公元1858年，莫比烏斯發(fā)現(xiàn)：把一個(gè)扭轉(zhuǎn)180°后再兩頭粘接起來(lái)的紙條具有魔術(shù)般的性質(zhì)。因?yàn)?，普通紙帶具有兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面），一個(gè)正面，一個(gè)反面，兩個(gè)面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個(gè)面（即單側(cè)曲面），一只小蟲(chóng)可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過(guò)它的邊緣！我們把這種由莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的神奇的單面紙帶，稱(chēng)為“莫比烏斯帶”。

拿一張白的長(zhǎng)紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個(gè)身， 如同右圖那樣粘成一個(gè)莫比烏斯帶?，F(xiàn)在像圖中那樣用剪刀沿紙帶的中央把它剪開(kāi)。你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而像圖中那樣剪出一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙圈！

有趣的是：新得到的這個(gè)較長(zhǎng)的紙圈，本身卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互套在一起！為了讓讀者直觀地看到這一不太容易想象出來(lái)的事實(shí)，我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開(kāi)，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)罷了。

比如旋轉(zhuǎn)三個(gè)半圈的帶子再剪開(kāi)后會(huì)形成一個(gè)三葉結(jié)。剪開(kāi)帶子之后再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，然后重新粘貼則會(huì)變成數(shù)個(gè)Paradromic。

莫比烏斯帶常被認(rèn)為是無(wú)窮大符號(hào)“∞”的創(chuàng)意來(lái)源，因?yàn)槿绻硞€(gè)人站在一個(gè)巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠(yuǎn)不會(huì)停下來(lái)。但是這是一個(gè)不真實(shí)的傳聞，因?yàn)椤啊蕖钡陌l(fā)明比莫比烏斯帶還要早。

莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無(wú)法解決的問(wèn)題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決！

比如在普通空間無(wú)法實(shí)現(xiàn)的手套易位問(wèn)題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質(zhì)的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來(lái)。無(wú)論你怎么扭來(lái)轉(zhuǎn)去，左手套永遠(yuǎn)是左手套，右手套也永遠(yuǎn)是右手套！不過(guò)，倘若自你把它搬到莫比烏斯帶上來(lái)，那么解決起來(lái)就易如反掌了。

在自然界有許多物體也類(lèi)似于手套那樣，它們本身具備完全相像的對(duì)稱(chēng)部分，但一個(gè)是左手系的，另一個(gè)是右手系的，它們之間有著極大的不同。

“莫比烏斯帶”在生活和生產(chǎn)中已經(jīng)有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動(dòng)力機(jī)械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會(huì)只磨損一面了。如果把錄音機(jī)的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問(wèn)題了，磁帶就只有一個(gè)面了。

莫比烏斯帶是一種拓?fù)鋱D形，什么是拓?fù)淠?？拓?fù)渌芯康氖?a style="COLOR: rgb(19,110,194); TEXT-DECORATION: none" target="_blank">幾何圖形的一些性質(zhì)，它們?cè)趫D形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過(guò)程中不使原來(lái)不同的點(diǎn)重合為同一個(gè)點(diǎn)，又不產(chǎn)生新點(diǎn)。換句話說(shuō)，這種變換的條件是：在原來(lái)圖形的點(diǎn)與變換了圖形的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，并且鄰近的點(diǎn)還是鄰近的點(diǎn)。這樣的變換叫做拓?fù)渥儞Q。拓?fù)溆幸粋€(gè)形象說(shuō)法——橡皮幾何學(xué)。因?yàn)槿绻麍D形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進(jìn)行拓?fù)渥儞Q。例如一個(gè)橡皮圈能變形成一個(gè)圓圈或一個(gè)方圈。但是一個(gè)橡皮圈不能由拓?fù)渥儞Q成為一個(gè)阿拉伯數(shù)字8。因?yàn)椴话讶ι系膬蓚€(gè)點(diǎn)重合在一起，圈就不會(huì)變成8,“莫比烏斯帶”正好滿(mǎn)足了上述要求。右下角是三角形莫比烏斯帶，左端綠色與右端黃色相連，扭曲的三角形莫比烏斯帶可以不斷循環(huán)：綠--黃---紅---綠---黃---…。拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多，這里不再介紹。

拓?fù)鋵W(xué)的英文名是Topology，直譯是地志學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類(lèi)似的有關(guān)學(xué)科。中國(guó)早期曾經(jīng)翻譯成“形勢(shì)幾何學(xué)”、“連續(xù)幾何學(xué)”、“一對(duì)一的連續(xù)變換群下的幾何學(xué)”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統(tǒng)一的《數(shù)學(xué)名詞》把它確定為拓?fù)鋵W(xué)，這是按音譯過(guò)來(lái)的。