理，并學會用其余弦定理解三角形.

例1 在△ABC中，已知A＞B＞C，且A=2C,b=4,a+c=8，求a、c的長.

解：由正弦定理=及A=2C得=,即=,

∴cosC=.

由已知a+c=8=2b及余弦定理，得

cosC==

==.

∴=，整理得(2a-3c)(a-c)=0

∴a≠c,∴2a=3c.

∵a+c=8,∴a=,c=.

例2 在△ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀.

解：∵lga-lgc=lgsinB=-lg,

∴sinB=

又∵0°＜B＜90°，∴B=45°

由lga-lgc=-lg,得= .

由正弦定理得= .

即2sin(135°-C)= sinC

即2［sin135°cosC-cos135°sinC］=sinC.

∴cosC=0,得C=90°

又∵A=45°,∴B=45°

從而△ABC是等腰直角三角形.

例3 如圖已知：平行四邊形兩鄰邊長為a和b(a＜b)，兩對角線的一個交角為θ(0°＜θ＜90°)，求該平行四邊形的面積.

分析：由于已知了平行四邊形相鄰兩邊長和對角線的一個交角，再考慮到平行四邊形的面積是△AOB的四倍，因此只要求OA·OB·sinθ即可.

解：設平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O.AB=a,BC=b,∠AOB=θ，又設OA=x,OB=y.

在△AOB中，應用余弦定理可得：

a²=x²+y²-2xycosθ ①

在△BOC中，應用余弦定理可得：

b²=x²+y²-2xycos(180°-θ) ②

由②-①得：

b²-a²=4xycosθ

∵0°＜θ＜90°，∴xy= (b＞a)

∴S_□=4S_△AOB=2xysinθ=tanθ

例4 在△ABC中，已知4sinBsinC=1,b²+c²-a²=bc,且B＞C，求A、B、C.

分析：由于題設條件b²+c²-a²=bc十分特殊，將它與余弦定理對照可得A=60°,這樣B+C=120°，于是再利用條件4sinBsinC=1，可求得B與C.

解：由余弦定理cosA===.

又∵0°＜A＜180°

∴A=60°

∴B+C=120°,又由于4sinBsinC=1

∴4sinBsin(120°-B)=1

∴4sinB(cosB+sinB)=1

∴sin2B+2sin²B=1

∴sin2B=cos2B

∴tan2B=,∴2B=30°或2B=210°

由于B+C=120°,且B＞C，60°＜B＜120°

∴2B=210°,

∴B=105°,從而C=15°

∴A=60°,B=105°,C=15°

例5 已知△ABC中，a，b，c為角A，B，C的對邊，且a+c=2b，A-C=,求sinB的值.

解法一：由正弦定理和已知條件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB，由和差化積公式得

2sin·cos=2sinB

由A+B+C=π，得

sin=cos

又A-C=,得

cos=sinB

∴cos=2sin·cos

又∵0＜＜,cos≠0

∴sin=

從而cos==

∴sinB=· =.

解法二：由正弦定理和已知條件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB

∵A-C=,A+B+C=π

兩式相減可得B=-2C

∴sin(+C)+sinC=2sinB

得sincosC+cossinC+sinC=2sinB

∴cosC+sinC=2sinB

即cos(-C)=2sinB

∴cos=4sin·cos

∵0＜B＜π,∴cos≠0

∴sin=

cos==

∴sinB=·cosB=

【難題巧解點拔】

例1 △ABC中，若a=5,b=4,cos(A-B)= ，求AB.

分析：很明顯，只要求cosC的值，應用余弦定理即可求出AB.

解法一：由已知條件a=5,b=4

===9，①由已知cos(A-B)= ,根據(jù)半角公式有

sin==,cos==

代入①式得tg= ∵tg=ctg,

∴tg= ,根據(jù)萬能公式cosC=

∴c²=a²+b²-2abcosC=36,AB=c=6

解法二：∵A＞B，如圖，作∠BAD=∠B,∴AD=BD

∠CAD=∠A-∠B令AD=BD=y,CD=x,

由余弦定理cos(A-B)== ,x=a-y,

∴= ,y=4,x=1

△CAD中再由余弦定理cosC=,∴c=6

評析：上述解法反映邊向角的轉(zhuǎn)化，也可由角向邊轉(zhuǎn)化直接求出邊.

例2 半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，且OA=2，B為半圓周上任意一點以AB為邊向形外作等邊三角形ABC(如圖)，問B點在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出這個最大面積.

解：設∠AOB=x，則

S_△AOB=·2·1·sinx=sinx,

AB²=OA²+OB²-2·OA·OB·cosx=5-4cosx.

S_△ABC=AB²= (5-4cosx)= -cosx

∴S_OACB=S_△AOB+S_△ABC

=sinx-cosx+

=2sin(x-)+

∵0＜x＜π,- ＜x-＜ ∴x-=時，

∴即x=時,S_OACB有最大值2+(平方單位)

例3 已知△ABC中，AB=AC=a,∠BAC=φ，等邊三角形PQR的三邊分別通過A，B，C三點.試求△PQR的面積的最大值.

分析：先依題意畫出圖形(如圖).因為變動三角形PQR為正三角形，它的面積S=PQ²，問題可轉(zhuǎn)化為求邊長PQ的最大值.為此需要建立PQ的函數(shù)式，這又必須選取適當?shù)牧孔鳛樽宰兞?觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，PQ的位置是隨著∠PAB的大小變化而變化的.不妨就以∠PAB為自變量.以下的程序就是應用三角形的邊角關(guān)系，求出以∠PAB的三角函數(shù)表示PQ的解析式，最后求它的最大值.

解：設∠PAB=x,那么∠PBA=120°-x,∠QAC=180°-x-φ，∠QCA=x+φ-60°.

在△PAB中，∵=，

∴PA=sin(120°-x),

在△AQC中，=

∴AQ=sin(x+φ-60°)

∴PQ=PA+AQ=［sin(120°-x)+sin(x+φ-60°)］

=sin(+30°)cos(90°--x).

因為其中a, +30°都是常量，所以當90°--x=0即x=90°-時，取得

(PQ)_max=sin(+30°)

同時也就取得了

(S_△)_max= (PQ)²_max

=a²sin²(+30°)