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克羅內(nèi)克 邵明湖 (遼寧師范大學(xué)) 克羅內(nèi)克，L．(Kronecker，Leopold)1823年12月7日生于德國布雷斯勞附近的利格尼茨(Liegnitz，今屬波蘭)；1891年12月29日卒于柏林．?dāng)?shù)學(xué)． 克羅內(nèi)克生于一個富裕的猶太家庭，他的父親伊西多·克羅內(nèi)克(Isidor Kronecker)是一個商人，對哲學(xué)有濃厚興趣．克羅內(nèi)克進入利格尼茨預(yù)科學(xué)校之前，在家中接受私人教師的教育．在預(yù)科學(xué)校，他幸運地遇到了對他后來的數(shù)學(xué)生涯產(chǎn)生重要影響的第一位數(shù)學(xué)教師E．E．庫默爾(Kummer)，并與之結(jié)成了終生好友．10多年后他們在柏林成為同事．當(dāng)1881年慶祝庫默爾獲得博士學(xué)位50周年時，克羅內(nèi)克說庫默爾提供了他“理性生活”的“最本質(zhì)的部分”．庫默爾的特別指導(dǎo)使克羅內(nèi)克很早便顯露了數(shù)學(xué)才能，但克羅內(nèi)克有著廣泛的興趣，并取得優(yōu)秀成績．哲學(xué)、古典語言、音樂都是他喜愛的科目，并成為他的終生愛好．他甚至對軍事和政治也有獨到的見解．1841年春，克羅內(nèi)克進入柏林大學(xué)．當(dāng)時的柏林大學(xué)擁有P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)這樣的大師，還有奠定了橢圓函數(shù)論基礎(chǔ)的C．G．J．雅可比(Jacobi)和近代綜合幾何學(xué)的開創(chuàng)者J．施泰納(Steiner)．狄利克雷對他的影響是深刻的，這體現(xiàn)在他的每一篇作品中．而雅可比的學(xué)術(shù)興趣則主導(dǎo)了克羅內(nèi)克的一生——橢圓函數(shù)論始終是克羅內(nèi)克興趣的中心．但施泰納的幾何學(xué)似乎從沒有引起克羅內(nèi)克真正的興趣．這期間，有的學(xué)期他是在波恩大學(xué)過的，因為庫默爾成了那兒的教師．此時的克羅內(nèi)克在社交生活中也非?；钴S，曾參加過擊劍社團，加入學(xué)生組織．1845年，克羅內(nèi)克以討論代數(shù)數(shù)域中可逆元的論文“論復(fù)單位元“(De Unitatibus Complexis)獲柏林大學(xué)博士學(xué)位．在口試中，狄利克雷考問了他在定積分、級數(shù)、微分方程方面的知識． 此后8年，克羅內(nèi)克是在家鄉(xiāng)度過的．他經(jīng)營了舅父留下的大宗產(chǎn)業(yè)，并取得很大成功，成為一個商人、銀行家和農(nóng)場主．這段經(jīng)營保證了他余生可以優(yōu)裕地從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動而無經(jīng)濟之憂．1848年，他與表妹范妮·普勞斯尼茨(Fanny Prausnitzer)結(jié)婚，他們有6個孩子．在鄉(xiāng)居的8年時間里，克羅內(nèi)克一直沒有論文發(fā)表，但在商務(wù)活動之余，他卻一直保持著與以前的老師庫默爾(當(dāng)時任布雷斯勞大學(xué)教授)的頻繁通信．對數(shù)學(xué)創(chuàng)造的向往使他仍然保持了數(shù)學(xué)思維的活躍．也許這種在一定程度上的與世隔絕對克羅內(nèi)克來說是一種幸運，因為這使他慢慢成熟起來．“但是”，在克羅內(nèi)克去世后繼任柏林大學(xué)教授的F．G．弗羅貝尼烏斯(Fro-benius)對此評論道：“這對他的同事們來說卻是巨大損失，因為他們不能參入他的發(fā)展過程．當(dāng)他經(jīng)過8年沉默之后發(fā)表他在余暇中給出的結(jié)果時，只有不超過三位的數(shù)學(xué)家能跟上他的思路．” 巴黎，在那里結(jié)識了C．埃爾米特(Hermite)和其他一些法國領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家． 1855年，克羅內(nèi)克重返柏林．就在這一年，狄利克雷離開柏林接替了高斯在格丁根的職位．根據(jù)狄利克雷的提名，庫默爾被任命接替他成為柏林大學(xué)教授．次年，由于庫默爾的安徘，K．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)來到柏林并成為柏林科學(xué)院成員．從此，這三位數(shù)學(xué)精英揭開了柏林?jǐn)?shù)學(xué)界的新篇章．定居柏林后，克羅內(nèi)克以很快的速度發(fā)表了一系列論文，內(nèi)容涉及數(shù)論、橢圓函數(shù)論、代數(shù)，尤其是探討了這些學(xué)科之間的相互依賴性．1861年1月23日，經(jīng)庫默爾和魏爾斯特拉斯等人推薦，克羅內(nèi)克成為柏林科學(xué)院院士．之后，他利用院士之便在柏林大學(xué)義務(wù)開設(shè)了一系導(dǎo)致庫默爾于1844年開始的一系列論文中創(chuàng)立了理想數(shù)的理論，他借此證明了費馬大定理對所謂“正則素數(shù)”成立．庫默爾理論的核心是將分圓整數(shù)分解成素因子的乘積，當(dāng)素因子不存在時，引入理想素因子．戴德金的代數(shù)數(shù)理論對高斯的復(fù)整數(shù)和庫默爾的理想數(shù)做了一般處理，將其推廣為一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)——理想．今天，理想的概念幾乎出現(xiàn)在所有的數(shù)學(xué)分支中． 克羅內(nèi)克繼續(xù)庫默爾對代數(shù)數(shù)的研究，他運用一種漂亮的方法克服了唯一因子分解的困難．早在1859年，庫默爾便提到克羅內(nèi)克關(guān)于代數(shù)數(shù)的結(jié)果，說克羅內(nèi)克將要發(fā)表這一得到“完善發(fā)展的極其簡明的關(guān)于最一般代數(shù)數(shù)的理論”．但20年過去了，克羅內(nèi)克并未發(fā)表他的這一著作，因為他自己希望得到更一般的結(jié)果．克羅內(nèi)克的理論出現(xiàn)在1881年為慶祝庫默爾取得博士學(xué)位50周年的紀(jì)念文章中，題為“代數(shù)量的一種算術(shù)理論概要”(Grundzügeeiner arithmetischen The orieder algebraischen 概念，其核心思想非常簡單明晰．實質(zhì)上，他是將所討論的域的整數(shù)環(huán)嵌入一個更大的多項式環(huán)，這些多項式的系數(shù)在整數(shù)環(huán)中．這一方法與人們熟知的戴德金的方法有著本質(zhì)上的不同． 首先，戴德金認(rèn)為以如下方式定義“理想”是其理論的主要任務(wù)，即對代數(shù)數(shù)不成立的唯一因子分解定理對于理想來說應(yīng)該是成立的．而克羅內(nèi)克注意到“素數(shù)”的概念是相對于所考慮的數(shù)域的．如果域擴張了，那么原來的素數(shù)就不復(fù)如初了．為此，素數(shù)唯一因子分解定理應(yīng)屬于理論的后一部分，即應(yīng)在以一種獨立于所考慮的域的方式定義了基本概念之后方可考慮．當(dāng)然，在戴德金的理論中，從一個域到另一個域時必須計算理想；而克羅內(nèi)克的理論與此無關(guān)，在這里，當(dāng)域擴張或收縮時它是不改變的． 其次，克羅內(nèi)克實際上是通過告知如何去計算它們而定義除子的，用戴德金的話說，這等于給出了一種算法以便確定(已知一組理想的生成元)域的一已知元是否在理想中——這是戴德金理論中所沒有的．克羅內(nèi)克的方法體現(xiàn)了他的哲學(xué)思想． 克羅內(nèi)克對代數(shù)數(shù)論的貢獻尤以所謂克羅內(nèi)克-韋伯定理著名．該定理即：有理數(shù)域的任一阿貝爾擴張一定是一分圓域的子域．這也是他最重要的成果之一．今天，每一個學(xué)過代數(shù)數(shù)論的人都會了解這一定理以其簡潔和一般所體現(xiàn)的深刻及其在代數(shù)數(shù)論中的重要地位．這一深刻的結(jié)果是克羅內(nèi)克在1853年發(fā)表的“論代數(shù)可解方程”中的一個副產(chǎn)品．但他沒有給出證明．后人曾給出幾種證明，其中最早的是H．韋伯(Weber)在1886年給出的，距該定理發(fā)表已30多年．這也旁證了弗羅貝尼烏斯的話是有道理的． 由克羅內(nèi)克-韋伯定理出發(fā)，克羅內(nèi)克進一步提出了著名的猜想：每個虛二次域K的極大阿貝爾擴域是將K添加某種橢圓函數(shù)(這是雙周期函數(shù))在全部有理點處的取值而得到的域．在1880年給戴德金的一封信中，克羅內(nèi)克稱此猜想為“我最迷戀的青春之夢”．至第一次世界大戰(zhàn)期間這一猜想才為日本數(shù)學(xué)家高木貞治(TeijiTakagi)所證明．這也是日本近代學(xué)者的第一個具有國際水平的數(shù)學(xué)成果． 據(jù)說克羅內(nèi)克在剛開始他的科學(xué)生涯時曾經(jīng)有點瞬眠E．伽羅瓦(Galois)，我們無從知道這是否屬實，但克羅內(nèi)克最早掌握了伽羅瓦的思想．就在1853年關(guān)于方程的代數(shù)可解性的論文中，他發(fā)展了阿貝爾和伽羅瓦關(guān)于方程可解性的結(jié)果，進一步揭示了方程可解的本質(zhì)特征．當(dāng)克羅內(nèi)克致力于解決這一問題時(19世紀(jì)40年代)，伽羅瓦理論還很少有人理解．后來，克羅內(nèi)克同埃爾米特一樣用橢圓模函數(shù)解出了一般的五次方程，與之不同的是，克羅內(nèi)克運用了伽羅瓦思想． 克羅內(nèi)克的工作中體現(xiàn)著深刻的代數(shù)思想．早在博士論文中，他就試圖將一組單位元表示為群．25年后，他成功地構(gòu)造出一套公理體系以限定有限阿貝爾群．這表明他的工作是朝著現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的．后來他創(chuàng)立了有理函數(shù)域論，引進了在域上添加代數(shù)量生成擴域的概念和模系的概念，并說明了代數(shù)數(shù)的理論是獨立于代數(shù)基本定理的．這是他最重要的工作之一． 克羅內(nèi)克的數(shù)學(xué)活動體現(xiàn)了他統(tǒng)一數(shù)學(xué)的努力．他試圖為整個數(shù)學(xué)奠定一個基礎(chǔ)，從這個基礎(chǔ)出發(fā)可以建立完整的數(shù)學(xué)體系．在他看來，這個基礎(chǔ)便是算術(shù)．他關(guān)于橢圓函數(shù)的工作中，邊界公式尤其值得一提，這是在狄利克雷工作方向上的一大進步，揭示了算術(shù)與橢圓函數(shù)之間最深層的關(guān)系，并提供了后來E．赫克(Hecke)用解析方法研究代數(shù)數(shù)論的基礎(chǔ)，它充分體現(xiàn)了克羅內(nèi)克的統(tǒng)一數(shù)學(xué)觀． 克羅內(nèi)克的大部分工作表明，他可以被稱作算法家．他的目標(biāo)是完善技巧，給出簡明表達式以自動顯示從某一步到下一步的過程．例如克羅內(nèi)克的除子理論，它當(dāng)然可看成戴德金理想論的另一種形式，其基本定義很難理解，其實是一種算法，這種算法是要確定代數(shù)數(shù)域K中的已知整數(shù)b是否在由K中的已知整數(shù)組a1，a2，…，an生成的理想中．對算法感興趣的讀者會更易于理解他的工作． 克羅內(nèi)克對數(shù)學(xué)哲學(xué)有強烈信念，試圖將一切數(shù)學(xué)(從代數(shù)學(xué)到分析)算術(shù)化是他的最高愿望．他寫道：“有一天人們將成功地將所有數(shù)學(xué)算術(shù)化，就是說將數(shù)學(xué)建立在最狹義的數(shù)概念的單一基礎(chǔ)上．”“一切最根本的數(shù)學(xué)研究結(jié)果最終必須可以整數(shù)性質(zhì)的簡單形式表達．”他的另一句話是更著名的：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余一切都是人造的．”不過，我們所了解的他的哲學(xué)觀點大多是由別人轉(zhuǎn)述的．克羅內(nèi)克的學(xué)生K．亨澤爾(Hensel)在克羅內(nèi)克的《數(shù)論講義》的前言中寫道：“我也必須指出克羅內(nèi)克自覺地加于廣義算術(shù)的定義和證明之上的一個要求，對它的嚴(yán)格遵守將他對數(shù)論和代數(shù)的處理與幾乎所有其他的人區(qū)別開來．他相信人們在這些數(shù)學(xué)分支中能夠也必須以這種方式限定一個定義，即人們可用有限步驗證它是否適用于任意已知量．同樣，一個量的存在性證明只有當(dāng)它包含一種方法，通過它可以實際地發(fā)現(xiàn)要證明存在的量時，才可被認(rèn)為是完全嚴(yán)格的．”這些正是后來重要的數(shù)學(xué)哲學(xué)流派——直覺主義學(xué)派所堅持的信念．因此，克羅內(nèi)克被認(rèn)為是直覺主義學(xué)派的先驅(qū)．他的這些原則也正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要領(lǐng)域——構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究的起點． 克羅內(nèi)克基于自己的哲學(xué)觀，反對魏爾斯特拉斯的數(shù)學(xué)風(fēng)格．魏爾斯特拉斯不僅使用實無限，而且鐘愛像波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理(有界無窮序列必有聚點)這樣的非構(gòu)造性的存在定理．克羅內(nèi)克認(rèn)為魏爾斯特拉斯的方法是不充分的，他要找出“現(xiàn)在分析學(xué)賴以存在的一切結(jié)論之謬誤”．這大大刺激了他的老同事魏爾斯特拉斯．他們原是極好的朋友，從70年代開始，他們的關(guān)系變壞了．魏爾斯特拉斯認(rèn)為克羅內(nèi)克的信條對他是嚴(yán)重的威脅．這兩位數(shù)學(xué)家在很多方面截然不同：魏爾斯特拉斯高大、閑散，而克羅內(nèi)克則小巧、精干；一位擅長分析，并形成一個強大的分析學(xué)派，另一位則是代數(shù)學(xué)家．1888年，魏爾斯特拉斯對他的朋友宣稱與克羅內(nèi)克完全斷交．而克羅內(nèi)克卻顯然沒有認(rèn)識到自己的觀點和活動是怎樣傷害了魏爾斯特拉斯，因為他一直聲稱自己是魏爾斯特拉斯的朋友． 當(dāng)然，在克羅內(nèi)克看來，G．康托爾(Cantor)的超窮數(shù)理論是無法接受的，它與克羅內(nèi)克的信條完全對立．克羅內(nèi)克強烈反對并試圖阻止康托爾擴大其影響，他大概不會認(rèn)識到自己對康托爾造成了何等程度的傷害．由于殫精竭慮地致力于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的證明和對自己的工作缺乏信心，康托爾一度陷入精神崩潰．來自克羅內(nèi)克這位權(quán)威的精神壓力可能也是導(dǎo)致于此的原因．在克羅內(nèi)克看來，康托爾顯然是錯誤地追隨了魏爾斯特拉斯的一位后生． 克羅內(nèi)克的哲學(xué)被不喜歡它的人稱為“暴動”(Putsch)．的確，它從來也沒有贏得多數(shù)人的贊同．但卻贏得了一些一流數(shù)學(xué)家的附和．克羅內(nèi)克本人對這種和者寡的情形也許不會太在意．事實上，他一生所鐘愛的代數(shù)學(xué)和數(shù)論當(dāng)時便不如魏爾斯特拉斯所擅長的分析學(xué)更受大多數(shù)人的歡迎．作為教師，他講課的清晰而漂亮的開場白往往使他的聽眾認(rèn)為后續(xù)課程一定是易懂的，但不久這一信念就會煙消云散，直到只剩下少數(shù)虔誠的聽眾——許多人去聽魏爾斯特拉斯的課了．克羅內(nèi)克反而很高興，他會戲謔地說可以在前幾排座位后掛一道簾子，以使聽眾與講演者之間更密切．這少數(shù)忠實的聽眾便跟隨著他，有時課后一起步行回家．并一直繼續(xù)課堂上的討論．經(jīng)過弗里德里希大街的人有時會看到這樣的場面：一個矮個子的人興致勃勃的對一圈青年人講解著什么，他們都如此全神貫注，根本注意不到是否妨礙了交通．克羅內(nèi)克一直保持著貴族式的孤傲，但他的家對學(xué)生是開放的．他的一些學(xué)生后來成為重要的數(shù)學(xué)家，但他從未努力去贏得一大批追隨著． 克羅內(nèi)克的理想對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)來說無疑是過于狹隘了，但他的懷疑精神對人們重新批判地檢查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)起了鼓舞作用．它導(dǎo)致了數(shù)學(xué)中兩種有建設(shè)性的批判運動：有限步構(gòu)造性證明與存在性證明，以及從數(shù)學(xué)中驅(qū)除不能以有限個詞明確表述的定義．這些有利于人們更清楚地認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)． |
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