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雅格布·伯努利 山東教育學(xué)院 仝素勤 許義夫 伯努利，J．(Bernoulli，Jakob)1654年12月27日生于瑞士巴塞爾；1705年8月16日卒于巴塞爾．?dāng)?shù)學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)． 雅格布·伯努利(Jakob Bernoulli)出生在一個商人世家．他的祖父是荷蘭阿姆斯特丹的一位藥商，1622年移居巴塞爾．他的父親接過興隆的藥材生意，并成了市議會的一名成員和地方行政官．他的母親是市議員兼銀行家的女兒．雅格布在1684年與一位富商的女兒結(jié)婚，他的兒子尼古拉·伯努利(NikolausBernoulli)是藝術(shù)家，巴塞爾市議會的議員和藝術(shù)行會會長． 雅格布畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，1671年獲藝術(shù)碩士學(xué)位．這里的藝術(shù)是指“自由藝術(shù)”，它包括算術(shù)、幾何、天文學(xué)、數(shù)理音樂的基礎(chǔ)，以及文法、修辭和雄辯術(shù)等七大門類．遵照他父親的愿望，他又于1676年取得神學(xué)碩士學(xué)位．同時他對數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，但是他在數(shù)學(xué)上的興趣遭到父親的反對，他違背父親的意愿，自學(xué)了數(shù)學(xué)和天文學(xué)．1676年，他到日內(nèi)瓦做家庭教師．從1677年起，他開始在這里寫內(nèi)容豐富的《沉思錄》(Meditationes)．1678年雅格布進行了他第一次學(xué)習(xí)旅行，他到過法國、荷蘭、英國和德國，與數(shù)學(xué)家們建立了廣泛的通信聯(lián)系．然后他又在法國度過了兩年的時光，這期間他開始研究數(shù)學(xué)問題．起初他還不知道L．牛頓(Newton)和G．W．萊布尼茲(Leibniz)的工作，他首先熟悉了R．笛卡兒(Descartes)及其追隨者的方法論科學(xué)觀，并學(xué)習(xí)了笛卡兒的《幾何學(xué)》(La géometrie)、J．沃利斯(Wallis)的《無窮的算術(shù)》(Arithmetica Infinitorum)以及Ⅰ．巴羅(Barrow)的《幾何學(xué)講義》(Geometrical Lectures)．他后來逐漸地熟悉了萊布尼茲的工作．1681—1682年間，他做了第二次學(xué)習(xí)旅行，接觸了許多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，如J．許德(Hudde)、R．玻意耳(Boyle)、R．胡克(Hooke)及C．惠更斯(Huygens)．通過訪問和閱讀文獻，豐富了他的知識，拓寬了個人的興趣．這次旅行，他在科學(xué)上的直接收獲就是發(fā)表了還不夠完備的有關(guān)彗星的理論(1682年)以及受到人們高度評價的重力理論(1683年)．回到巴塞爾后，從1683年起，雅格布做了一些關(guān)于液體和固體力學(xué)的實驗講課，為《博學(xué)雜志》(Jounal des scavans)和《教師學(xué)報》(Actaeruditorum)寫了一些有關(guān)科技問題的文章，并且也繼續(xù)研究數(shù)學(xué)著作．1687年，雅格布在《教師學(xué)報》上發(fā)表了他的“用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分的方法”，這些成果被推廣運用后，又被作為F．V．斯霍滕(Schooten)編輯的《幾何學(xué)》(Geometrie)的附錄發(fā)表． 1684年之后，雅格布轉(zhuǎn)向詭辯邏輯的研究．1685年出版了他最早的關(guān)于概率論的文章．由于受到沃利斯以及巴羅的涉及到數(shù)學(xué)、光學(xué)、天文學(xué)的那些資料的影響，他又轉(zhuǎn)向了微分幾何學(xué)．在這同時，他的弟弟約翰·伯努利(Johann Bernoulli)一直跟其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．1687年雅格布成為巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，直到1705年去世．在這段時間，他一直與萊布尼茲保持著通信聯(lián)系． 1699年，雅格布被選為巴黎科學(xué)院的國外院士，1701年被柏林科學(xué)協(xié)會(即后來的柏林科學(xué)院)接受為會員． 雅格布·伯努利是在17—18世紀(jì)期間，歐洲大陸在數(shù)學(xué)方面做過特殊貢獻的伯努利家族的重要成員之一．他在數(shù)學(xué)上的貢獻涉及微積分、解析幾何、概率論以及變分法等領(lǐng)域． 微積分學(xué) 雅格布和他的弟弟約翰經(jīng)常一起研究萊布尼茲的文章，迅速接受了萊布尼茲微積分的學(xué)說，并對他的文章大力加工，使之能夠較易被人接受．伯努利兄弟也對微積分做了大量的新發(fā)展，成為17世紀(jì)繼牛頓和萊布尼茲之后，最先發(fā)展微積分的人．萊布尼茲承認(rèn)，他們在微積分方面的工作和他一樣多． 雅格布在微積分方面的工作，同牛頓和萊布尼茲一樣，也是從關(guān)于求曲線的弧長、曲率、法包線(曲線的法線的包絡(luò)線)、拐點等基本的微積分課題開始．他把牛頓和萊布尼茲的結(jié)論擴展到各種各樣的螺線、懸鏈線和曳物線．1687年，關(guān)于“定長懸掛曲線的確定” (The determination of the curve of constant descent)已被萊布尼茲當(dāng)作一個問題提出．1690年雅格布在《教師學(xué)報》中也提出類似的問題：一根柔軟而不能伸長的繩子，自由懸掛于兩個固定點，求這繩所形成的曲線，即懸鏈線(catenary)形狀的確定問題．萊布尼茲立即指出這個問題的深遠意義，并主動解決這個問題，他的結(jié)果發(fā)表在1691年的《教師學(xué)報》上，同期約翰·伯努利、惠更斯也都各自發(fā)表了這個問題的解答．雅格布自己當(dāng)時卻沒有能解決這個問題，所以使約翰感到莫大的驕傲．1691年與1692年間，雅格布和約翰解決了更普遍的問題，即懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性繩，以及在每一點上的作用力都指向一個固定中心的細(xì)繩的形狀的問題．1694年，雅格布也研究了受力細(xì)桿(彈性物)所具有的形狀問題．對一組端點條件，他發(fā)現(xiàn)曲線的方程為 這里涉及到無理函數(shù)的積分問題．1695年關(guān)于懸鏈線的研究被應(yīng)用到了懸置橋梁的建筑中． 雅格布在1691年獲得兩項突出的成果．他檢驗了拋物螺線 具有特殊的對稱性；對數(shù)螺線(logarithmic spiral)在極坐標(biāo)中為r=aθ，雅格布對對數(shù)螺線有深入的研究，他發(fā)現(xiàn)對數(shù)螺線經(jīng)過各種變換后，結(jié)果還是對數(shù)螺線．如對數(shù)螺線的漸屈線和漸伸線都是對數(shù)螺線；自極點至切線的垂足的軌跡也是對數(shù)螺線；以極點為發(fā)光點經(jīng)對數(shù)螺線反射后得到的無數(shù)根反射線，和所有這些反射線相切的曲線叫回光線(catacaustic)，它還是對數(shù)螺線．他在驚嘆欣賞這曲線神奇巧妙之余，效仿阿基米德(Archi-medes)，在遺囑里要求他的后人將對數(shù)螺線刻在他的墓碑上，作永久紀(jì)念，并附以頌詞：“雖然改變了，我還是和原來一樣”(Eademmutata resurgo)． 1694年，雅格布出版了一本論文集《微分學(xué)方法，論反切線法》(Specimen caluli differentialis；de methodo tangentiuminversa)．這本著作用通俗易懂的語言去解釋微分法的原理，因而使萊布尼茲的微積分思想得到很大范圍的普及． 微分方程 雅格布在分析學(xué)中，使專用術(shù)語“積分”第一次被賦予數(shù)學(xué)意義而使用．他也是用微積分求一階常微分方程分析解的先驅(qū)者之一．1690年5月，他在《教師學(xué)報》上發(fā)表了關(guān)于等時問題的解答．這個問題是：求一條曲線，使得一個擺沿著它作一次完全的振動都取相等 解答： 這曲線是擺線．1691年雅格布研究了跟蹤曲線問題，導(dǎo)出了跟蹤曲線的微分方程．在求解一階常微分方程時，雅格布在1695年的《教師學(xué)報》中提出了求解方程 的問題．這方程后來被稱為“伯努利方程”．萊布尼茲在1696年證明了利用變量替換z=y1-n，可以把方程化為線性方程(y和y′的一次方程)來解．雅格布和約翰都各自給出了它的解法．雅格布還研究了船帆在風(fēng)力下的形狀問題，而且導(dǎo)出了一個二階微分方程：d2x/ds2=(dy/ds)3，這里s為弧長． 級數(shù) 雅格布在級數(shù)方面的大量工作，使他在級數(shù)理論方面成為當(dāng)時的權(quán)威．1689—1704年間他寫了5篇論文，共有60個命題，這些論文中大多數(shù)是討論函數(shù)的級數(shù)表示的，其目的是求函數(shù)的微分和積分，以及求曲線下的面積和曲線的長度．他求級數(shù)和的一些方法及判別級數(shù)收斂性的方法是值得注意的，例如比較判別法就得到了成功的運用，對級數(shù)的研究起了很好的作用．但是這些命題的表述，并沒有顯現(xiàn)出他的獨創(chuàng)性，也出現(xiàn)了一些相悖的結(jié)論． 在第一篇論文(1698年)中，他討論了一些無窮級數(shù)的和，證明了 一項均大于或等于最后一項．但是 因此就有 他說，這樣我們可以把項一組接一組的歸并起來，使得每一個組的和大于1，于是我們能夠得到有限多個項，其和大于任意指定的正數(shù)，從而 是有限數(shù)，承認(rèn)自己還不能求出它的和的精確值(歐拉在1737年首先得到成功)，但是他知道關(guān)于優(yōu)級數(shù) 可以求出它的前n項和．在命題24中，寫出 地應(yīng)用了比較判別法．第二篇論文主要是在三次曲線不完全分類的基礎(chǔ)上，根據(jù)它們的形態(tài)劃分成33種不同類型．第三篇論文中的命題，對于雙曲線求積分應(yīng)用對數(shù)級數(shù)(命題42)， 釋(命題44)，以及級數(shù)對于圓面積和二次曲線的扇形面積的解釋(命題45，46)．雅格布1698年以前關(guān)于懸鏈線及有關(guān)問題的見解，關(guān)于拋物線求長法及對數(shù)曲線求長的見解等分別作為命題49、命題41和命題52增補進去．第三篇論文有雅格布對二項式定理的證明，盡管牛頓在1676年曾經(jīng)陳述過這個定理，并用一些仔細(xì)挑選出來的例題說明它，但沒有給出任何證明，雅格布所補充的證明是最早的，然而他只限于指數(shù)是正整數(shù)的情況．大約在60年后，歐拉才想出了一個適用于指數(shù)為非正整數(shù)的證明．在命題55中出現(xiàn)了待定系數(shù)法．命題56—58以及命題60， 布尼茲的信中，我們看出在命題59中他應(yīng)用了J．克里斯托弗(Christophe)、F．D．丟勒(Duillier)的改進收斂性的思想．他的侄子尼古拉第一(1687—1759)把所有這些命題作為雅格布的名著《猜度術(shù)》(Ars conjectandi)的附錄發(fā)表． 解析幾何 在解析幾何方面，1691年雅格布在《教師學(xué)報》上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章，所以通常認(rèn)為他是極坐標(biāo)的發(fā)明者之一．他引入了“極坐標(biāo)”的概念，并說明了某些高次曲線應(yīng)用極坐標(biāo)可以比較容易地畫出來．在研究它們的性質(zhì)時，用極坐標(biāo)表示它們的方程比用直角坐標(biāo)表示更方便．1694年，雅格布在《教師學(xué)報》發(fā)表的論文中，提出了“伯努利雙紐線”(lemniscateof Bernoulli)，并討論了它的性質(zhì)．如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2是平面上的兩點，且F1F2=2a(a＞0)，平面上一動點P使得 PF1·PF2=b2(b是正常數(shù)) 成立的軌跡稱為一條卡西尼(Cassini)卵形線．當(dāng)b=a時得雙紐線．雙紐線在直角坐標(biāo)系中的方程是 (x2+y2)2=a2(x2-y2)， 在極坐標(biāo)系中的方程是 ρ2=a2cos2θ． 它是等軸雙曲線的切線與垂直于切線并通過中心的直線的交點之軌跡．雙紐線ρ2=a2cos2θ所圍成的面積是a2．1691年，雅格布和約翰給出了曲線的曲率半徑的公式．雅格布稱之為“黃金定理”，并寫作 z=dxds∶ddy=dyds∶ddx， 其中z是曲率半徑，如果用ds2除每一個比的分子和分母，得到 雅格布也給出了在極坐標(biāo)下曲率半徑的公式． 變分法 1696年約翰向歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，提出了一個難題：最速降線問題，雅格布作為還擊，1697年5月又提出另一個難題：等周問題．對于這些問題的研究和解決，使他們成為新的數(shù)學(xué)分支——變分法的重要奠基者． 變分法是微分學(xué)中處理單變量函數(shù)極大極小問題的一種推廣．對變分法的產(chǎn)生和發(fā)展有巨大影響的有下列幾類問題：最速降線問題、等周問題、測地線問題以及最小旋轉(zhuǎn)面問題．17—18世紀(jì)，力學(xué)的迅速成長刺激了這類問題的發(fā)展．伯努利兄弟與前面三個問題的解決都有關(guān)系，特別是最速降線問題的提出和解決，認(rèn)為是對變分法的創(chuàng)立有決定的意義．1696年約翰提出的最速降線問題是：確定一條連結(jié)不在同一鉛直線上的兩點A和B的曲線，使質(zhì)點只受重力的作用由A點沿曲線滑向B點，所用時間最短(介質(zhì)的阻力和摩擦力不計)．這問題的困難之處在于它和普通的極大極小值的求法不同，它是要求出一個未知函數(shù)(曲線)，來滿足所給條件．這個問題提出后，數(shù)學(xué)家們立即被它的新穎性所陶醉．雅格布、約翰、萊布尼茲、洛比達和牛頓都研究了這個問題，各用不同的方法得到了相同的答案，這條曲線是旋輪線(亦稱圓滾線或擺線)．雅格布的解法是比較淺顯的，1700年他在《教師學(xué)報》上發(fā)表了“等周問題實解”(Solution propria problematis isoperimetrici)一文，文中包括了他對“最速降線”的解答． 雅格布在1697年5月的《教師學(xué)報》上，提出了一個包含幾種情形的相當(dāng)復(fù)雜的“等周問題”，向其弟弟約翰挑戰(zhàn)．約翰最初給出的解都沒有獲得成功，雅格布在1700年的“等周問題實解”一文中，給出了正確的答案． 1698年，雅格布在關(guān)于變分法的第三個典型問題——測地線問題上，作出了新的貢獻，他解決了柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)面的測地線問題． 概率論 《猜度術(shù)》(Arc conjectandi)是雅格布一生中最有創(chuàng)造力的著作，這本書是在他死后8年，即1713年才出版的．這本書的出版是概率史上的一件大事，它是把數(shù)學(xué)的又一分支——概率論建立在穩(wěn)固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的首次認(rèn)真的嘗試．在這部著作中他提出了概率論中的“伯努利定理”以及在數(shù)論中很有影響的“伯努利數(shù)”和“伯努利多項式”等基本內(nèi)容．“伯努利定理”是“大數(shù)定律”的最早形式．由于“大數(shù)定律”的極端重要性，1913年12月彼得堡科學(xué)院曾舉行慶祝大會，紀(jì)念“大數(shù)定律”誕生200周年． 早在雅格布的《猜度術(shù)》出版之前，P．de費馬(Fermat)、E．帕斯卡(Pasccal)以及惠更斯等人就對概率論問題作過一些研究，獲得某些成果．雅格布本人也在《教師學(xué)報》(1685)上寫過一些論文，提出了有關(guān)賭博游戲中的輸贏次數(shù)問題，對這些問題他在《猜度術(shù)》中也做出了解答．《猜度術(shù)》這部巨著中提出的大數(shù)定律是在隨機現(xiàn)象的大量重復(fù)中往往出現(xiàn)的必然規(guī)律的總稱，是對大量經(jīng)驗觀測中呈現(xiàn)的穩(wěn)定性的刻劃．雅格布對大數(shù)定律的陳述與現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)概率論著作十分一致，“隨著觀測數(shù)目的不斷增加，那記錄在案的有利事件與不利事件的比接近真實比的概率也不斷增加，以致這概率將最終超過所要求的任意的確定的度”．這一陳述對大量觀測的復(fù)雜結(jié)構(gòu)提出了一個簡明的假設(shè)，并且證明了這一假設(shè)．如在擲錢幣的游戲中，每次出現(xiàn)正面或反面雖是偶然的，但在大量重復(fù)時，出現(xiàn)正面次數(shù)與總次數(shù)之 一．大數(shù)定律第一次試圖在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計度量之間建立演繹關(guān)系，成為概率論通向更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁． “伯努利數(shù)”是雅格布在研究求自然數(shù)正整數(shù)次冪之和的公式時引入的．若 Sn(k)=1n+2n+3n+…+(k-1)n， 當(dāng)n=3時，有S3(k)=13＋23+…+(k-1)3 … …． 一般地，雅格布給出公式 這里Crn=n(n-1)…(n-r+1)/r?。鸥癫紝ζ渲械南禂?shù)B2，B4，B6，…很感興趣，他計算出 而且還給出了計算這些系數(shù)的遞推公式．現(xiàn)在人們通常把B2，B4，B6，…稱為“伯努利數(shù)”．設(shè)f(x)是一個單變量實函數(shù)，在研 出現(xiàn)在《猜度術(shù)》一書中，被稱為“伯努利多項式”． 《猜度術(shù)》共有四篇，各篇的主要內(nèi)容是：第一篇基本上是重新提出惠更斯問題；第二篇是排列組合理論的詳盡論述．他以V．斯霍滕(Schooten)(1657)、萊布尼茲(1666)、沃利斯(1685)和J．普列斯特(Prestet)的《初等數(shù)學(xué)》(Elemens de mathematiques)的有關(guān)貢獻為基礎(chǔ)．主要結(jié)果是給出了關(guān)于指數(shù)級數(shù)的嚴(yán)格推導(dǎo)．這一篇的第四章和第五章的許多內(nèi)容，即使拿到近代論著中也無不當(dāng)之處；第三篇是給出了“機會對策”中所產(chǎn)生的各種各樣新問題的解答，共有24個例題，有些例題很簡單，也有一些很復(fù)雜的例題；第四篇是關(guān)于概率論在道德和經(jīng)濟等問題上的應(yīng)用．“大數(shù)定律”就是在這篇中提出的．這部分還包括了雅格布特有的哲學(xué)思想，他是為回答匿名嘲笑者關(guān)于1686年在詭辯的邏輯問題上爭論的需要而寫的．《猜度術(shù)》一書鼓舞了一些學(xué)者研究這門誘人的學(xué)問，P．R．de蒙莫爾(Montmort)和A．棣莫弗(de Moivre)使這本書中的問題更加具體．雅格布關(guān)于概率論的思想，對于這個領(lǐng)域的進一步發(fā)展有決定性的貢獻． 此外，雅格布·伯努利在物理學(xué)上也做了一些工作，如在關(guān)于一個半圓鏡上平行入射光線的焦散線的研究中，提出了測量法包線的基本步驟；獨立地發(fā)現(xiàn)了被風(fēng)鼓起的帆的外形可以用微分方程 圖書館里還收藏有雅格布沒有發(fā)表的關(guān)于固體和液體力學(xué)的講演稿(手稿)，《大學(xué)實驗學(xué)報》(Acta collegii experimen-talis)翻譯了其中的一部分．但令人遺憾的是，雅格布對力學(xué)的貢獻幾乎沒有在正式文獻中提到過． 雅格布、約翰經(jīng)常與萊布尼茲、惠更斯以及其他數(shù)學(xué)家通信．約翰在格羅寧根工作期間，他們兄弟之間也經(jīng)?；ハ嗤ㄐ牛ㄟ^書信提出問題，研究解決問題，他們經(jīng)常在相同的領(lǐng)域里工作，也相互爭論．伯努利兄弟自懸鏈線問題上就產(chǎn)生了分歧，以后爭論加?。@些爭論無疑會促進科學(xué)的發(fā)展．但由于雙方過分敏感自尊，性格暴躁，相互批評指責(zé)又過于尖刻，使兄弟之間時常造成不快．甚至雙方的家庭也都卷入了爭論，其后果之一是當(dāng)雅格布死后，他的《猜度術(shù)》的手稿被他的遺孀和兒子在外藏匿多年，直到他死后8年(1713年)才得以出版，幾乎使這部經(jīng)典著作的價值受到損害． 雅格布·伯努利一生致力于數(shù)學(xué)研究，他是高等分析的正規(guī)方法的最重要的創(chuàng)建者之一，對17世紀(jì)下半葉近代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響． |
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