|
三階幻方也叫九宮圖，它的特點是任意一橫行、一縱行以及對角線的三個數(shù)之和都相等。在幻方的來源及神奇?zhèn)髡f中大家已經(jīng)知道把1～9這九個數(shù)字填寫在3×3的方格里的一種答案了。下面給出幾種解答方法。 解法一：“楊輝口訣”：九子斜排、上下對易、左右相更、四維挺出。 第一步： 將九個數(shù)從小到大斜著排好，如下圖的兩種排列方式均可。
第二步：以上圖的第二個圖為例，將上下兩個數(shù)對換，左右兩個數(shù)對換（如下圖）。
第三步：把上圖中的每邊中間那個數(shù)（4、2、8、6）突出出來得到 下圖。
即 下圖。
這就是著名的洛書的排列：“戴九履一（9在上中，1在下中），左三右七，二四為肩，六八為足，五居中央。 也可以用平移補空法：（1）像上面圖一的第二個圖那樣斜排；（2）平移：把1向下平移3格，9上移3格；7向右平移3格，3左移3格就得到圖四。 8 1 6 1寫在上行正中間；2斜填右上方時上方出格就寫在同列的下邊；2的右上方填3時右邊出格，3就寫在同行的左邊；3的右上方是1排重了，4就寫在3的下面；依次斜填寫好5、6；6的右方上方同時出格，7就寫在6的下邊；7的右上方填8時右邊出格，8就寫在同行的左邊；8的右上方填9時上方出格,9就寫在同列的下邊。 解法三：數(shù)學推理 推理（1）：因為1～9這九個數(shù)字之和是45，正好是三個橫行數(shù)字之和，所以每一橫行的數(shù)字之和等于45÷3=15。也就是說，每一橫行、每一豎列以及每條對角線上三個數(shù)字之和都等于15。 在1～9這九個數(shù)字中，三個不同的數(shù)相加等于15的有： 9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2， 8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。 因此每行、每列以及每條對角線上的三個數(shù)字可以是其中任一個算式中的三個數(shù)字。 因為中心方格中的數(shù)既在一個橫行中，又在一個豎列中，還在兩對角線上，所以它應同時出現(xiàn)在上述的四個算式中，只有5出現(xiàn)了四次，因此應將5填在中心方格中。同理，四個角上的數(shù)既在一個橫行中，又在一個豎列中，還在一條對角線上，所以它應同時出現(xiàn)在上述的三個算式中，符合條件的有2，4，6，8，因此應將2，4，6，8填在四個角的方格中，同時應保證對角線兩數(shù)的和相等。即下圖：
經(jīng)試驗，有八種不同填法，而它們都可以通過一個圖的旋轉和翻轉得到。所以，這八個圖本質(zhì)上是相同的，可以看作是一種填法 推理（2）：根據(jù)9個數(shù)的和是45得出每行或每列是15，并且中間數(shù)是5。 因為15是奇數(shù)，欲使3個數(shù)和為奇數(shù)，則需要3個數(shù)都是奇數(shù)，或者兩偶一奇。 那么再去確定藍色①位置填什么數(shù)。
如果①是奇數(shù)，因為①+②+5=15，所以②應填奇數(shù) 在這個條件下，假設⑦是奇數(shù)，則④是奇數(shù)，⑥是奇數(shù)，⑧⑤③也是奇數(shù)。 而除5外奇數(shù)只有4個，所以⑦不能是奇數(shù)。 假設⑦是偶數(shù)，則④是偶數(shù)，⑥是偶數(shù)，⑧⑤③也是偶數(shù)。 而偶數(shù)只有4個，所以⑦不是偶數(shù)。 當①是奇數(shù)時，⑦不能是偶數(shù)也不能是奇數(shù)，所以①不能填奇數(shù)。 由此可以推出①是偶數(shù)。同理可推出②③④都是偶數(shù)。⑤⑥⑦⑧是奇數(shù)。 下面就可以根據(jù)推理（1）得出。 另外，用“ 對角對調(diào)，各數(shù)旋轉 ” 的方法也可制作三階幻方。具體方法是： 1 、將1—9九個數(shù)按從小到大的順序依次填寫而得到圖A 2、將圖 A 的兩組對角的數(shù)對調(diào) （例如數(shù) 1 與 9 對調(diào)），得到圖 B 。 3、將圖 B 的各個數(shù)順時針方向旋轉 45 度（中心數(shù) 5 也可以說是旋轉了），就得到圖 C 所示的三階幻方。 1 2 3 9 2 7 4 9 2 4 5 6 4 5 6 3 5 7 7 8 9 3 8 1 8 1 6 A B C 上面的解法讓我們實實在在掌握了三階幻方的解法。 如果你有興趣，就請你繼續(xù)關注本博客后續(xù)一些關于更高階幻方的解答規(guī)律和方法。 |
|
|
圖一
圖二
圖三
圖四
