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西爾維斯特 許義夫 仝素勤 (山東教育學(xué)院) 西爾維斯特，J．J．(Sylvester，James Joseph)1814年9月3日生于英國(guó)倫敦；1897年3月15日卒于倫敦．?dāng)?shù)學(xué)． 西爾維斯特出生在一個(gè)猶太人家庭．他的父親亞伯拉罕·約瑟夫(Abraham Joseph)很早便去世了．他的母親帶著他們 9個(gè)孩子過(guò)著艱難的生活．西爾維斯特15歲時(shí)才開(kāi)始上學(xué)，最初在一所猶太人的學(xué)校上小學(xué)，但不久因他拿了餐廳的一把餐刀，企圖與一名惹他不愉快的學(xué)生斗毆而被開(kāi)除．1829年西爾維斯特進(jìn)入設(shè)在利物浦(Liverpool)的皇家學(xué)會(huì)(Royal Institution)的學(xué)校學(xué)習(xí)．在學(xué)習(xí)期間，因解決了美國(guó)抽彩承包人提出的一個(gè)排列問(wèn)題而得到500美元的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)金．在學(xué)校他學(xué)習(xí)努力，成績(jī)突出．但因他的猶太血統(tǒng)和信仰而使他經(jīng)常受到排擠，因此他一度離開(kāi)學(xué)校來(lái)到都柏林，后來(lái)在他的表舅法官R．基廷治(Keatinge)的幫助下，又返回學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)． 1831年10月西爾維斯特進(jìn)入劍橋大學(xué)圣約翰學(xué)院學(xué)習(xí)．1833年底因病在家休養(yǎng)，直到1836年1月．西爾維斯特在家與病魔作斗爭(zhēng)的同時(shí)仍頑強(qiáng)自學(xué)，1837年1月他參加了學(xué)院的榮譽(yù)學(xué)位考試，名列第二．但因他拒絕簽署英國(guó)教會(huì)的39條教規(guī)，而不能獲得學(xué)位或競(jìng)爭(zhēng)史密斯數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，也就不能獲得該學(xué)院研究員的職位．于是他又去都柏林大學(xué)三一學(xué)院繼續(xù)學(xué)習(xí)，1841年在那里獲得碩士學(xué)位． 1838年，西爾維斯特受聘為倫敦大學(xué)學(xué)院的自然哲學(xué)教授，成為著名的數(shù)學(xué)家德·摩根(De Morgan)的同事．盡管他早期的論文都是關(guān)于光學(xué)以及流體和剛體運(yùn)動(dòng)方面的，但他在此期間很快將注意力轉(zhuǎn)移到純數(shù)學(xué)方面來(lái)，特別是對(duì)斯圖姆(Sturm)函數(shù)的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣．1841年西爾維斯特到了美國(guó)，任弗吉尼亞(Virginia)大學(xué)教授，但時(shí)間不長(zhǎng)，1843年又返回倫敦．他曾一度離開(kāi)學(xué)術(shù)界，在權(quán)利與法律生活保險(xiǎn)公司謀到一個(gè)統(tǒng)計(jì)員和秘書(shū)的低級(jí)職位．但他仍在業(yè)余給私人講授數(shù)學(xué)，F(xiàn)．南丁格爾(Nightngale)就是他這期間的學(xué)生．1846年進(jìn)入內(nèi)殿(Inner Temple)法學(xué)協(xié)會(huì)，并于1850年取得律師資格．在這期間他和同時(shí)進(jìn)入林肯法律學(xué)會(huì)(Lincoln’s Inn)的A．凱萊(Cayley)建立起了深厚的友誼．他們?cè)趶氖路蓸I(yè)務(wù)的間隙，經(jīng)常在一起交流數(shù)學(xué)研究的成果． 1854年，西爾維斯特曾謀求烏爾維希(woolwich)皇家陸軍軍宮學(xué)校數(shù)學(xué)教授和倫敦大學(xué)格雷沙姆(Gresham)學(xué)院的幾何學(xué)教授的職位，但均遭失?。?855年烏爾維?；始谊戃娷姽賹W(xué)校的數(shù)學(xué)教授去世，于是西爾維斯特繼任了這一職位，任期從1855年6月至1870年7月．在這期間，他還兼任《純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊》(Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics)與《劍橋和都柏林?jǐn)?shù)學(xué)雜志》(Cambridge and Dublin Mathematical Journal)的編輯，直到1877年．1863年他取代幾何學(xué)家J．施泰納(Steiner)成為法國(guó)科學(xué)院的數(shù)學(xué)通訊員(mathematics correspondent)．兩年后他在倫敦大學(xué)國(guó)王學(xué)院發(fā)表了“關(guān)于代數(shù)方程虛根數(shù)目”(Concerning the number of imaginary roots of an algebraic equation)的論文，證明了牛頓符號(hào)法則的正確性． 1870年，西爾維斯特辭去在烏爾維希的職位，并且經(jīng)過(guò)了一場(chǎng)在《時(shí)報(bào)》(Times)上的公開(kāi)爭(zhēng)論，獲得了適當(dāng)?shù)耐诵萁穑?876年他61歲時(shí)又接受了美國(guó)物理學(xué)家J．亨利(Henry)的邀請(qǐng)到美國(guó)巴爾的摩(Baltimore)擔(dān)任霍普金斯(Hopkins)大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，在那里他講授不變量理論，開(kāi)創(chuàng)了美國(guó)純數(shù)學(xué)的研究．1878年西爾維斯特在巴爾的摩創(chuàng)辦了《美國(guó)數(shù)學(xué)雜志》(AmericanJournal of Mathematics)，這是美國(guó)歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)雜志，他為這本雜志寫(xiě)了30篇論文，對(duì)美國(guó)大學(xué)的數(shù)學(xué)研究有很大的影響，推動(dòng)了美國(guó)純數(shù)學(xué)的研究．1883年他70歲時(shí)，被任命為牛津大學(xué)薩維爾(Savilian)幾何學(xué)教授，于是他辭去霍普金斯大學(xué)的職位，回到倫敦．憑借著他的職位，也成為新學(xué)院(New College)的研究員．在這期間，西爾維斯特與J．哈蒙德(Haminond)合作研究反變(reciprocant)理論，并在數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了幾篇有獨(dú)到見(jiàn)解的論文．西爾維斯特于1894年80歲時(shí)退休，常住倫敦和湯布里奇威爾斯(Tunbridge Wells)．在他的晚年仍致力于數(shù)學(xué)的寫(xiě)作，在1896年和1897年初寫(xiě)出了關(guān)于復(fù)合分拆(Compound partitions)和哥德巴赫-歐拉猜想等論文． 1897年3月15日因中風(fēng)癱瘓去世，享年83歲．死后葬于倫敦的戴爾斯頓(Ball’s Pond Dalston)猶太人公墓． 由于西爾維斯特對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，他一生獲得過(guò)許多榮譽(yù)．1861年獲皇家勛章，1880年獲科普利(Copiey)獎(jiǎng)?wù)?，他還獲得都柏林大學(xué)(1865)、愛(ài)丁堡大學(xué)(1871)、牛津大學(xué)(1880)和劍橋大學(xué)(1890)的名譽(yù)學(xué)位．1839年當(dāng)選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，1866年被選為倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)的主席． 西爾維斯特一生致力于純數(shù)學(xué)的研究，他和凱萊、W．R．哈密頓(Hamilton)等人一起開(kāi)創(chuàng)了自I．牛頓(Newton)以來(lái)英國(guó)純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)繁榮局面．他的成就主要在代數(shù)方面，他同凱萊一起發(fā)展了行列式和矩陣的理論，共同奠定了不變量的理論基礎(chǔ)．此外對(duì)代數(shù)方程論、數(shù)論等諸領(lǐng)域都有重要的貢獻(xiàn)． 代數(shù)方程 西爾維斯特早期的著作，許多是關(guān)于方程論的研究．1839年他發(fā)表了第一篇這方面的論文，以后陸續(xù)發(fā)表了一些研究成果．西爾維斯特在對(duì)代數(shù)方程數(shù)值解的研究中，簡(jiǎn)化了斯圖姆函數(shù)的表述并推廣了斯圖姆定理．瑞士數(shù)學(xué)家C．F．斯圖姆(Sturm)在對(duì)代數(shù)方程根的討論中，曾提出了著名的斯圖姆定理：如果實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在(a，b)內(nèi)無(wú)重根，a，b為實(shí)數(shù)且不是f(x)的根，作函數(shù)序列 f(x)，f1(x)，f2(x)，…，fm-1(x)，C＝fm(x)． 其中f1(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù) f′(x)，用f1(x)除多項(xiàng)式f(x)所得余式反號(hào)后為f2(x)，然后用f2(x)除多項(xiàng)式f1(x)所得余式反號(hào)后為f3(x)，依此類(lèi)推，可以證明最后一個(gè)不等于零的多項(xiàng)式fm(x)=C為常數(shù)．將x=a及x=b代入上面函數(shù)序列，得兩實(shí)數(shù)序列 f(a)，f1(a)，f2(a)，…，fm-1(a)，C； (1) f(b)，f1(b)，f2(b)，…，fm-1(b)，C． (2) 設(shè)序列(1)的變號(hào)數(shù)為A，序列(2)的變號(hào)數(shù)為B，則A—B即為方程f(x)=0在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實(shí)根數(shù)．西爾維斯特對(duì)斯圖姆定理進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了不需反復(fù)做多項(xiàng)式除法而得出斯圖姆函數(shù)序列的一種較簡(jiǎn)單的方法，并把斯圖姆定理的方法應(yīng)用到兩個(gè)獨(dú)立函數(shù)f(x) 這兩個(gè)方程的根以大小順序排列時(shí)，它們相互穿插． 牛頓在研究代數(shù)方程根的個(gè)數(shù)中，曾提出了判定正根、負(fù)根和虛根個(gè)數(shù)的符號(hào)法則，但是沒(méi)有給出證明，西爾維斯特于1865年給出了第一個(gè)嚴(yán)格的證明．1865年6月28日，西爾維斯特在倫敦大學(xué)國(guó)王學(xué)院的演講(見(jiàn)The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester， Vol．Ⅱ，pp．498—513)，詳細(xì)闡述了他關(guān)于方程根的定理和證明．若f(x)=0是一個(gè)代數(shù)方程，假設(shè) 其中a0，a1，…，an稱(chēng)為f(x)的簡(jiǎn)單元素．令 A0，A1，A2，…，An稱(chēng)為f(x)的2次項(xiàng)元素．稱(chēng)ar，ar+1是相連 更；在一個(gè)相關(guān)聯(lián)的組中，可能是兩個(gè)承襲或兩個(gè)變更，或一個(gè)承襲一個(gè)變更，或一個(gè)變更一個(gè)承襲，分別用pP，vV，pV，vP表示，簡(jiǎn)稱(chēng)為雙承襲，雙變更，承襲變更，變更承襲．其中p，v表示相連簡(jiǎn)單元素的承襲和變更，P，V表示相連的2次項(xiàng)元素的承襲和變更．于是牛頓的完全法則可以簡(jiǎn)單地表述為：方程的負(fù)根數(shù)等于或小于ΣpP，正根數(shù)等于或小于ΣvP．由此可以得出推論：方程的實(shí)根總數(shù)等于或小于ΣpP+ΣvP．于是牛頓的不完全法則可表述為：方程的虛根數(shù)等于或大于n-(ΣpP＋ΣvP)． 西爾維斯特又將f(x)改寫(xiě)為f(x＋λ)，上面簡(jiǎn)單元素和2次項(xiàng)元素的序列也要作相應(yīng)的改變，雙承襲記作ΣpP(λ)，或更簡(jiǎn)要地記作pP(λ)，稱(chēng)為λ特有的雙承襲數(shù)目，pP(u)則稱(chēng)為μ特有的雙承襲數(shù)目．(pP(0)即上面ΣpP的記法)于是西爾維斯特得到了包括牛頓法則在內(nèi)的一般定理：假設(shè)μ＞λ，則pP(u)-pP(λ)=(u，λ)＋2K，其中(μ，λ)表示方程在λ和μ之間的實(shí)根數(shù)，K是零或任意的正整數(shù)．西爾維斯特還將他的定理寫(xiě)成更一般的形式，他證明了他的定理，并指出了牛頓法則包含在他的定理之中． 在關(guān)于代數(shù)方程實(shí)根的研究中，西爾維斯特還推廣并改進(jìn)了牛頓的判別式．設(shè)x1，x2，…，x是方程。a0xn＋a1xn-1+…＋an-1x+an=0的根，牛頓的判別式為 1840年，西爾維斯特得到了一個(gè)更詳細(xì)的直接用方程的系數(shù)構(gòu)成的判別式； 如方程a0x2+a1x+a2=0的判別式為 這就是大家所熟知的結(jié)果． 西爾維斯特在方程論方面的另一個(gè)成就是改進(jìn)了從一個(gè)n次方程和一個(gè)m次方程消去x的方法，他稱(chēng)這個(gè)方法為“析配法”(dialytic method)．例如為消去方程 f(x)=a0xn＋a1xn-1＋…+an=0(a0≠0) 中的x，它們的系數(shù)構(gòu)成一個(gè) m＋n階的行列式 這行列式為零是這兩個(gè)方程有公共解的必要充分條件．但西爾維斯特沒(méi)有給出充分性的證明，后來(lái)被A．L．柯西(Cauchy)證明． 代數(shù)型 19世紀(jì)中葉，西爾維斯特與凱萊等一批數(shù)學(xué)家開(kāi)展了對(duì)代數(shù)型的研究．所謂代數(shù)型是指包含n個(gè)變?cè)獂1，x2，…，xn的m次齊次多項(xiàng)式f(x1，x2，…，xn)，最常見(jiàn)的是二次型，即 關(guān)于代數(shù)型的研究主要圍繞著三個(gè)課題，一是對(duì)不變量的研究；二是二次型的化簡(jiǎn)；三是關(guān)于二次型正定性的判定．西爾維斯特在這三個(gè)方面都做出了重要的貢獻(xiàn)． 代數(shù)不變量的理論是由G．布爾(Boole)、凱萊和西爾維斯特共同創(chuàng)立的．所謂不變量理論就是經(jīng)線(xiàn)性變換T將一個(gè)代數(shù)型f(x1，x2，…，xn)變?yōu)榇鷶?shù)型F(y1，y2，…，yn)，f的系數(shù)a0，a1，…，as變?yōu)镕的系數(shù)a′0，a′1，…，a′s，若經(jīng)變換后它們的系數(shù)的某個(gè)函數(shù)I滿(mǎn)足關(guān)系式 則稱(chēng)I為f的一個(gè)不變量．若ω=0，此不變量稱(chēng)為f的絕對(duì)不變量．譬如在一個(gè)直角坐標(biāo)系下，兩個(gè)變?cè)獂，y的二次型 f=ax2+2bxy＋cy2 經(jīng)一個(gè)正交變換T，變?yōu)槎涡? F=a′x′2＋2b′x′y′+c′y′2 雖然它們的系數(shù)改變了，但是它們系數(shù)的某個(gè)函數(shù)如判別式 是保持不變的，即 D=ac-b2＝a′c′-b′2=D′， 也就是說(shuō)判別式D=ac-b2是f的一個(gè)不變量．西爾維斯特等人計(jì)算了大量的代數(shù)型的不變量．西爾維斯特還發(fā)展了型的反變理論，弄清了正交變換、共變和皮變迭合，并且證明了由凱萊首先提出的在研究不變量理論方面有重要意義的凱萊數(shù)的存在性． 西爾維斯特還與凱萊、S．H．阿隆霍爾德(Aronhold)一起系統(tǒng)地用線(xiàn)性微分算子來(lái)生成不變量和共變量．在不變量的計(jì)算中證明了任意2元P次型 f=a0xp+Pa1xp-1y+…+apyp 的不變量I應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足兩個(gè)微分方程 ΩI=0，OI=0． 這里Ω和O是線(xiàn)性微分算子， 西爾維斯特稱(chēng)這些微分算子為零化子(annihilators)． 西爾維斯特在二次型的化簡(jiǎn)和創(chuàng)立標(biāo)準(zhǔn)形理論方面起了重要作用．在二次型化簡(jiǎn)的研究中西爾維斯特得到了兩個(gè)二次型等價(jià)的充分必要條件是它們有相同的秩和相同的指數(shù)，相繼得到的另一個(gè)重要結(jié)果就是著名的“慣性定律”(law of inertia)，即秩為r的一個(gè)實(shí)二次型可以通過(guò)非奇異的線(xiàn)性變換化成規(guī)范形 其中指數(shù)P是唯一確定的，現(xiàn)在教科書(shū)中稱(chēng)為正慣性指數(shù)．當(dāng)時(shí)西爾維斯特沒(méi)有給出證明，這個(gè)定律后來(lái)被J．雅可比(Jacobi)重新發(fā)現(xiàn)并證明．西爾維斯特在對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形的研究中得到另一個(gè)著名的定理：一般2n-1次的二元型可化為n個(gè)線(xiàn)性型的2n-1次冪的和．如一個(gè)5次二元型可化為3個(gè)線(xiàn)性型的5次冪的和．這個(gè)定理對(duì)于將一個(gè)二元型化為標(biāo)準(zhǔn)形有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值．西爾維斯特對(duì)一般2n次代數(shù)型的化簡(jiǎn)也進(jìn)行過(guò)詳細(xì)的討論，這要比2n-1次的情況復(fù)雜得多． 在代數(shù)型的研究中，關(guān)于二次型正定性的判定是另一個(gè)重要課題，它具有重要的理論和實(shí)用價(jià)值．將二次型化為規(guī)范形來(lái)判定是方法之一，但是能否不用化簡(jiǎn)，只用二次型的系數(shù)進(jìn)行判定呢？西爾維斯特對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究，得到著名的西爾維 的值全為正數(shù)． 行列式和矩陣 西爾維斯特在行列式和矩陣的理論和應(yīng)用方面也做出了重要的貢獻(xiàn)．他對(duì)行列式的應(yīng)用開(kāi)辟了許多新的領(lǐng)域，如前面所談到的在對(duì)代數(shù)方程和二次型的研究中都利用了行列式這一工具．1851年，西爾維斯特在研究二次曲線(xiàn)和二次曲面切觸和相交時(shí)，需要考慮二次曲線(xiàn)和二次曲面束的分類(lèi)．他把曲面束寫(xiě)成A+λB的形式，這里 A=ax2+by2+cz2+2dyz+2ezx+2fxy， B=a′x2＋b′y2+c′z2＋2d′yz＋2e′zx＋2f′xy． 他考察了行列式 他的分類(lèi)方法引進(jìn)了初等因子的概念．A+λB的行列式是λ的多項(xiàng)式，西爾維斯特證明了，如果|A+λB|的任一階的全部子式有一個(gè)公共因子λ+ε，則當(dāng)A和B經(jīng)過(guò)一個(gè)線(xiàn)性變換同時(shí)變換以后，這個(gè)因子仍將是同階子式組的公共因子．他還證明了如果全部i階子式有因子(λ+ε)a，(i+h)階子式將包含因子(λ＋ε)(h+1)a．對(duì)每個(gè)i，i階子式的最大公因子Di(λ)中所出現(xiàn)的各線(xiàn)性因子的方冪是|A+λB|的或任何一般行列式A的初等因子．對(duì)每個(gè)i，Di(λ)被D1-1(λ)所除的商稱(chēng)為|A+λB|的不變因子．關(guān)于初等因子和不變因子的概念，1878年被德國(guó)數(shù)學(xué)家F．G．弗羅貝尼烏斯(Frobenius)引入矩陣，成為λ矩陣?yán)碚撝械闹匾獌?nèi)容． 在矩陣?yán)碚撝校鳡柧S斯特另一個(gè)值得注意的結(jié)果是他的所謂零性律．設(shè)A，B是數(shù)域P上的兩個(gè)n階矩陣，A的秩為r1，B的秩為r2，AB的秩為R，則R≤r1，R≤r2，且R≥r1+r2-n．西爾維斯特把矩陣的階數(shù)與秩的差叫做矩陣的“零性”，因此他對(duì)此定律的敘述為：“兩個(gè)(而且可以推廣為任意有限數(shù)目)矩陣乘積的零性不能比任意因子的零性小，也不能比組成這一乘積的因子的零性之和大”．這是在矩陣?yán)碚撝嘘P(guān)于矩陣乘積的秩的一個(gè)重要定理． 數(shù)論 西爾維斯特很早便對(duì)數(shù)字的理論感興趣，發(fā)表了關(guān)于小于一個(gè)給定數(shù)并與給定數(shù)互素的數(shù)的乘積的漂亮定理．他對(duì)這個(gè)定理很得意，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)在高斯的《算術(shù)探究》(Disquisitiones ari－thmeticae，1801)中已給出了這個(gè)定理．西爾維斯特還應(yīng)用柯西的剩余理論引入了可數(shù)性的概念，并在歐拉關(guān)于聯(lián)立線(xiàn)性不定方程正整數(shù)解的枚舉問(wèn)題的研究中增添了幾個(gè)新的結(jié)果．特別值得一提的是他用圖解的方法發(fā)展了整數(shù)的分拆理論．他用按順序排列在矩形格點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)表示數(shù)的分拆，如 9(5+3＋1)的分拆可表示為格中行的點(diǎn)，共軛分拆(3+2＋2＋1＋1)就可以表示為格中列的點(diǎn)，如下頁(yè)圖．這一表示方法提供了分拆理論中許多定理的證明方法或簡(jiǎn)化了證明過(guò)程． 西爾維斯特在數(shù)學(xué)方面的成就除了上面所述之外，在微分方程、橢圓函數(shù)和θ函數(shù)方面也做過(guò)一些有益的工作，并著有《橢圓函數(shù)論》(Treatise on elliptic functions，1876)一書(shū)． 西爾維斯特出生在猶太家庭，雖然在大學(xué)學(xué)習(xí)期間就表現(xiàn)出了他的數(shù)學(xué)才華，學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)異，但由于血統(tǒng)的關(guān)系，最初在英國(guó)并不受重用，有時(shí)甚至去做較低級(jí)的職員工作．但他仍不遺余力地為數(shù)學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)出全部心血．他一生共發(fā)表了三百多篇論文，為數(shù)學(xué)特別是純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，在近代數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有一定的地位．他的數(shù)學(xué)論文收集在由劍橋大學(xué)出版的《詹姆士·約瑟夫·西爾維斯特?cái)?shù)學(xué)論文集》(The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester)，共4卷，由H．F．貝克(Baker)編輯．西爾維斯特具有豐富的想像力和創(chuàng)造精神，活潑、機(jī)敏，善于用火一般的熱情介紹他的思想．他自稱(chēng)“數(shù)學(xué)亞當(dāng)”，一生創(chuàng)造過(guò)許多數(shù)學(xué)名詞，流傳至今的如“矩陣”、“不變式”、“判別式”等都是他首先使用的．西爾維斯特除了對(duì)數(shù)學(xué)的研究之外，還是一位詩(shī)人，對(duì)音樂(lè)也有濃厚的興趣，出版過(guò)《詩(shī)體法則》(Laws of verse， 1870)等著作． |
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來(lái)自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
